CAPÍTULO VII. INDUCCIÓN.

Entramos en este capítulo en el segundo gran departamento del método lógico, el de la Inducción o la Inferencia de verdades generales a partir de particulares.

No puede decirse que el proceso inductivo sea de mayor importancia que el proceso deductivo ya considerado, porque este último proceso es absolutamente esencial para la existencia del primero. Cada uno es el complemento y la contraparte del otro. Los principios del pensamiento y de la existencia que subyacen a ambos son en el fondo los mismos, del mismo modo que la resta de números se basa necesariamente en los mismos principios que la suma.

La Inducción es, de hecho, la operación inversa de la deducción, y no puede concebirse que exista sin la operación correspondiente, de modo que la cuestión de la importancia relativa no puede plantearse. ¿Quién piensa en preguntar si la suma o la resta es el proceso más importante en aritmética?

Pero, al mismo tiempo, puede existir una gran diferencia en cuanto a la dificultad entre una operación directa y una inversa; el cálculo integral, por ejemplo, es infinitamente más difícil que el cálculo diferencial del cual es su inverso. De manera similar, debe admitirse que las investigaciones inductivas son de un grado de dificultad y complejidad mucho mayor que cualquier cuestión de deducción; y es este hecho, sin duda, el que llevó a algunos lógicos, como Francis Bacon, Locke y J. S. Mill, a opiniones erróneas acerca de la importancia exclusiva de la inducción.

Hasta ahora nos hemos ocupado de considerar cómo, a partir de ciertas condiciones, leyes o identidades que rigen las combinaciones de cualidades, podemos deducir la naturaleza de las combinaciones acordes con dichas condiciones. Nuestra labor ha consistido en desplegar los resultados de lo que está contenido en cualesquiera enunciados, y el proceso ha sido de Síntesis.

Los términos o combinaciones cuyo carácter se ha determinado han implicado por lo general, aunque de ningún modo siempre, más cualidades y, por tanto —según la relación de extensión e intensión—, menos objetos que los términos en los que se describían. Las verdades inferidas eran así, por lo general, menos generales que las verdades a partir de las cuales se inferían.

En la inducción todo está invertido. Las verdades que han de averiguarse son más generales que los datos de los que se extraen. El proceso mediante el cual se alcanzan es analítico, y consiste en separar las complejas combinaciones en las que se nos presentan los fenómenos naturales y determinar las relaciones de las cualidades separadas.

Dados ciertos acontecimientos que obedecen a leyes desconocidas, tenemos que descubrir las leyes a las que obedecen. En lugar de la tarea comparativamente fácil de averiguar qué efectos se seguirán de una ley dada, ahora se dan los efectos y se requiere la ley. Tenemos que interpretar la voluntad mediante la cual se establecieron las condiciones de la creación.

# Inducción como operación inversa

Ya he afirmado que la inducción es la operación inversa de la deducción, pero la diferencia es de tanta importancia que debo insistir en ello.

Hay muchos casos en los que podemos hacer cierta cosa con facilidad e infalibilidad, pero podemos tener muchos problemas para deshacerla. Una persona puede adentrarse en el laberinto más complicado o en las catacumbas más extensas, y girar a diestra y siniestra a su antojo; es cuando desea regresar cuando empiezan la duda y la dificultad.

Al entrar, cualquier camino le servía; al salir, debe seleccionar ciertos caminos definidos, y en esa selección debe confiar en la memoria del camino por el que entró o bien hacer una prueba exhaustiva de todas las rutas posibles. El explorador que entra en un país nuevo se asegura la línea de regreso marcando los árboles.

La misma dificultad se presenta en muchos procesos científicos.

Dados dos números cualesquiera, podemos mediante un proceso simple e infalible obtener su producto; pero cuando se da un número grande es muy distinta cuestión determinar sus factores.

¿Puede decir el lector qué dos números multiplicados entre sí producirán el número 8.616.460.799? Me parece improbable que nadie más que yo llegue a saberlo nunca; pues son dos números primos grandes, y solo pueden ser redescubiertos probando sucesivamente una larga serie de divisores primos hasta dar con el correcto. El trabajo probablemente ocuparía a una buena computadora durante muchas semanas, pero a mí no me ocupó muchos minutos multiplicar los dos factores entre sí.

De igual modo, no existe ningún proceso directo para descubrir si un número es primo o no; solo probando exhaustivamente todos los números inferiores que podrían ser divisores podemos demostrar que no hay ninguno, y la labor del proceso sería intolerable si no se realizara sistemáticamente de una vez por todas en el proceso conocido como la Criba de Eratóstenes, cuyos resultados quedan registrados en tablas de números primos.

Las inmensas dificultades que se encuentran en la resolución de ecuaciones algebraicas proporcionan otra ilustración.

Dados cualesquiera factores algebraicos, podemos llegar de forma fácil e infalible al producto; pero dado un producto, es un asunto de infinita dificultad resolverlo en factores.

Dada cualquier serie de cantidades, por muy numerosa que sea, hay muy poca dificultad en construir una ecuación que tenga dichas cantidades como raíces. Sean a, b, c, d, etc., las cantidades; entonces

(x - a)(x - b)(x - c)(x - d) . . . = 0

es la ecuación requerida, y solo necesitamos multiplicar la expresión del lado izquierdo mediante las reglas ordinarias.

Pero habiendo dado una expresión algebraica compleja igualada a cero, es un asunto de extrema dificultad descubrir todas las raíces. Los matemáticos han agotado sus más altas capacidades al llevar la solución completa hasta el cuarto grado.

En cualquier otra operación matemática el proceso inverso es mucho más difícil que el directo, la sustracción que la adición, la división que la multiplicación, la evolución que la involución; pero la dificultad aumenta enormemente a medida que el proceso se vuelve más complejo.

La diferenciación, el proceso directo, siempre es susceptible de realizarse mediante reglas fijas, pero como estas reglas producen una variedad considerable de resultados, el proceso inverso de la integración presenta inmensas dificultades y, en una mayoría infinita de casos, supera los recursos actuales de los matemáticos.

No existen reglas infalibles y generales para su realización; debe hacerse mediante prueba, conjeturas o recordando los resultados de la diferenciación y utilizándolos como guía.

Acercándonos más a nuestro propio tema inmediato, existe exactamente la misma dificultad para determinar la ley a la que obedecen ciertas cosas. Dada una expresión matemática general, podemos averiguar infaliblemente su valor para cualquier valor requerido de la variable.

Pero no tengo noticia de que los matemáticos hayan intentado jamás establecer las reglas de un proceso mediante el cual, dados ciertos números, se pudiera descubrir una fórmula racional o precisa de la cual proceden.

El lector podrá poner a prueba su capacidad para detectar una ley mediante la contemplación de sus resultados si, no siendo matemático, intenta señalar la ley a la que obedecen los siguientes números:

Estos números se presentan a veces en términos reducidos, pero de manera imprevista ascienden a términos elevados; en su magnitud absoluta son muy variables.

