CAPÍTULO X. LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD.

El tema en el que ahora nos adentramos no debe considerarse como una rama de especulación aislada y curiosa.

Es la base necesaria de los juicios que emitimos en la prosecución de la ciencia, o de las decisiones a las que arribamos en la conducción de los asuntos ordinarios. Como bien dijo Butler: «La probabilidad es la verdadera guía de la vida».

Si la ciencia de los números no se hubiera estudiado con ningún otro propósito, habría tenido que desarrollarse para el cálculo de probabilidades. Todas nuestras inferencias relativas al futuro son meramente probables, y una debida apreciación del grado de probabilidad depende de la comprensión de los principios del tema.

Estoy convencido de que es imposible exponer los métodos de inducción de manera sólida sin fundamentarlos en la teoría de la probabilidad. Solo el conocimiento perfecto puede otorgar certeza, y en la naturaleza el conocimiento perfecto sería un conocimiento infinito, lo cual escapa claramente a nuestras capacidades. Por lo tanto, hemos de conformarnos con un conocimiento parcial: un conocimiento mezclado con ignorancia, que engendra la duda.

Una gran dificultad en este asunto consiste en adquirir una noción precisa de la materia de que se trata.

¿Qué es lo que numeramos, medimos y calculamos en la teoría de las probabilidades? ¿Es la creencia, o la opinión, o la duda, o el conocimiento, o el azar, o la necesidad, o la falta de arte?

¿Existe la probabilidad en las cosas que son probables, o en la mente que las considera como tales?

La etimología del nombre no nos presta ninguna ayuda: pues, curiosamente, probable es en última instancia la misma palabra que probable [en español conservan la misma forma], un buen ejemplo de una palabra que llega a diferenciarse en dos significados opuestos.

El azar no puede ser objeto de la teoría, porque en realidad no existe tal cosa como el azar, considerado como productor y gobernante de los acontecimientos. La palabra azar significa caída, y la noción de caída se utiliza continuamente como símil para expresar la incertidumbre, porque rara vez podemos predecir cómo caerá un dado, una moneda o una hoja, o cuándo dará una bala en el blanco.

Pero todos ven, tras una pequeña reflexión, que la deficiencia radica en nuestro conocimiento, no en la certeza de las leyes de la naturaleza. No hay duda en el rayo respecto al punto que ha de golpear; en la mayor tormenta no hay nada caprichoso; no hay un solo grano de arena sobre la playa que un conocimiento infinito no explicara por qué está ahí; y el curso de cada hoja que cae está guiado por los principios de la mecánica que rigen los movimientos de los cuerpos celestes.

El azar, por consiguiente, no existe en la naturaleza y no puede coexistir con el conocimiento; es meramente una expresión, como señaló Laplace, de nuestra ignorancia de las causas en acción y de nuestra consiguiente incapacidad para predecir el resultado, o para provocarlo infaliblemente.

En la naturaleza, el acontecimiento de un suceso ha estado predeterminado desde la primera configuración del universo.

La probabilidad pertenece por entero a la mente. Esto lo prueba el hecho de que diferentes mentes pueden considerar un mismo acontecimiento al mismo tiempo con grados de probabilidad muy diversos.

Un vapor, por ejemplo, está desaparecido y algunas personas creen que se ha hundido en medio del océano; otras piensan de otro modo. En el acontecimiento en sí no puede haber tal incertidumbre; el vapor o se ha hundido o no se ha hundido, y ninguna discusión posterior sobre la naturaleza probable del evento puede alterar el hecho.

Sin embargo, la probabilidad del acontecimiento variará realmente de un día a otro, y de una mente a otra, según se obtenga la más mínima información sobre los barcos encontrados en el mar, el tiempo predominante allí, los indicios de naufragio recogidos o el estado previo de la embarcación.

La probabilidad pertenece así a nuestra condición mental, a la luz con la que consideramos los acontecimientos, cuya ocurrencia o no ocurrencia es cierta en sí misma.

Muchos escritores, en consecuencia, han afirmado que la probabilidad se ocupa del grado o la cantidad de creencia. De Morgan dice,‍¹ “Por grado de probabilidad entendemos realmente o deberíamos entender grado de creencia”. El difunto profesor Donkin expresó el significado de la probabilidad como “cantidad de creencia”; pero nunca me he sentido satisfecho con tales definiciones de probabilidad. La naturaleza de la creencia no resulta más clara a mi mente que la noción que se usa para definirla. Pero una objeción totalmente suficiente es que la teoría no mide lo que es la creencia, sino lo que debería ser. Pocas mentes piensan en estrecha concordancia con la teoría, y hay muchos casos de evidencia en los que la creencia existente es habitualmente diferente de lo que debería ser. Aun si el estado de creencia en cualquier mente pudiera ser medido y expresado en cifras, los resultados no tendrían valor. El valor de la teoría consiste en corregir y guiar nuestra creencia, y en hacer que nuestros estados mentales y las consiguientes acciones sean armoniosos con nuestro conocimiento de las condiciones exteriores.

Esta objeción ha sido claramente percibida por algunos de los que todavía utilizaban la cantidad de creencia como definición de probabilidad. Así, De Morgan añade: «La creencia no es sino otro nombre para el conocimiento imperfecto».

Donkin ha dicho con acierto que la cantidad de creencia es «siempre relativa a un estado particular de conocimiento o ignorancia; pero debe observarse que es absoluta en el sentido de no ser relativa a ninguna mente individual; puesto que, presuponiéndose la misma información, todas las mentes deberían distribuir su creencia del mismo modo».‍²

Boole parecía sostener una opinión similar cuando describió la teoría como ocupada en «la distribución equitativa de la ignorancia»;‍³ pero bien podríamos decir que se ocupa de la distribución equitativa del conocimiento.