Parecen desafiar toda regularidad y método, y es difícil suponer que alguien pudiera, a partir de la contemplación de los números, haber detectado las relaciones entre ellos.

Sin embargo, derivan de las leyes de relación más regulares y simétricas, y son de la más alta importancia en el análisis matemático, siendo conocidos como los números de Bernoulli.

Compárese de nuevo la dificultad de descifrar con la de cifrar. Cualquiera puede inventar un lenguaje secreto y, con un poco de trabajo constante, traducir la carta más larga al criptograma. Pero descifrar la carta, al no tener la clave de los signos adoptados, es un asunto completamente distinto.

Como los modos posibles de escritura secreta son infinitos en número y sumamente variados en su clase, no existe ningún método directo de descubrimiento en absoluto.

• El ensayo repetido, guiado más o menos por el conocimiento de la forma habitual de cifrado y basado enteramente en los principios de probabilidad e inducción lógica, es el único recurso.

Para este proceso se requiere un tacto o habilidad peculiar, y unos pocos hombres, como Wallis o Wheatstone, han alcanzado un gran éxito.

La inducción es el desciframiento del significado oculto de los fenómenos naturales. Dados acontecimientos que ocurren en ciertas combinaciones bien definidas, se nos exige señalar las leyes que rigen esas combinaciones. Supuestas cualesquiera leyes, podemos decidir, con facilidad y certeza, si los fenómenos obedecen a dichas leyes. Pero las leyes que pueden existir son de una variedad infinita, de modo que las probabilidades juegan enormemente en contra de la mera adivinación al azar. La dificultad aumenta considerablemente por el hecho de que varias leyes suelen estar en funcionamiento al mismo tiempo, cuyos efectos se entremezclan. Los únicos modos de descubrimiento consisten o bien en poner a prueba de manera exhaustiva un gran número de leyes supuestas, un proceso que es exhaustivo en más de un sentido, o bien en contemplar cuidadosamente los efectos, esforzándose por recordar casos en los que efectos semejantes se siguieron de leyes conocidas. De cualquier manera en que logremos el descubrimiento, este debe realizarse mediante la aplicación más o menos consciente del proceso directo de deducción.

El Alfabeto Lógico ilustra tanto la inducción como la deducción. Al considerar el Proceso Indirecto de Inferencia, descubrimos que a partir de ciertas proposiciones podíamos determinar infaliblemente las combinaciones de términos que concordaban con esas premisas. El problema inductivo es justo el inverso.

Habiéndose dado ciertas combinaciones de términos, necesitamos averiguar las proposiciones con las cuales dichas combinaciones son coherentes y a partir de las cuales pueden haber surgido.

Ahora bien, si el lector contempla las siguientes combinaciones,

probablemente recordará de inmediato que pertenecen a las premisas A = AB, B = BC (pág. 92). Si no, necesitará unos cuantos intentos antes de dar con la respuesta correcta, y cada intento consistirá en suponer ciertas leyes y observar si los resultados deducidos coinciden con los datos.

Para poner a prueba la facilidad con la que puede resolver este problema inductivo, que tache informalmente cualquiera de las combinaciones de la cuarta columna del Alfabeto Lógico (pág. 94) y diga qué leyes obedecen las combinaciones restantes, teniendo en cuenta que cada uno de los términos con letras y sus negaciones deben aparecer para evitar contradicciones en las premisas (págs. 74, 111). Que diga, por ejemplo, qué leyes están incorporadas en las combinaciones

La dificultad se vuelve mucho mayor cuando entran más términos en las combinaciones. Requeriría un pequeño examen averiguar las condiciones completas satisfechas en las combinaciones

El lector podrá descubrir con bastante facilidad que las leyes principales son C = e y A = Ae; pero difícilmente descubriría sin algún problema la ley restante, a saber, que BD = BDe.

Las dificultades que se encuentran en las investigaciones inductivas de la naturaleza son de un tipo exactamente similar. Rara vez observamos una ley en funcionamiento ininterrumpido y sin disfraces.

La agudeza de Aristóteles y de los antiguos griegos no les permitió descubrir que todos los cuerpos terrestres tienden a caer hacia el centro de la tierra.

Unas pocas noches de observación podrían haber convencido a un astrónomo que observara el sistema solar desde su centro de que los planetas giraban alrededor del sol; pero el hecho de que nuestro lugar de observación sea uno de los planetas en movimiento complica tanto los movimientos aparentes de los demás cuerpos, que se necesitó toda la sagacidad de Copérnico para demostrar la verdadera simplicidad del sistema planetario.

Lo mismo ocurre en toda la naturaleza; las leyes pueden ser simples, pero sus efectos combinados no lo son, y no tenemos ninguna pista que nos guíe a través de sus complejidades.

«Es gloria de Dios —dijo Salomón— encubrir un asunto, pero honra del rey investigarlo».

Las leyes de la naturaleza son los valiosos secretos que Dios ha ocultado, y es la prerrogativa regia del filósofo descubrirlos mediante la industria y la sagacidad.

# Problemas de inducción para ser resueltos por el lector.

En la primera edición (vol. ii, p. 370) propuse un problema lógico que implicaba seis términos, y pedí a los lectores que descubriesen las leyes que rigen las combinaciones dadas. Recibí respuestas satisfactorias de lectores tanto en los Estados Unidos como en Inglaterra. Formé las combinaciones deductivamente a partir de cuatro leyes de corrección, pero mis corresponsales descubrieron que tres leyes más simples, equivalentes a las cuatro más complejas, eran la mejor respuesta; dichas leyes son las siguientes: a = ac, b = cd, d = Ef.

En caso de que otros lectores deseen poner a prueba su habilidad en el problema inductivo o inverso, presento a continuación varias series de combinaciones que forman problemas de dificultad gradual.

• A B c
• A b C
• a B C

• A B C
• A b C
• a B C
• a B c

• A B C
• A b C
• a B C
• a B c
• a b c

• A B C D
• A b c D
• a B c f
• a b C f

• A B C D
• A B C f
• A B c f
• A b C D
• A b c D
• a B C D
• a B c D
• a B c f
• a b C f

• A B C D E
• A B C f e
• A B c D E
• A B c f e
• A b C D E
• a B C D E
• a B C f e
• a b C D E
• a b c f e

• A b c D e
• a B C f E
• a b C f E

• A B C D E
• A B C D e
• A B C f e
• A B c f e
• A b C D E
• A b c f E
• A b c f e
• a B C D e
• a B C f e
• a B c D e
• a b C D e
• a b C f E
• a b c D e
• a b c f E

• A B c D E F
• A B c D e F
• A b C D e f
• A b c D E f
• A b c D e f
• A b c f E F
• A b c f e F
• a B c D E F
• a B c D e F
• a B c f E F
• a b C D E F
• a b C D e F
• a b C D e f
• a b c D e f
• a b c D E f
• a b c f e F

• A B C D e F
• A B c D E f
• A b C D E F
• A b C D e F
• A b c D e F
• a B C D E f
• a B c D E f
• a b C D e F
• a b C f e F
• a b c D e f
• a b c d e f

Inducción de Identidades Simples .

Muchas leyes importantes de la naturaleza se pueden expresar en forma de identidades simples, y puedo aducirlas de inmediato como ejemplos para ilustrar lo que he dicho acerca de la dificultad del proceso inverso de la inducción.

Dos fenómenos están conjuntados. Así, toda la materia gravitatoria coincide exactamente con toda la materia que posee inercia; donde aparece una propiedad, aparece asimismo la otra.

• Todos los cristales del sistema cúbico son todos los cristales que no hacen la doble refracción de la luz.
• Todas las plantas exógenas son, con algunas excepciones, aquellas que tienen dos cotiledones o hojas seminales.

Una breve reflexión demostrará que no existe un proceso directo e infalible mediante el cual se puedan descubrir coincidencias tan completas. Los objetos naturales son agregados de muchas cualidades, y cualquiera de esas cualidades puede resultar estar en estrecha conexión con algunas otras.

Si cada uno de los objetos de un numeroso grupo está dotado de un centenar de cualidades físicas o químicas distintas, no habrá menos de 1/2(100 × 99) o 4950 pares de cualidades que puedan estar conectados, y evidentemente será una cuestión de gran complejidad y labor averiguar exactamente qué cualidades están conectadas por alguna ley simple.

Una fuente principal de dificultad es que los poderes finitos de la mente humana no bastan para comparar mediante un solo acto un grupo grande de objetos con otro grupo grande. No podemos retener en la posesión consciente de la mente en un momento dado más de cinco o seis ideas diferentes. De ahí que debamos tratar cualquier grupo más complejo mediante actos sucesivos de atención.

El lector percibirá mediante un acto de comparación casi instantáneo que las palabras Roma y Mora contienen las mismas letras. Tal vez pueda ver de un vistazo si ocurre lo mismo con Causal y Casual, y con Logica y Caligo. Para asegurarse de que las letras de Astronomers forman No more stars, de que Serpens in akuleo es un anagrama de Joannes Keplerus, o Great gun do us a sum un anagrama de Augustus de Morgan, sin duda le será necesario dividir el acto de comparación en varios actos sucesivos.

El proceso adquirirá un carácter doble y consistirá en comprobar que cada letra del primer grupo se encuentra entre las letras del segundo grupo, y viceversa, que cada letra del segundo se encuentra entre las del primer grupo. Del mismo modo, solo podemos demostrar que dos listas largas de nombres son idénticas mostrando que cada nombre de una lista aparece en la otra, y viceversa.

Este proceso de comparación consiste en realidad en establecer dos identidades parciales que, como ya se ha demostrado (p. 58), son equivalentes en conjunto a una identidad simple. Primero constatamos la verdad de las dos proposiciones A = AB, B = AB, y luego ascendemos por sustitución a la ley única A = B.

Existe otro procedimiento, es verdad, mediante el cual podemos llegar exactamente al mismo resultado; pues las dos proposiciones A = AB, a = ab también son equivalentes a la simple identidad A = B.

Si entonces podemos demostrar que todos los objetos incluidos bajo A están incluidos bajo B, y también que todos los objetos no incluidos bajo A no están incluidos bajo B, habremos logrado nuestro propósito.

Mediante este procedimiento compararíamos habitualmente dos listas si se nos permite marcarlas. Por cada nombre en la primera lista tacharíamos uno en la segunda, y si, cuando la primera lista se agota, la segunda lista también se agota, se deduce que todos los nombres ausentes de la primera deben estar ausentes de la segunda, y la coincidencia debe ser completa.

Estos dos modos de demostrar una identidad están tan estrechamente emparentados que resulta dudoso hasta qué punto podemos detectar alguna diferencia en sus capacidades y casos de aplicación.

El primer método es tal vez más conveniente cuando los fenómenos que deben compararse son raros. Así, demostramos que todas las concordancias musicales coinciden con todas las razones numéricas más simples, mostrando que cada concordancia surge de una razón simple de ondulaciones, y mostrando después que cada razón simple da lugar a una de las concordancias. Examinar todos los casos posibles de discordancia o de razón compleja de ondulación sería imposible.

Mediante un feliz golpe de inducción, sir John Herschel descubrió que todos los cristales de cuarzo que hacen girar el plano de polarización de la luz son precisamente aquellos cristales que poseen caras plagiédricas, es decir, caras oblicuas en las esquinas del prisma asimétricas respecto a las caras ordinarias. Esta singular relación se demostraría observando que todos los cristales plagiédricos poseían el poder de rotación y, vice versâ, todos los cristales que poseían este poder eran plagiédricos. Pero al mismo tiempo podría observarse que todos los cristales ordinarios carecían de dicho poder.

No hay razón para que no detectemos cualquiera de las cuatro proposiciones A = AB, B = AB, a = ab, b = ab, todas las cuales se deducen de A = B (p. 115).

A veces los términos de la identidad pueden ser objetos singulares; así observamos que el diamante es una gema combustible, y al no poder descubrir ninguna otra que lo sea, afirmamos‍—

De manera similar determinamos que

Dos o tres objetos pueden ocasionalmente entrar en la inducción, como cuando aprendemos que

# Inducción de Identidades Parciales .

En la sección anterior descubrimos que la identidad completa de dos clases rara vez se descubre mediante la observación directa del hecho, sino estableciendo primero dos identidades parciales.

También hay una multitud de casos en los que la identidad parcial de una clase con otra es la única relación por descubrir. Así, la más común de todas las inferencias inductivas consiste en establecer el hecho de que todos los objetos que tienen las propiedades de A tienen también las de B, o que A = AB.

Para averiguar la verdad de una proposición de este tipo, basta con reunir, mental o físicamente, todos los objetos incluidos en A, y observar después si B está presente en cada uno de ellos o, lo que es lo mismo, si sería imposible seleccionar entre ellos algún no-B.

• Así, si reunimos mentalmente todos los cuerpos celestes que se mueven con aparente rapidez, es decir, los planetas, descubrimos que todos poseen la propiedad de no centellear.
• No podemos analizar ninguna sustancia vegetal sin descubrir que contiene carbono e hidrógeno, pero no es verdad que todas las sustancias que contienen carbono e hidrógeno sean sustancias vegetales.