Prefiero prescindir por completo de esta oscura palabra, creencia, y decir que la teoría de la probabilidad se ocupa de la cantidad de conocimiento, una expresión de la cual se puede dar pronto una explicación y una medida precisas.

Un evento solo es probable cuando nuestro conocimiento del mismo está diluido con ignorancia, y se necesita un cálculo exacto para discernir cuánto sabemos y cuánto ignoramos.

La teoría ha sido descrita por algunos escritores como pretendiendo desarrollar conocimiento a partir de la ignorancia; pero, como señaló admirablemente Donkin, es en realidad «un método para evitar la edificación de la creencia sobre la ignorancia».

Define la expectativa racional midiendo las cantidades comparativas de conocimiento e ignorancia, y nos enseña a regular nuestras acciones con respecto a eventos futuros de una manera que, a la larga, conduzca a la menor desilusión.

Es, como dijo felizmente Laplace, el buen sentido reducido a cálculo.

Esta teoría me parece la creación más noble del intelecto, y supera mi comprensión cómo se pudo encontrar a dos hombres como Auguste Comte y J. S. Mill para depreciarla e inútilmente cuestionar su validez. Elogiar la teoría debería ser tan innecesario como elogiar a la razón misma.

# Principios fundamentales de la teoría.

El cálculo de probabilidades se funda realmente, según entiendo, en el principio de razonamiento expuesto en los capítulos precedentes.

Debemos tratar a los iguales por igual, y lo que sabemos de un caso puede afirmarse de cualquier otro que se le asemeje en las circunstancias necesarias. La teoría consiste en poner los casos similares al mismo nivel y en distribuir por igual entre ellos todo el conocimiento que poseemos.

Lancemos una moneda al aire y consideremos lo que sabemos respecto a su forma de caer. Sabemos que ciertamente caerá sobre un lado, de modo que la cara o la cruz quedarán hacia arriba; pero en cuanto a si será cara o cruz, nuestro conocimiento está dividido por igual. Todo lo que sabemos acerca de la cara, lo sabemos también acerca de la cruz, de modo que no tenemos razón para esperar una más que la otra.

El mínimo predominio de creencia hacia cualquiera de los lados sería irracional; consistiría en tratar desigualmente cosas de las cuales nuestro conocimiento es igual.

La teoría no exige, como algunos autores han supuesto erróneamente, que primero debamos determinar mediante experimentos la igualdad de facilidad de los acontecimientos que estamos considerando.

En la medida en que podemos examinar y medir las causas en funcionamiento, los acontecimientos quedan fuera del ámbito de la probabilidad. La teoría entra en juego allí donde comienza la ignorancia y el conocimiento que poseemos requiere distribuirse entre muchos casos.

Tampoco muestra la teoría que la moneda caerá tan a menudo de un lado como del otro.

Es casi imposible que esto suceda, porque cierta desigualdad en la forma de la moneda, o alguna manera uniforme de lanzarla, casi con seguridad ocasionará un ligero predominio en una dirección. Pero como no sabemos de antemano en qué sentido existirá tal predominio, no tenemos razón alguna para esperar cara antes que cruz.

Nuestro estado de conocimiento cambiará si lanzamos la moneda muchas veces y registramos los resultados. Cada lanzamiento nos proporciona una ligera información sobre la tendencia probable de la moneda, y en los cálculos posteriores debemos tener esto en cuenta.

En otros casos, la experiencia podría demostrar que habíamos estado totalmente equivocados; podríamos esperar que un dado cayera tantas veces en cada una de las seis caras como en cada una de las demás a la larga; la prueba podría demostrar que el dado estaba cargado y cae con más frecuencia en una cara determinada.

La teoría no nos habría inducido a error: trató correctamente la información que teníamos, que es todo lo que cualquier teoría puede hacer.

Puede preguntarse, como lo hace Mill: ¿Por qué tomarse tantas molestias en calcular a partir de datos imperfectos, cuando un poco de esfuerzo nos permitiría asegurar una conclusión mediante la prueba real? ¿Por qué calcular la probabilidad de que una medición sea correcta, cuando podemos comprobar si lo es?

Pero señalaré plenamente en partes posteriores de esta obra que en la medición nunca podemos alcanzar una coincidencia perfecta.

Dos mediciones de una misma línea de base en un estudio topográfico pueden mostrar una diferencia de algunas pulgadas, y es posible que no haya medios para saber cuál es el mejor resultado. Una tercera medición probablemente no coincidiría con ninguna de las dos. Seleccionar cualquiera de las mediciones implicaría que sabemos que es la más cercana a la corrección, lo cual no es así.

En este estado de ignorancia, la única guía es la teoría de la probabilidad, la cual demuestra que, a la larga, la media de los resultados divergentes se acercará más a la verdad. En cualquier otra operación científica imaginable, el conocimiento perfecto es imposible, y cuando hemos agotado todos nuestros medios instrumentales para alcanzar la verdad, queda un margen de error que solo puede tratarse de manera segura mediante los principios de la probabilidad.

El método que empleamos en la teoría consiste en calcular el número de todos los casos o acontecimientos respecto de los cuales nuestro conocimiento es igual.

Si tenemos la menor razón para sospechar que un acontecimiento tiene más probabilidades de ocurrir que otro, debemos tener esto en cuenta. Hecho esto, debemos determinar el número total de acontecimientos que son, hasta donde sabemos, igualmente probables.