La gran masa de las verdades científicas consiste en proposiciones de esta forma A = AB. Así, en astronomía aprendemos que todos los planetas son cuerpos esroidales; que todos ellos giran en una dirección alrededor del sol; que todos brillan mediante luz reflejada; que todos obedecen la ley de gravitación. Pero, por supuesto, no ha de afirmarse que todos los cuerpos que obedecen la ley de gravitación, o brillan mediante luz reflejada, o giran en una dirección particular, o son esferoidales en su forma, sean planetas. En otras ciencias tenemos inmensos números de proposiciones de la misma forma, como, por ejemplo, todas las sustancias al volverse gaseosas absorben calor; todos los metales son elementos; todos ellos son buenos conductores del calor y de la electricidad; todos los metales alcalinos son elementos monadas; todos los foraminíferos son organismos marinos; todos los animales parasíticos no son mamíferos; el rayo nunca surge de nubes estratificadas; la piedra pómez nunca se halla donde solo está presente el feldespato labradorita; las lecheras no padecen de viruela; y, en las obras de Darwin, la importancia científica puede atribuirse incluso a una observación tan aparentemente trivial como que «los gatos callejeros blancos que tienen ojos azules son sordos».

El proceso de inferencia mediante el cual se obtienen todas estas verdades puede exhibirse fácilmente en una forma simbólica precisa. Debemos tener una premisa que especifique en forma disyuntiva a todos los individuos posibles que pertenecen a una clase; en resumen, resolvemos la clase en sus constituyentes.

Necesitamos luego una serie de proposiciones, cada una de las cuales afirme que uno de los individuos posee una determinada propiedad. Por lo tanto, las premisas deben tener las formas

Ahora bien, si sustituimos cada alternativa de la primera premisa por su descripción tal como se encuentra entre las premisas sucesivas, obtenemos o

Pero para el conjunto de alternativas podemos ahora sustituir su equivalente tal como se da en la primera premisa, a saber, A, de modo que obtenemos el resultado requerido:

Habríamos llegado al mismo resultado si la primera premisa hubiera sido de la forma

Siempre podemos demostrar una proposición, si nos resulta más conveniente, demostrando su equivalente. Afirmar que todos los no-B son no-A es exactamente lo mismo que afirmar que todos los A son B. En consecuencia, podemos determinar que A = AB determinando primero que b = ab.

Si observamos, por ejemplo, que todas las sustancias que no son sólidas tampoco son capaces de doble refracción, se sigue necesariamente que todas las sustancias con doble refracción son sólidas. Podemos convencernos de que todas las sustancias eléctricas son no conductoras de electricidad si reflexionamos en que todos los buenos conductores no retienen, y de hecho no pueden retener, la excitación eléctrica.

Cuando lleguemos a cuestiones de probabilidad, se considerará conveniente demostrar, en la medida de lo posible, tanto la proposición original como su equivalente, ya que así se obtiene un área mayor de observación.

El número de alternativas que pueden surgir en la división de una clase varía enormemente, y puede ser cualquier número a partir de dos. Así, es probable que toda sustancia sea magnética o diamagnética, y ninguna sustancia puede ser ambas al mismo tiempo. La división debe hacerse entonces en la forma

Si ahora podemos demostrar que todas las sustancias magnéticas son capaces de polaridad, digamos B = BD, y también que todas las sustancias diamagnéticas son capaces de polaridad, C = CD, se sigue por sustitución que todas las sustancias son capaces de polaridad, o A = AD.

Comúnmente dividimos la clase sustancia en las tres subclases, sólido, líquido y gas; y si podemos demostrar que en cada una de estas formas obedece la ley termodinámica de Carnot, se sigue que todas las sustancias obedecen dicha ley.

De manera similar podemos demostrar que todos los animales vertebrados poseen sangre roja, si podemos demostrar por separado que los peces, reptiles, aves, marsupiales y mamíferos poseen sangre roja, existiendo, hasta donde se sabe, solo cinco subclases principales de vertebrados.

Nuestras inducciones se verán a menudo embarazadas por excepciones, reales o aparentes. Podríamos afirmar que todas las gemas son incombustibles si los diamantes no fuesen indudablemente combustibles. Nada parece más evidente que el hecho de que todos los metales son opacos hasta que los examinamos en películas delgadas, momento en el que el oro y la plata resultan ser transparentes. Todas las plantas absorben ácido carbónico excepto ciertos hongos; todos los cuerpos del sistema planetario tienen un movimiento progresivo de oeste a este, excepto los satélites de Urano y Neptuno. Incluso algunas de las leyes más profundas de la materia no son del todo universales; todos los sólidos se dilatan con el calor excepto el caucho y, posiblemente, algunas otras sustancias; todos los líquidos que han sido probados se dilatan con el calor excepto el agua por debajo de los 4 °C y el bismuto fundido; todos los gases tienen un coeficiente de dilatación que aumenta con la temperatura, excepto el hidrógeno. En un capítulo posterior consideraré cómo tales casos anómalos pueden ser considerados y clasificados; aquí solo tenemos que expresarlos de manera consistente mediante nuestra notación.

Tomemos el caso de la transparencia de los metales, y asignemos los términos de este modo:—

Nuestras premisas serán y así sucesivamente para el resto de los metales. Ahora bien, evidentemente y por sustitución como antes obtendremos o en palabras: «Todos los metales que no son ni oro ni plata son opacos»;

al mismo tiempo tenemos o «Los metales que son oro o plata no son opacos».

En algunos casos el problema de la inducción asume un grado mucho mayor de complejidad. Si examinamos las propiedades de las sustancias cristalizadas, podemos hallar algunas propiedades que son comunes a todas, como la escisión o la fractura en planos determinados; pero pronto se haría necesario dividir la clase en varias menores. Dividiríamos los cristales según los siete sistemas aceptados, y entonces hallaríamos que los cristales de cada sistema poseen muchas propiedades comunes. Así, los cristales del sistema regular o cúbico se dilatan igualmente por el calor, conducen el calor y la electricidad con rapidez uniforme y tienen una elasticidad semejante en todas las direcciones; tienen un solo índice de refracción para la luz; y cada faceta se repite en una relación similar con respecto a cada uno de los tres ejes. Se hallará que los cristales del sistema que tiene un eje principal poseen las diversas facultades físicas de conducción, refracción, elasticidad, etc., de manera uniforme en direcciones perpendiculares al eje principal; en otras direcciones sus propiedades varían según leyes complicadas. Los sistemas restantes en los que los cristales poseen tres ejes desiguales, o tienen ejes inclinados, exhiben resultados aún más complicados; los efectos del cristal sobre la luz, el calor, la electricidad, etc., varían en todas las direcciones. Pero cuando proseguimos la inducción en las complejidades de su aplicación a la naturaleza, entramos realmente en el tema de la clasificación, que debemos retomar en una parte posterior de esta obra.

# Solución del problema inverso o inductivo, que comprende dos clases.

Ahora es evidente que la inducción consiste en pasar de una serie de combinaciones a las leyes por las cuales dichas combinaciones están regidas. La ley natural de que todos los metales son conductores de electricidad significa en realidad que en la naturaleza encontramos tres clases de objetos, a saber:

Viene a ser lo mismo si decimos que excluye la existencia de la clase «metales no conductores». Del mismo modo, cualquier otra ley o grupo de leyes significará en realidad la exclusión de la existencia de ciertas combinaciones de las cosas, circunstancias o fenómenos regidos por dichas leyes.

Ahora bien, en lógica, estrictamente hablando, no tratamos con los fenómenos ni con las leyes, sino con las formas generales de las leyes; y una breve reflexión mostrará que, para un número finito de cosas, el número posible de formas o tipos de ley que las rigen también debe ser finito.

Empleando términos generales, sabemos que A y B pueden estar presentes o ausentes de cuatro maneras, y no más, a saber:

por lo tanto, toda ley posible que pueda existir concerniente a la relación de A y B debe estar marcada por la exclusión de una o más de las combinaciones anteriores. El número de leyes posibles, entonces, no puede exceder el número de selecciones que podemos hacer de estas cuatro combinaciones.

Dado que cada combinación puede estar presente o ausente, el número de casos a considerar es 2 × 2 × 2 × 2, es decir, dieciséis; y todos estos casos se muestran en la tabla siguiente, en la cual el signo 0 indica la ausencia o no existencia de la combinación mostrada en la columna de la izquierda en la misma línea, y la marca 1 su presencia:‍—

Así en la columna dieciséis encontramos que todas las combinaciones concebibles están presentes, lo que significa que no existen leyes especiales en tal caso, y que las combinaciones se rigen únicamente por las Leyes universales de la Identidad y la Diferencia.

El ejemplo de los metales y los conductores de electricidad estaría representado por la duodécima columna; y cualquier otro modo en el que dos cosas o cualidades puedan presentarse se muestra en una u otra de las columnas. Más de la mitad de los casos pueden, en efecto, rechazarse de inmediato, porque implican la ausencia total de un término o de su negativo. Se ha demostrado que es un principio lógico que todo término debe tener su negativo (p. 111), y cuando este no es el caso, debe existir una incompatibilidad entre las condiciones de combinación.

Así, si estableciéramos las dosproposiciones siguientes: «El grafito conduce la electricidad» y «El grafito no conduce la electricidad», equivaldría a afirmar la imposibilidad de que el grafito exista en absoluto; o en términos generales, A es B y A no es B dan como resultado la destrucción total de las combinaciones que contienen A, un caso que se muestra en la cuarta columna de la tabla anterior.

Por lo tanto, restringimos nuestra atención a aquellos casos que pueden representarse en los fenómenos naturales cuando al menos dos combinaciones están presentes, y que corresponden a aquellas columnas de la tabla en las que aparece cada uno de A, a, B, b. Estos casos se muestran en las columnas marcadas con un asterisco.

Hallamos que quedan siete casos por examinar, caracterizados de este modo:—

Ya se ha señalado que una proposición de la forma A = AB destruye una combinación, Ab, de modo que esta es la forma de ley aplicable a la duodécima columna. Pero al cambiar uno o más de los términos en A = AB a su negativo, o al intercambiar A y B, a y b, obtenemos nada menos que ocho variedades diferentes de una misma forma; así—

El lector de las secciones precedentes verá que cada proposición de la línea inferior es lógicamente equivalente a, y es de hecho la contrapositiva de, la que tiene encima (p. 83). Así las proposiciones A = Ab y B = aB dan ambas las mismas combinaciones, mostradas en la octava columna de la tabla, y la prueba muestra que la decimosegunda, octava, decimoquinta y decimocuarta columnas se explican de este modo. Llegamos entonces a esta conclusión: La forma general de la proposición A = AB admite cuatro variedades lógicamente distintas, cada una susceptible de expresión en dos modos.

En dos columnas de la tabla, concretamente la séptima y la décima, observamos que faltan dos combinaciones. Ahora bien, una simple identidad A = B hace imposibles tanto Ab como aB, lo que explica el décimo caso; y si cambiamos B por b, la identidad A = b explica el séptimo caso. Puede haber de hecho otras dos variedades de la simple identidad, a saber, a = b y a = B; pero ya se ha demostrado en repetidas ocasiones que estas son equivalentes respectivamente a A = B y A = b (p. 115). Como de la decimosexta columna ya se ha dado cuenta por no estar regida por condiciones especiales, llegamos a la siguiente conclusión general: —Las leyes que rigen las combinaciones de dos términos deben ser capaces de expresarse ya sea en una identidad parcial o en una identidad simple; la identidad parcial es capaz de solo cuatro variedades lógicamente distintas, y la identidad simple, de dos. Toda relación lógica entre dos términos debe expresarse en una de estas seis formas de ley, o debe ser lógicamente equivalente a una de ellas.

En resumen, podemos concluir que al tratar de la identidad parcial y completa, hemos tratado exhaustivamente los modos en que dos términos o clases de objetos pueden estar relacionados. De dos clases cualesquiera se puede decir que una debe estar incluida en la otra, o debe ser idéntica a ella, o una relación similar debe existir entre una clase y la negativa de la otra. Hemos resuelto así por completo el problema lógico inverso relativo a dos términos.‍¹

# El problema lógico inverso que involucra a tres clases.

No bien introducimos en el problema un tercer término C, cuando la investigación adquiere un carácter mucho más complejo, de modo que algunos lectores preferirán pasar por alto esta sección.

Tres términos y sus negativos pueden combinarse, como hemos visto con frecuencia, en ocho combinaciones diferentes, y el efecto de las leyes o condiciones lógicas es destruir cualquiera de estas combinaciones o varias de ellas.

Ahora bien, podemos hacer selecciones de ocho cosas de 2⁸ o 256 maneras; de modo que no tenemos menos de 256 casos diferentes que tratar, y la solución completa es al menos cincuenta veces más laboriosa que con dos términos.

Muchas series de combinaciones, en efecto, son contradictorias, como en el problema más simple, y pueden obviarse, siendo la prueba de consistencia que cada una de las letras A, B, C, a, b, c, aparezca en alguna parte de la serie de combinaciones.

Mi método para resolver el problema fue el siguiente:—Habiendo escrito la serie completa de las 256 combinaciones, las examiné por separado y tachué aquellas que no cumplían con la prueba de consistencia. Luego elegí alguna forma de proposición que involucraba dos o tres términos, y la varié de todas las maneras posibles, tanto mediante el intercambio circular de letras (A, B, C en B, C, A y luego en C, A, B), como mediante la sustitución de uno o más de los términos por los términos negativos correspondientes.

Por ejemplo, la proposición AB = ABC puede variarse primero mediante un intercambio circular para dar BC = BCA y luego CA = CAB. Cada una de estas tres puede transformarse a su vez en ocho variedades mediante un cambio negativo. Así, AB = ABC da aB = aBC, Ab = AbC, AB = ABc, ab = abC, y así sucesivamente.

De este modo, pueden existir posiblemente nada menos que veinticuatro variedades de la ley que tiene la forma general AB = ABC, lo que significa que todo lo que tiene las propiedades de A y B tiene también las de C. De ninguna manera se sigue que algunas de las variedades no puedan ser equivalentes a otras; y la prueba muestra, de hecho, que AB = ABC tiene exactamente el mismo significado que Ac = Abc o Bc = Bca. Por lo tanto, la ley en cuestión tiene solo ocho variedades de significado lógico distinto.