• Así, si no tenemos ninguna razón para suponer que una moneda caerá más a menudo de un lado que de otro, hay dos casos, cara y cruz, igualmente probables.
• Pero si por un ensayo o de otro modo sabemos, o creemos saber, que de 100 lanzamientos 55 darán cruz, entonces la probabilidad se mide por la razón de 55 a 100.

Las fórmulas matemáticas de la teoría son exactamente las mismas que las de la teoría de las combinaciones. En esta última teoría determinamos de cuántas maneras pueden unirse los acontecimientos, y ahora procedemos a usar este conocimiento para calcular el número de maneras en que un cierto acontecimiento puede producirse. Son los números comparativos de maneras en que los acontecimientos pueden ocurrir los que miden sus probabilidades comparativas. Si lanzamos tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellas caigan con la cruz hacia arriba? Esto equivale a preguntar de cuántas maneras posibles podemos seleccionar dos cruces de entre tres, en comparación con el número total de maneras en que las monedas pueden quedar dispuestas. Ahora bien, la cuarta línea del Triángulo Aritmético (p. 184) nos da la respuesta. El número total de maneras en que podemos seleccionar o dejar tres cosas es ocho, y las combinaciones posibles de dos cosas a la vez son tres; por lo tanto, la probabilidad de dos cruces es la razón de tres a ocho. A partir de los números del triángulo podemos deducir de manera similar todas las siguientes probabilidades:—

Podemos aplicar las mismas consideraciones a las causas imaginarias de la diferencia de estatura, cuyas combinaciones se mostraron en la pág. 188. Hay en total 128 maneras en que siete causas pueden estar presentes o ausentes.

Ahora bien, veintiuna de estas combinaciones dan un aumento de dos pulgadas, de modo que la probabilidad de que una persona, dadas las circunstancias, mida cinco pies y dos pulgadas es de 21/128. La probabilidad de cinco pies y tres pulgadas es de 35/128; la de cinco pies y una pulgada, de 7/128; la de cinco pies, de 1/128, y así sucesivamente.

Así, la octava línea del triángulo aritmético da todas las probabilidades que surgen de las combinaciones de siete causas.

# Rules for the Calculation of Probabilities.

Ahora explicaré del modo más sencillo posible las reglas para calcular probabilidades. La regla principal es la siguiente:‍—

Calcula el número de sucesos que pueden ocurrir independientemente unos de otros y que, por lo que se sabe, son igualmente probables. Haz de este número el denominador de una fracción, y toma como numerador el número de tales sucesos que implican o constituyen la ocurrencia del suceso cuya probabilidad se requiere.

Así, si las letras de la palabra Roma se arrojan casualmente en una hilera, ¿cuál es la probabilidad de que formen una palabra latina con significado? Las ordenaciones posibles de cuatro letras son 4 × 3 × 2 × 1, es decir, 24 en número (p. 178), y si se examinan todas las ordenaciones, se hallará que siete de ellas tienen significado, a saber: Roma, ramo, oram, mora, maro, armo y amor. De ahí que la probabilidad de un resultado significativo sea 7/24.

Debemos distinguir las probabilidades comparativas de las absolutas.

Al sacar una carta al azar de una baraja, no hay razón para esperar una carta más que cualquier otra.

Ahora bien, hay cuatro reyes y cuatro reinas en una baraja, de modo que hay exactamente tantas maneras de sacar uno como la otra, y las probabilidades son iguales. Pero hay trece diamantes, por lo que la probabilidad de un rey es a la de un diamante como cuatro a trece. Así, las probabilidades de cada uno son proporcionales a sus respectivos números de maneras de suceder.

Por otra parte, puedo sacar un rey de cuatro maneras, y no sacarlo de cuarenta y ocho, de modo que las probabilidades están en esta proporción, o, como se dice comúnmente, las ventajas (o proporciones) en contra de sacar un rey son de cuarenta y ocho a cuatro.

• Las probabilidades son de siete a diecisiete a favor, o de diecisiete a siete en contra de que las letras R,o,m,a formen accidentalmente una palabra con significado.
• Las probabilidades son de cinco a tres en contra de que salgan dos cruces en tres tiradas de una moneda.

Recíprocamente, cuando se dan las probabilidades de un suceso y se requiere la probabilidad, tómese la probabilidad a favor del suceso como numerador, y la suma de las probabilidades como denominador.

Es evidente que un acontecimiento es seguro cuando todas las combinaciones de causas que pueden tener lugar producen dicho acontecimiento. Si representamos la probabilidad de tal acontecimiento según nuestra regla, nos da la razón de un número a sí mismo, o la unidad.

Un acontecimiento es seguro de no suceder cuando ninguna combinación posible de causas da el acontecimiento, y la razón por la misma regla se convierte en la de 0 a algún número.

De ahí se sigue que en la teoría de la probabilidad la certeza se expresa mediante 1, y la imposibilidad mediante 0; pero no debe atribuirse ningún significado místico a estos símbolos, ya que simplemente expresan el hecho de que todas o ninguna de las combinaciones posibles dan el acontecimiento.

Por un evento compuesto entendemos un evento que puede descomponerse en dos o más eventos más simples. Así, el disparo de un arma puede descomponerse en apretar el gatillo, la caída del percutor, la explosión del fulminante, etc. En este ejemplo, los eventos simples no son independientes, porque si se aprieta el gatillo, los demás eventos seguirán necesariamente bajo las condiciones adecuadas, y sus probabilidades son por lo tanto las mismas que la del primer evento. Los eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no hace que el otro sea ni más ni menos probable que antes. Así, la muerte de una persona no es ni más ni menos probable porque el planeta Marte se encuentre visible. Cuando los eventos componentes son independientes, se puede dar una regla sencilla para calcular la probabilidad del evento compuesto, a saber: multiplicar entre sí las fracciones que expresan las probabilidades de los eventos componentes independientes.