Ahora determino mediante un razonamiento deductivo real cuáles de las 256 series de combinaciones resultan de cada una de estas leyes distintas, y las voy tachando tan pronto como las encuentro.

Procedo entonces a alguna otra forma de ley, por ejemplo $A=ABC$, lo que significa que todo lo que tiene las cualidades de $A$ tiene también las de $B$ y $C$. Encuentro que admite veinticuatro variaciones, todas las cuales resultan ser lógicamente distintas; una vez elaboradas las combinaciones, puedo tachar veinticuatro más de la lista de 256 series.

Procedo de este modo a desarrollar los resultados de cada forma de ley que puedo encontrar o inventar.

Si en el curso de este trabajo obtengo cualquier serie de combinaciones que haya sido previamente delimitada, aprendo de inmediato que la ley que da estas combinaciones es lógicamente equivalente a alguna ley tratada con anterioridad.

Puede inferirse con seguridad que cada variedad de la ley aparentemente nueva coincidirá en significado con alguna variedad de la expresión anterior de la misma ley. He verificado suficientemente esta suposición en algunos casos, y nunca he encontrado que conduzca a error.

Así como AB = ABC es equivalente a Ac = Abc, encontramos que ab = abC es equivalente a ac = acB.

Entre las leyes tratadas se encontraban las dos $A=AB$ y $A=B$, que involucran solo dos términos, porque por supuesto puede suceder que entre tres cosas solo dos se encuentren en una relación lógica especial, y la tercera sea independiente; y la serie de combinaciones que representan tales casos de relación seguramente aparecerá en la enumeración completa.

Una vez tratadas todas las proposiciones simples que pude idear, se investigaron a continuación los pares de proposiciones. Así tenemos las relaciones: «Todos los A son B, y todos los B son C», de las cuales el antiguo silogismo lógico es el desarrollo. También podemos tener «todos los A son todos los B, y todos los B son C», o incluso «todos los A son todos los B, y todos los B son todos los C».

Todas estas premisas admiten variaciones, mayores o menores en número, cuya distinción lógica solo puede determinarse mediante un análisis detallado.

También se trataron proposiciones disyuntivas, ya sea de forma individual o en parejas, pero a menudo se encontró que eran equivalentes a otras proposiciones de una forma más simple; así, $A=ABC<mrow><mi>¦</mi></mrow>A\mathit{\text{bc}}$ tiene exactamente el mismo significado que $AB=AC$.

Este modo de prueba exhaustiva guarda cierta analogía con aquel antiguo proceso matemático llamado la Criba de Eratóstenes. Habiendo tomado una larga serie de números naturales, se dice que Eratóstenes calculó sucesivamente todos los múltiplos de cada número y los fue tachando, de modo que al final solo quedaron los números primos y se descubrieron exhaustivamente los factores de cada número.

Mi problema de 256 series de combinaciones es el análogo lógico; los principales puntos de diferencia son que existe un límite en el número de casos y que los números primos no tienen análogo en la lógica, ya que toda serie de combinaciones corresponde a una ley o grupo de condiciones. Pero la analogía es perfecta en el punto de que ambos son procesos inversos.

No hay otro modo de cerciorarse de que un número es primo que demostrando que no es el producto de ningún factor asignable. Del mismo modo, no hay otro modo de averiguar qué leyes están incorporadas en una serie de combinaciones que probando exhaustivamente las leyes que las darían.

Del mismo modo que los resultados del método de Eratóstenes se han elaborado en gran medida y registrado en tablas para la comodidad de otros matemáticos, me he esforzado por desarrollar el problema lógico inverso hasta el límite que es actualmente practicable o útil.

He encontrado así que existen en total quince condiciones o series de condiciones que pueden regir las combinaciones de tres términos, conformando las premisas de quince clases de argumentos esencialmente diferentes.

La siguiente tabla contiene una exposición de estas condiciones, junto con el número de combinaciones que son contradichas o destruidas por cada una, y el número de variaciones lógicamente distintas de las que la ley es capaz.

Podría añadirse también, como un decimosexto caso, aquel caso en el que no existe ninguna condición lógica especial, de modo que las ocho combinaciones permanezcan.

Hay sesenta y tres series de combinaciones derivadas de premisas contradictorias en sí mismas, las cuales con 192, la suma de los números de variaciones lógicas distintas establecidas en la tercera columna de la tabla, y con el único caso en el que no hay condiciones ni leyes en absoluto, componen el número total concebible de 256 series.

De esta tabla aprendemos, por ejemplo, que dos proposiciones de la forma A = AB, B = BC, tales que constituyen las premisas del antiguo silogismo Barbara, excluyen como imposibles cuatro de las ocho combinaciones en las que tres términos pueden unirse, y que estas proposiciones son capaces de adoptar veinticuatro variaciones mediante transposiciones de los términos o la introducción de negativas.

Esta tabla presenta entonces los resultados de un análisis completo de todas las relaciones lógicas posibles que surgen en el caso de tres términos, y el viejo silogismo forma tan solo una de entre quince formas típicas. En términos generales, cada forma puede convertirse en proposiciones aparentemente diferentes; así, el cuarto tipo A = B, B = BC puede aparecer bajo la forma A = ABC, a = ab, o bien bajo la forma de tres proposiciones A = AB, B = BC, aB = aBc; pero todos estos conjuntos de premisas producen idénticamente la misma serie de combinaciones y, por tanto, poseen un significado lógico equivalente. El quinto tipo, o Barbara, también puede expresarse en las formas equivalentes A = ABC, aB = aBC y A = AC, B = A ꖌ aBC.

En otros casos he obtenido exactamente las mismas condiciones lógicas en cuatro modos de formulación. En lo que respecta a la mera apariencia y a la forma de enunciación, el número de premisas posibles sería muy grande y difícil de exponer de manera exhaustiva.

El más notable de todos los tipos de condición lógica es el decimocuarto, a saber, A = BC ꖌ bc. Es el que expresa la división de un género en dos especies doblemente marcadas, y podría ilustrarse con el ejemplo: «Componente del universo físico = materia, con gravitación, o no-materia (éter), sin gravitación».

Solo es capaz de dos variaciones lógicas distintas, a saber, A = BC ꖌ bc y A = Bc ꖌ bC. Mediante la transposición o el cambio negativo de las letras podemos obtener en efecto seis expresiones diferentes de cada una de estas proposiciones; pero cuando se analizan sus significados, desarrollando las combinaciones, se descubre que son lógicamente equivalentes a una u otra de las dos anteriores.