La probabilidad de sacar cruz dos veces con una moneda es 1/2 × 1/2, o 1/4; la probabilidad de sacarla tres veces seguidas es 1/2 × 1/2 × 1/2, o 1/8; un resultado que concuerda con el obtenido de una manera aparentemente diferente (p. 202).

De hecho, cuando multiplicamos entre sí los denominadores, obtenemos el número total de maneras en que puede ocurrir el evento compuesto, y cuando multiplicamos los numeradores, obtenemos el número de maneras favorables al evento requerido.

Las probabilidades pueden sumarse o restarse entre sí bajo la importante condición de que los eventos en cuestión sean excluyentes entre sí, de modo que no pueda ocurrir más de uno de ellos.

Podría argumentarse que, dado que la probabilidad de sacar cara en el primer ensayo es 1/2, y en el segundo ensayo también 1/2, la probabilidad de sacarla en los dos primeros lanzamientos es 1/2 + 1/2, es decir, la certeza. No solo este resultado es evidentemente absurdo, sino que una repetición del proceso nos llevaría a una probabilidad de 1 1/2 o de cualquier número mayor, resultados que no podrían tener significado alguno.

La probabilidad que deseamos calcular es la de una cara en dos tiradas, pero en nuestra suma hemos incluido el caso en el que aparecen dos caras. El resultado verdadero es 1/2 + 1/2 × 1/2 o 3/4, o bien la probabilidad de cara en la primera tirada, sumada a la probabilidad exclusiva de que, si no sale en la primera, saldrá en la segunda.

Las mayores dificultades de la teoría surgen de la confusión entre alternativas exclusivas y no exclusivas. Puedo recordar al lector que la posibilidad de alternativas no exclusivas fue un punto discutido previamente (p. 68), y a las razones dadas entonces para considerar la alternancia como lógicamente no exclusiva, puede añadirse la existencia de estas dificultades en la teoría de la probabilidad. El resultado erróneo explicado anteriormente surgió en realidad de pasar por alto el hecho de que la expresión «cara en el primer lanzamiento o cara en el segundo lanzamiento» podría incluir el caso de obtener cara en ambos lanzamientos.

# El alfabeto lógico en cuestiones de probabilidad.

Cuando se dan las probabilidades de ciertos eventos simples, y se requiere deducir las probabilidades de eventos compuestos, el Alfabeto Lógico puede brindar asistencia, siempre que no existan condiciones lógicas especiales de modo que todas las combinaciones sean posibles.

Así, si hay tres eventos, A, B, C, cuyas probabilidades son α, β, γ, entonces las negaciones de esos eventos, que expresan la ausencia de los mismos, tendrán las probabilidades 1 - α, 1 - β, 1 - γ.

No tenemos más que insertar estos valores para las letras de las combinaciones y multiplicar, y obtenemos la probabilidad de cada combinación. Así, la probabilidad de ABC es αβγ; la de Abc, α(1 - β)(1 - γ).

Ahora podemos distinguir claramente entre las probabilidades de sucesos excluyentes y no excluyentes. Así, si A y B son sucesos que pueden ocurrir juntos como la lluvia y la marea alta, o un terremoto y una tormenta, la probabilidad de que ocurra A o B no es la suma de sus probabilidades separadas.

Pues según las Leyes del Pensamiento desarrollamos A ꖌ B en AB ꖌ Ab ꖌ aB, y sustituyendo $\alpha$ y $\beta$, las probabilidades de A y B respectivamente, obtenemos $\alpha .\beta +\alpha .(1-\beta )+(1-\alpha ).\beta$ o $\alpha +\beta -\alpha .\beta$.

Pero si los sucesos son incomponibles o incapaces de ocurrir juntos, como un cielo despejado y la lluvia, o una luna nueva y una luna llena, entonces los sucesos no son realmente A o B, sino A no-B, o B no-A, o en símbolos Ab ꖌ aB. Ahora bien, si tomamos $\mu$ = probabilidad de Ab y $\nu$ = probabilidad de aB, entonces podemos sumar simplemente, y la probabilidad de Ab ꖌ aB es $\mu +\nu$.

Que el lector observe detenidamente que si la combinación AB no puede existir, la probabilidad de Ab no es el producto de las probabilidades de A y b.

Cuando ciertas combinaciones son lógicamente imposibles, ya no está permitido sustituir la probabilidad de cada término por el término, porque la multiplicación de probabilidades presupone la independencia de los eventos.

Una gran parte de Las leyes del pensamiento de Boole está dedicada a intentar superar esta dificultad y a producir un Método General en Probabilidades mediante el cual, a partir de ciertas condiciones lógicas y ciertas probabilidades dadas, fuera posible deducir la probabilidad de cualquier otra combinación de acontecimientos bajo dichas condiciones.

Boole prosiguió su tarea con un ingenio y una potencia maravillosos, pero tras dedicar un profundo estudio a su obra, me veo obligado a adoptar la conclusión de que su método es fundamentalmente erróneo.

Tal como señaló el Sr. Wilbraham,‍⁴ Boole obtuvo sus resultados mediante una suposición arbitraria, que es tan solo la más probable, y no la única suposición posible. Por lo tanto, la respuesta obtenida no es la probabilidad real, que suele ser indeterminada, sino tan solo, por decirlo así, la probabilidad más probable.

Ciertos problemas resueltos por Boole están libres de condiciones lógicas y, por lo tanto, pueden admitir respuestas válidas. Estos, como he demostrado,‍⁵ pueden resolverse mediante las combinaciones del Alfabeto Lógico, pero el resto de los problemas no admiten una respuesta determinada, al menos mediante el método de Boole.

Comparación de la teoría con la experiencia.

Las Leyes de la Probabilidad descansan sobre los principios fundamentales del razonamiento, y ninguna experiencia posible puede negarlas realmente.

Podría suceder3 que una persona siempre lanzara una moneda y saliera cara, pareciendo incapaz de obtener cruz por azar. La teoría no quedaría falsada, porque contempla la posibilidad de las rachas de suerte más extremas.

Nuestra experiencia real podría ir en contra de todo lo probable; todo el curso de los acontecimientos podría parecer en completa contradicción con lo que esperaríamos y, sin embargo, una conjunción casual de acontecimientos podría ser la explicación real.

Es perfectamente posible que algunas coincidencias regulares, que atribuimos a leyes fijas de la naturaleza, se deban a la conjunción accidental de fenómenos en los casos hacia los que dirigimos nuestra atención.

Todo lo que podemos aprender de la experiencia finita es capaz, según la teoría de las probabilidades, de llevarnos a equívoco, y solo una experiencia infinita podría asegurarnos cualquier verdad inductiva.

Al mismo tiempo, la probabilidad de que ocurran rachas de suerte extremas es tan sumamente escasa que sería absurdo esperar seriamente que sucedieran. Es casi imposible, por ejemplo, que un jugador de whist haya jugado en dos partidas cualesquiera en las que la distribución de las cartas haya sido exactamente la misma por mero azar (p. 191).

Algo como una persona que siempre pierde en un juego de puro azar es totalmente desconocido. Las coincidencias de este tipo no son imposibles, como he dicho, pero son tan poco probables que la vida de cualquier persona, o de hecho toda la duración de la historia, no ofrece una probabilidad apreciable de que se presenten.

Siempre que realizamos una serie extensa de pruebas de resultados aleatorios, como al lanzar un dado o una moneda, es alta la probabilidad de que los resultados coincidan estrechamente con las predicciones arrojadas por la teoría. No debe esperarse una coincidencia precisa, pues eso, como demuestra la teoría, es altamente improbable.

Se han hecho varios intentos para comprobar, de este modo, la concordancia entre la teoría y la experiencia. Buffon hizo que un niño pequeño realizara la primera prueba, el cual lanzó una moneda muchas veces de forma sucesiva, y obtuvo 1992 cruces frente a 2048 caras. Un alumno de De Morgan repitió la prueba para su propia satisfacción y obtuvo 2044 cruces frente a 2048 caras. En ambos casos, la coincidencia con la teoría es tan estrecha como cabría esperar, y los detalles pueden encontrarse en el «Formal Logic» de De Morgan, p. 185.

Quetelet también puso a prueba la teoría de una manera bastante más completa, colocando 20 bolas negras y 20 blancas en una urna y sacando una bola una y otra vez de forma indiferente, devolviendo cada bola antes de realizar una nueva extracción. Descubrió, como era de esperar, que cuanto mayor era el número de extracciones realizadas, más se aproximaban las bolas blancas y negras a ser iguales en número. Al finalizar el experimento había registrado 2066 bolas blancas y 2030 negras, siendo la proporción de 1,02.‍⁶

He realizado una serie de experimentos de una tercera manera, que me pareció aún más interesante y capaz de una comprobación más amplia. Tomando un puñado de diez monedas, generalmente chelines, las lancé una y otra vez, y registré el número de caras que aparecía cada vez. Ahora bien, la probabilidad de obtener 10, 9, 8, 7, etc., caras es proporcional al número de combinaciones de 10, 9, 8, 7, etc., elementos tomados de 10 elementos. En consecuencia, los resultados deberían aproximarse a los números de la undécima línea del triángulo aritmético. Hice un total de 2048 tiradas, en dos series de 1024 tiradas cada una, y los números obtenidos se dan en la siguiente tabla:—

El número total de lanzamientos individuales de monedas ascendió a 10 × 2048, es decir, 20.480 en total, la mitad de los cuales, o bien 10.240, deberían teóricamente dar cara.

El número total de caras obtenidas fue en realidad de 10.353, o 5222 en la primera serie y 5131 en la segunda.

La coincidencia con la teoría es bastante cercana, pero considerando el gran número de lanzamientos hay cierta razón para sospechar una tendencia a favor de las caras.

El interés especial de este ensayo consiste en la exposición, de forma práctica, de los resultados del teorema de Bernoulli y de la ley de error o divergencia respecto a la media, que se examinarán más a fondo más adelante. Ilustra la conexión entre combinaciones y permutaciones, la cual se manifiesta en el Triángulo Aritmético y subyace a muchos teoremas importantes de la ciencia.

Argumentos Deductivos Probables .

Con la ayuda de la teoría de las probabilidades, podemos ampliar la esfera del argumento deductivo. Hasta ahora hemos tratado las proposiciones como ciertas, y sobre la hipótesis de certeza hemos deducido conclusiones igualmente ciertas. Pero la información sobre la que razonamos en la vida ordinaria rara vez o nunca es cierta, y casi todo razonamiento es en realidad una cuestión de probabilidad.

Debemos, por tanto, ser plenamente conscientes del modo y el grado en que el razonamiento deductivo se ve afectado por la teoría de la probabilidad, y muchas personas pueden sorprenderse de los resultados que deben admitirse.

Algunos escritores polémicos parecen considerar, como señaló De Morgan,‍⁷ que una inferencia a partir de varias premisas igualmente probables es en sí misma tan probable como cualquiera de ellas, pero el verdadero resultado es muy diferente. Si un argumento involucra muchas proposiciones, y cada una de ellas es incierta, la conclusión tendrá muy poca fuerza.