Así, la proposición A = BC ꖌ bc puede escribirse en cualquiera de los siguientes otros cinco modos,

No creo necesario publicar por el momento la tabla completa de 193 series de combinaciones y las premisas correspondientes a cada una. Dicha tabla nos permite, mediante la mera inspección, conocer las leyes a las que obedece cualquier conjunto de combinaciones de tres elementos, y es a la lógica lo que una tabla de factores y números primos es a la teoría de números, o una tabla de integrales a las matemáticas superiores.

La tabla ya ofrecida (p. 140) permitiría a una persona, con muy poco esfuerzo, descubrir la ley de cualquier combinación.

• Si hay siete combinaciones (una contradicha), la ley debe ser del octavo tipo, y la variedad adecuada será evidente.
• Si hay seis combinaciones (dos contradichas), se aplica el segundo, undécimo o duodécimo tipo, y un cierto número de pruebas revelará el tipo y la variedad adecuados.
• Si solo hay dos combinaciones, la ley debe ser del tercer tipo, y así sucesivamente.

Las investigaciones anteriores están completas en lo que respecta a las posibles relaciones lógicas de dos o tres términos. Pero cuando intentamos aplicar el mismo tipo de método a las relaciones de cuatro o más términos, la labor se vuelve impracticablemente grande.

Cuatro términos dan dieciséis combinaciones compatibles con las leyes del pensamiento, y el número de selecciones posibles de combinaciones no es menor de 2¹⁶ o 65.536.

La siguiente tabla muestra la manera extraordinaria en que el número de relaciones lógicas posibles aumenta con el número de términos involucrados.

Serían necesarios algunos años de trabajo continuo para averiguar los tipos de leyes que pueden regir las combinaciones de solo cuatro cosas, y tan solo una pequeña parte de tales leyes se vería ejemplificada o sería susceptible de aplicación práctica en la ciencia.

El problema inverso puramente lógico, mediante el cual pasamos de las combinaciones a sus leyes, se resuelve en las páginas precedentes, en la medida en que es probable que lo sea durante mucho tiempo; y es casi imposible que llegue a llevarse nunca más de un único paso más allá.

En la primera edición, vol. I, p. 158, afirmé que no me había sido posible descubrir ningún modo de calcular el número de casos en los que se implicaría una incoherencia en la selección de combinaciones del Alfabeto Lógico. La complejidad lógica del problema parecía ser tan grande que los modos ordinarios de calcular números de combinaciones fracasaban, en mi opinión, en dar cualquier ayuda, y un examen exhaustivo de las combinaciones en detalle parecía ser el único método aplicable.

Esta opinión, sin embargo, era errónea, ya que tanto el Sr. R. B. Hayward, de Harrow, como el Sr. W. H. Brewer han calculado los números de casos incoherentes tanto para tres como para cuatro términos, sin mucha dificultad.

En el caso de cuatro términos encuentran que hay 1761 selecciones incoherentes y 63.774 coherentes, las cuales, junto con un caso en el que no existe ninguna condición, suman el total de 65.536 selecciones posibles.

Los casos inconsistentes se distribuyen de la manera que se muestra en la siguiente tabla:—

Cuando quedan por excluir más de ocho combinaciones del Alfabeto Lógico (pág. 94, columna V.), no puede haber incoherencia. Los números totales de formas de seleccionar 0, 1, 2, etc., combinaciones de entre 16 se dan en la 17.ª línea del Triángulo Aritmético presentado más adelante en el capítulo sobre Combinaciones y Permutaciones, siendo la suma de los números de esa línea 65.536.

# El profesor Clifford sobre los tipos de proposición compuesta que involucran cuatro clases.

En la primera edición (vol. i. p. 163), afirmé que se requerirían algunos años de trabajo para determinar siquiera el número preciso de tipos de ley que rigen las combinaciones de cuatro clases de cosas.

Aunque sigo creyendo que se requerirían algunos años de trabajo para elaborar los tipos en sí, es claramente un error suponer que los números de dichos tipos no se pueden calcular con una cantidad razonable de trabajo, ya que el profesor W. K. Clifford ha llevado a cabo en realidad la tarea.

Su solución del problema numérico implica el uso de un sistema completo y nuevo de nomenclatura y es demasiado intrincada para describirla aquí por completo. Solo puedo dar un breve resumen de los resultados y remitir a los lectores que desearan seguir el razonamiento a los Proceedings of the Literary and Philosophical Society of Manchester, del 9 de enero de 1877, vol. xvi., p. 88, donde el artículo del profesor Clifford está impreso íntegramente.

Por un enunciado simple entiende el profesor Clifford la negación de la existencia de cualquier combinación única o división cruzada de las clases, como en ABCD = 0 o AbCd = 0.

La negación de dos o más de tales combinaciones se denomina enunciado compuesto, y se dice además que es doble, triple, etc., según el número de negaciones. Así, ABC = 0 es un enunciado compuesto doble con respecto a cuatro clases, porque involucra tanto a ABCD = 0 como a ABCd = 0.

Cuando dos enunciados compuestos pueden convertirse el uno en el otro mediante el intercambio de las clases A, B, C, D entre sí o con sus clases complementarias a, b, c, d, se denominan similares, y se dice que todos los enunciados similares pertenecen al mismo tipo.

Dos afirmaciones se denominan complementarias cuando niegan entre ambas las dieciséis combinaciones sin que ambas nieguen ninguna; o, lo que es lo mismo, cuando cada una niega justamente aquellas combinaciones que la otra permite que existan.

Es evidente que, cuando dos afirmaciones son similares, las afirmaciones complementarias también lo serán y, por consiguiente, para cada tipo de afirmación de orden n, hay un tipo complementario de afirmación de orden (16—n).

De ello se deduce que solo necesitamos enumerar los tipos hasta el octavo orden; pues los tipos de afirmación de más de ocho órdenes ya habrán sido dados como complementarios de los tipos de órdenes inferiores.

Una combinación, ABCD, puede convertirse en otra AbCd intercambiando una o más de las clases con las clases complementarias. El número de tales cambios se denomina distancia, que en el caso anterior es 2. En dos proposiciones compuestas similares, las distancias de las combinaciones negadas deben ser las mismas; pero no se sigue que cuando todas las distancias son las mismas, las proposiciones sean similares. Hay, sin embargo, un único ejemplo de dos proposiciones disímiles que tienen las mismas distancias. Cuando la distancia es 4, se dice que las dos combinaciones son obversas una de la otra, y las proposiciones que las niegan se denominan proposiciones obversas, como en ABCD = 0 y abcd = 0 o también AbCd = 0 y aBcD = 0. Cuando se da cualquier combinación, llamada el origen, todas las demás pueden agruparse respecto a sus relaciones con ella de la siguiente manera:—Cuatro están a distancia uno de ella, y pueden llamarse próximas; seis están a distancia dos, y pueden llamarse medias; cuatro están a distancia tres, y pueden llamarse últimas; finalmente, la obversa está a distancia cuatro.