La validez de una conclusión puede considerarse como un suceso compuesto, dependiente de que las premisas resulten ser verdaderas; por tanto, para obtener la probabilidad de la conclusión, debemos multiplicar entre sí las fracciones que expresan las probabilidades de las premisas.

Si la probabilidad es de 1/2 de que A sea B, y también de 1/2 de que B sea C, la conclusión de que A es C, sobre la base de estas premisas, es 1/2 × 1/2 o 1/4.

De igual modo, si hubiera cualquier número de premisas requeridas para el establecimiento de una conclusión y sus probabilidades fueran p, q, r, etc., la probabilidad de la conclusión sobre la base de estas premisas es p × q × r × ...

Este producto tiene un valor reducido, a menos que cada una de las cantidades p, q, etc., se aproxime a la unidad.

Pero debe señalarse en particular que la probabilidad así calculada no es la probabilidad total de la conclusión, sino únicamente aquella que se deriva de las premisas en cuestión. Las observaciones de Whately‍⁸ sobre este tema podrían inducir a error al lector al hacerle suponer que el cálculo se completa multiplicando entre sí las probabilidades de las premisas. Sin embargo, De Morgan‍⁹ ha explicado detalladamente que debemos tener en cuenta la probabilidad antecedente de la conclusión; A puede ser C por otras razones además de ser B y, como él señala: «Es difícil, si no imposible, producir una cadena argumental cuyo resultado el razonador pueda fundamentar únicamente en esos argumentos».

El fracaso de un argumento no refuta, excepto en circunstancias especiales, la verdad de la conclusión que pretende sostener; de otro modo, son pocas las verdades que podrían sobrevivir a los argumentos poco meditados presentados a su favor. Así como una cuerda no se rompe necesariamente porque fallen uno o dos de sus cabos, una conclusión puede depender de un número interminable de consideraciones además de las que están inmediatamente a la vista. Incluso cuando no disponemos de otra información, no debemos considerar que una afirmación carece de toda probabilidad. La expresión verdadera de la duda completa es una razón de igualdad entre las posibilidades a favor y en contra de ella, y esta razón se expresa en la probabilidad 1/2.

Ahora bien, si A y C son cosas totalmente desconocidas, no tenemos razón para creer que A es C más de lo que A no es C. La probabilidad antecedente es entonces 1/2.

Si también tenemos las probabilidades de que A sea B, 1/2, y de que B sea C, 1/2, no tenemos derecho a suponer que la probabilidad de que A sea C se vea reducida por el argumento a su favor.

Si la conclusión es verdadera por sus propios méritos, el fracaso del argumento no la afecta; por lo tanto, su probabilidad total es su probabilidad antecedente, sumada a la probabilidad de que, fallando esta, el nuevo argumento en cuestión la establezca.

Hay una probabilidad de 1/2 de que no requiramos el argumento especial; una probabilidad de 1/2 de que sí lo hagamos, y una probabilidad de 1/4 de que el argumento la establezca en ese caso.

Por lo tanto, el resultado completo es 1/2 + 1/2 × 1/4, o 5/8.

En lenguaje general, si a es la probabilidad fundada en un argumento particular, y c la probabilidad antecedente del evento, el resultado general es 1 - (1 - a)(1 - c), o a + c - ac.

Podemos expresarlo todavía de forma más general así:—Sean a, b, c, etc., las probabilidades de una conclusión fundamentada en varios argumentos. Solo cuando todos los argumentos fallan, nuestra conclusión resulta finalmente falsa; las probabilidades de que falle cada uno son, respectivamente, 1 - a, 1 - b, 1 - c, etc.; la probabilidad de que fallen todos es (1 - a)(1 - b)(1 - c) ...; por tanto, la probabilidad de que la conclusión no falle es 1 - (1 - a)(1 - b)(1 - c) ... etc. De ello se deduce que todo argumento a favor de una conclusión, por endeble e insignificante que sea, le añade probabilidad. Cuando se ignora si un buque retrasado se ha ido a pique o no, cualquier pequeño indicio de un barco perdido añadirá cierta probabilidad a la creencia de su pérdida, y la refutación de cualquier evidencia en particular no refutará el suceso.

Debemos aplicar estos principios de la evidencia con sumo cuidado, y observar que en una gran proporción de casos la presentación de un argumento débil tiende en realidad a refutar su conclusión. La afirmación puede tener en sí misma una gran improbabilidad inherente por oponerse a otra evidencia o a la supuesta ley natural, y se puede suponer que todo razonador actúa con franqueza y presenta toda la fuerza de la evidencia que posee a su favor.

Si presenta un solo argumento, y su probabilidad a es pequeña, entonces en la fórmula 1 - (1 - a)(1 - c) tanto a como c son pequeños, y toda la expresión tiene muy poco valor. El efecto total de un argumento gira así en torno a la cuestión de si quedan otros argumentos, de modo que podamos introducir otros factores (1 - b), (1 - d), etc., en la expresión anterior.

En un tribunal de justicia, en una publicación con un propósito expreso y en muchos otros casos, es sin duda correcto suponer que se presenta toda la evidencia que se considera de algún valor con respecto a la conclusión afirmada.

Asignar la probabilidad antecedente de cualquier proposición puede ser un asunto de dificultad o imposibilidad, y del cual la lógica y la teoría de la probabilidad apenas se ocupan.

Del cuerpo general de la ciencia en nuestro poder, debemos hacer en cada caso el mejor juicio que podamos.

Pero a falta de todo conocimiento, la probabilidad debe considerarse = 1/2, pues si la hacemos menor que esto, nos inclinamos a creer que es falsa más bien que verdadera.

Así, antes de poseer ningún medio para estimar las magnitudes de las estrellas fijas, la afirmación de que Sirio era mayor que el sol tenía una probabilidad exactamente de 1/2; era tan probable que fuera mayor como que fuera menor; y lo mismo ocurría con cualquier otra estrella. Esta fue la suposición que hizo Michell en sus admirables especulaciones.‍¹⁰

Podría parecer, en verdad, que como cada proposición expresa un acuerdo, y los acuerdos o semejanzas entre los fenómenos son infinitamente menores que las diferencias (p. 44), toda proposición debería ser, a falta de otra información, infinitamente improbable.

Pero en nuestro sistema lógico cada término puede ser indiferentemente positivo o negativo, de modo que expresamos bajo la misma forma tantas diferencias como acuerdos. Es imposible, por tanto, que tengamos motivo alguno para dejar de creer en lugar de creer en una afirmación sobre cosas de las que nada sabemos.

Apenas podemos en verdad inventar una proposición sobre cuya verdad seamos absolutamente ignorantes, excepto cuando ignoramos por completo los términos empleados. Si le pido al lector que asigne las probabilidades de que un «coeficiente platítíptico sea positivo», difícilmente sabrá cómo hacerlo, a menos que las considere iguales.

La suposición de que la duda completa se expresa adecuadamente mediante 1/2 ha sido puesta en duda por el obispo Terrot,‍¹¹ quien propone en su lugar el símbolo indefinido 0/0; y considera que «la probabilidad à priori derivada de la ignorancia absoluta no tiene ningún efecto sobre la fuerza de una probabilidad admitida posteriormente».

Pero si concedemos que la probabilidad puede tener cualquier valor entre 0 y 1, y que cada valor independiente es igualmente probable, entonces n y 1 - n son igualmente probables, y el promedio es siempre 1/2.

O bien podemos tomar p . dp para expresar la probabilidad de que nuestra estimación relativa a cualquier proposición se encuentre entre p y p + dp. La probabilidad completa de la proposición es entonces la integral tomada entre los límites 1 y 0, o de nuevo 1/2.

# Dificultades de la Teoría.

La teoría de la probabilidad, aunque indudablemente cierta, requiere una aplicación muy cuidadosa. No solo es una rama de las matemáticas en la que se cometen descuidos con frecuencia, sino que en muchos casos resulta sumamente difícil asegurarse de que la fórmula represente correctamente los datos del problema.

Estas dificultades surgen a menudo de la complejidad lógica de las condiciones, las cuales podrían aclararse, tal vez hasta cierto punto, teniendo siempre presente el sistema de combinaciones tal como se desarrolla en el Método Lógico Indirecto.

En el estudio de las probabilidades, los matemáticos habían empleado inconscientemente procesos lógicos muy superiores a los que poseían los lógicos, y el Método Indirecto no es más que la exposición completa de dichos procesos.

Es muy curioso cuán a menudo los intelectos más agudos y poderosos se han descarriado en el cálculo de probabilidades. Raras veces se equivocaba Pascal, y sin embargo inauguró la ciencia con una solución errónea.‍¹² Leibniz cayó en el extraordinario error de pensar que el número doce era un resultado tan probable al arrojar dos dados como el número once.‍¹³ En no pocos casos, la solución falsa obtenida en primer lugar parece hoy en día más plausible que la correcta demostrada posteriormente.

Jakob Bernoulli registra cándidamente dos soluciones falsas de un problema que al principio consideraba evidente por sí mismo; y añade una advertencia contra el riesgo de error, especialmente cuando intentamos razonar sobre este tema sin una adscripción rigurosa a reglas y símbolos metódicos. Montmort no estuvo libre de errores similares. D’Alembert cayó constantemente en equivocaciones y no pudo percibir, por ejemplo, que las probabilidades serían las mismas cuando las monedas se lanzan sucesivamente que cuando se lanzan simultáneamente.

Algunos hombres de gran reputación, como Ancillon, Moses Mendelssohn, Garve, Auguste Comte,‍¹⁴ Poinsot y J. S. Mill,‍¹⁵ han malinterpretado la teoría hasta el punto de cuestionar su valor o incluso disputar su validez. Las afirmaciones erróneas sobre la teoría expuestas en las primeras ediciones del System of Logic de Mill fueron parcialmente retiradas en las ediciones posteriores.

Muchas personas tienen la falaz tendencia a creer que, cuando un acontecimiento aleatorio ha ocurrido varias veces seguidas en una conjunción inusual, es menos probable que vuelva a suceder. D’Alembert sostuvo seriamente que, si salía cara tres veces seguidas al lanzar una moneda, lo más probable era que saliera cruz en la siguiente prueba.‍¹⁶ Bequelin adoptó la misma opinión, y sin embargo no hay razón alguna para ello.

Si el acontecimiento es realmente fortuito, lo que ha ocurrido antes no puede influir en lo más mínimo. De hecho, cuanto más a menudo tiene lugar un acontecimiento fortuito, más probable es que vuelva a suceder; porque existe cierta ligera evidencia empírica de una tendencia.

El origen de la falacia se encuentra enteramente en los sentimientos de sorpresa con los que presenciamos un acontecimiento que ocurre por azar, de una manera que parece proceder de un designio.

También puede surgir un malentendido si se pasa por alto la diferencia entre permutaciones y combinaciones. Lanzar diez caras consecutivas con una moneda no es más improbable que lanzar cualquier otra sucesión particular de caras y cruces, pero es mucho menos probable que cinco caras y cinco cruces sin tener en cuenta su orden, porque no hay menos de 252 tiradas particulares diferentes que darán este resultado, cuando prescindimos de la diferencia de orden.

Surgen dificultades en la aplicación de la teoría debido a nuestra habitual indiferencia ante las pequeñas probabilidades. Nos vemos obligados en la práctica a aceptar como ciertas verdades que casi lo son, porque deja de valer la pena calcular la diferencia. Ningún castigo podría infligirse si se exigiera una prueba de culpabilidad absolutamente cierta, y como señala Locke: «Aquel que no quiera moverse hasta saber infaliblemente que el asunto que emprende tendrá éxito, no tendrá mucho más que hacer que quedarse sentado y perecer».‍¹⁷ No hay un solo momento en nuestras vidas en el que no estemos expuestos a un ligero peligro de muerte o de algún destino terrible. No hay una sola acción de comer, beber, sentarse o levantarse que no haya resultado mortal para alguna persona. Varios filósofos han intentado fijar el límite de las probabilidades que consideramos cero; Buffon mencionó 1/10 000, porque es la probabilidad, prácticamente ignorada, de que un hombre de 56 años muera al día siguiente. Pascal señaló que se consideraría un necio al hombre que dudara en aceptar la muerte si tres dados sacaban seises veinte veces seguidas, con la recompensa de una corona en caso de un resultado diferente; pero como la probabilidad de muerte en cuestión es de tan solo 1 ÷ 6⁶⁰, o la unidad dividida por un número de 47 cifras, puede decirse que corremos mayores riesgos cada día por motivos menores. Existe un riesgo de muerte mucho mayor, por ejemplo, en un partido de críquet o en una visita a la pista de patinaje.

Nada es más necesario que distinguir cuidadosamente entre la verdad de una teoría y la aplicación veraz de la teoría a las circunstancias reales.

Como regla general, los acontecimientos en la naturaleza y en el arte presentarán una complejidad de relaciones que supera nuestras capacidades de tratamiento. La acción intrincada de la mente a menudo interviene y hace que el análisis completo sea desesperado.

Si, por ejemplo, la probabilidad de que un tirador acierte al blanco en un solo disparo fuera de 1 en 10, podría parecernos que no hay dificultad en calcular la probabilidad de cualquier sucesión de aciertos; así, la probabilidad de tres aciertos sucesivos sería de uno en mil.

Pero, en realidad, la confianza y la experiencia derivadas del primer disparo exitoso harían que un segundo éxito fuera más probable. Los acontecimientos no son realmente independientes, y por lo general habría un predominio mucho mayor de rachas de aparente buena suerte de lo que un cálculo simple de probabilidades podría explicar.

En algunas personas, sin embargo, una serie notable de éxitos producirá un grado de excitación que hace que el éxito continuo sea casi imposible.

Los intentos de aplicar la teoría de la probabilidad a los resultados de los procedimientos judiciales han resultado de escaso valor, simplemente porque las condiciones son demasiado intrincadas. Como dijo Laplace: “Tant de passions, d’intérêts divers et de circonstances compliquent les questions relatives à ces objets, qu’elles sont presque toujours insolubles.”

Los hombres que actúan en un jurado, o que rinden testimonio ante un tribunal, están sujetos a influencias tan complejas que ninguna fórmula matemática puede formularse para expresar las condiciones reales. Los jurados o incluso los jueces en el estrado no pueden considerarse como actuando de manera independiente, con una probabilidad definida a favor de que cada uno emita un juicio correcto.

• Cada miembro del jurado está más o menos influenciado por la opinión de los demás, y existen efectos sutiles de carácter, de modales y de fuerza mental que desafían el análisis.

Incluso en la ciencia física podemos aplicar la teoría de manera definida en un número comparativamente pequeño de casos, porque los datos requeridos son demasiado complicados y difíciles de obtener. Pero tales fracasos no disminuyen en modo alguno la verdad y la belleza de la teoría misma; en realidad no hay rama de la ciencia en la que nuestros símbolos puedan hacer frente a la complejidad de la Naturaleza. Como dijo Donkin:—

“No veo por qué razón puede dudarse de que todo estado definido de creencia respecto a una hipótesis propuesta es en sí mismo susceptible de ser representado por una expresión numérica, por muy difícil o impracticable que pueda ser determinar su valor real. Sería muy difícil estimar en números la vis viva de todas las partículas de un cuerpo humano en un instante dado; pero nadie duda de que es susceptible de expresión numérica.”‍¹⁸

La dificultad, en suma, es meramente relativa a nuestro conocimiento y destreza, y no es absoluta ni inherente al asunto. Debemos distinguir entre lo que es teóricamente concebible y lo que es practicable con nuestros recursos mentales actuales. Siempre que nuestras aspiraciones apunten en la dirección correcta, no debemos permitir que se vean mermadas por la consideración de que van más allá de lo que ahora puede destinarse a un uso inmediato.

A pesar de sus inmensas dificultades de aplicación, y de las injurias que erróneamente se le han atribuido, la teoría de las probabilidades, lo repito, es la más noble, así como con el tiempo demostrará ser, tal vez, la rama más fructífera de la ciencia matemática. Es la guía misma de la vida, y difícilmente podemos dar un paso o tomar una decisión de cualquier índole sin calcular, de manera correcta o incorrecta, una estimación de probabilidades.

En el siguiente capítulo pasaremos a considerar cómo toda la fuerza del razonamiento inductivo descansa sobre las probabilidades. La verdad o falsedad de una ley natural, cuando se investiga minuciosamente, se reduce a un grado alto o bajo de probabilidad, y este es el caso seamos o no capaces de aportar datos numéricos precisos.