Se verá que los cuatro próximos son respectivamente inversos a los cuatro últimos, y que los mediados forman tres pares de inversos. Todo próximo o último dista 1 y 3 respectivamente de tal par de mediados.

Ayudado por este sistema de nomenclatura, el profesor Clifford procede a una enumeración exhaustiva de tipos, en la cual es imposible seguirle. Los resultados son los siguientes:‍—

Ahora bien, dado que cada afirmación de siete partes o de menos de siete partes es complementaria de una afirmación de nueve partes o de más de nueve partes, se deduce que el número total de tipos será 159 × 2 + 78 = 396.

Parece ser entonces que los tipos de proposiciones referidas a cuatro clases son solo unas 26 veces más numerosos que los referidos a tres clases, que son quince en número, a pesar de que el número de combinaciones posibles es 256 veces mayor.

El profesor Clifford me informa de que el conocimiento sobre las posibles agrupaciones de subdivisiones de clases que obtuvo mediante esta investigación le ha sido de utilidad en algunas aplicaciones de las funciones hiperelípticas a las que se ha dedicado posteriormente. El profesor Cayley ha manifestado desde entonces su opinión de que esta línea de investigación debería continuarse, debido a la relación de la teoría de las combinaciones compuestas con la geometría superior.‍²

Parece probable que con el tiempo se descubran muchos puntos de conexión inesperados entre las ciencias de la lógica y de las matemáticas.

Distinction between Perfect and Imperfect Induction.

No podemos avanzar con provecho sin antes notar la extrema diferencia que existe entre los casos de inducción perfecta y aquellos de inducción imperfecta. Llamamos perfecta a una inducción cuando todos los objetos o eventos que posiblemente pueden entrar en la clase tratada han sido examinados. Pero en la mayoría de los casos es imposible reunir, o investigar de cualquier manera, las propiedades de todas las porciones de una sustancia o de todos los individuos de una raza. El número de objetos sería a menudo prácticamente infinito, y la mayor parte de ellos podría estar fuera de nuestro alcance, en el interior de la tierra o en las partes más distantes del universo. En todos esos casos la inducción es imperfecta, y está afectada por mayor o menor incertidumbre. Como algunos escritores han incurrido en gran error acerca de las funciones y la importancia relativa de estas dos ramas del razonamiento, tendré que señalar que—

1. La inducción perfecta es un proceso absolutamente necesario, tanto para la realización de la inducción imperfecta como para el tratamiento de grandes conjuntos de hechos de los cuales nuestro conocimiento es completo.

2. La inducción imperfecta se fundamenta en la inducción perfecta, pero implica otro proceso de inferencia de un carácter muy diferente.

Es cierto que si puedo deducir inferencia alguna en relación con objetos no examinados, esta debe basarse en los datos proporcionados por los objetos que han sido examinados.

Si juzgo que una estrella distante obedece a la ley de la gravedad, debe ser porque todos los demás objetos materiales suficientemente conocidos por mí obedecen a dicha ley. Si me atrevo a afirmar que todos los animales rumiantes tienen pezuñas hendidas, es porque todos los rumiantes que han llegado a mi conocimiento tienen pezuñas hendidas.

Por otra parte, no puedo asegurar con certeza que todas las plantas criptógamas posean una estructura puramente celular, porque algunas plantas criptógamas, que han sido examinadas por los botánicos, tienen una estructura parcialmente vascular. La probabilidad de que una nueva criptógama sea únicamente celular puede estimarse, en todo caso, a partir de la proporción numérica entre las criptógamas conocidas que son celulares y las que no lo son.

Así pues, el primer paso en toda inducción consistirá en sumar con precisión el número de casos de un fenómeno particular que hayan caído bajo nuestra observación. Adams y Leverrier, por ejemplo, debieron de inferir que el planeta no descubierto Neptuno obedecería a la ley de Bode, porque todos los planetas conocidos en aquella época la obedecían.

Los principios que justifican el paso de lo conocido a lo aparentemente desconocido deben ser cuidadosamente analizados en la próxima sección y en varias partes de esta obra.

Sería un gran error, sin embargo, suponer que la inducción perfecta carece en sí misma de utilidad. Incluso cuando la enumeración de los objetos pertenecientes a cualquier clase es completa y no admite inferencia alguna hacia objetos no examinados, la formulación de nuestro conocimiento en una proposición general es un proceso de tanta importancia que podemos considerarlo necesario.

En muchos casos podemos hacer que nuestras investigaciones sean exhaustivas; todos los huesos o dientes de un animal; todas las células de un diminuto órgano vegetal; todas las cuevas en la ladera de una montaña; todos los estratos en un corte geológico; todas las monedas de un tesoro recién hallado, pueden ser examinados con tanta minuciosidad que podemos hacer alguna afirmación general sobre ellos sin temor a equivocarnos.

• Se podría demostrar que cada hueso contiene fosfato de calcio;
• que cada célula encierra un núcleo;
• que cada cueva oculta restos de animales extintos;
• que cada estrato exhibe indicios de origen marino;
• que cada moneda es de fabricación romana.

Estos son casos en los que nuestra investigación se limita a una porción definida de materia, o a un área definida de la superficie terrestre.

Existe otra clase de casos en los que la inducción está natural y necesariamente limitada a un número determinado de alternativas.

De los sólidos regulares podemos afirmar sin la menor duda de que ninguno tiene más de veinte caras, treinta aristas y veinte vértices; pues por los principios de la geometría sabemos que no pueden existir más de cinco sólidos regulares, en cada uno de los cuales observamos fácilmente que las afirmaciones anteriores son verdaderas.

En la teoría de números, se podría realizar una variedad interminable de inducciones perfectas; podemos demostrar que ningún número menor que sesenta posee tantos divisores, y lo mismo ocurre con el 360; pues no requiere una gran cantidad de trabajo averiguar y contar todos los divisores de los números hasta el sesenta o el 360.

Puedo afirmar que entre el 60.041 y el 60.077 no se presenta ningún número primo, porque el examen exhaustivo de quienes han construido tablas de números primos demuestra que es así.

En los asuntos de designación humana o de la historia, podemos tener con frecuencia una limitación completa del número de casos que deben incluirse en una inducción. Podríamos demostrar que las proposiciones del tercer libro de Euclides tratan únicamente de círculos; que ninguna parte de las obras de Galeno menciona la cuarta figura del silogismo; que ninguno de los otros reyes de Inglaterra reinó tanto tiempo como Jorge III; que la Carta Magna no ha sido derogada por ningún estatuto posterior; que el precio del trigo en Inglaterra nunca ha estado tan alto desde 1847 como lo estuvo en ese año; que el precio de los fondos ingleses nunca ha sido más bajo que el del 23 de enero de 1798, cuando cayó a 47 1/4.

Se ha argumentado en contra de este proceso de Inducción Perfecta que no aporta ninguna información nueva, y que es meramente un resumen en forma breve de una multitud de casos particulares.

Pero la mera abreviación del trabajo mental es una de las ayudas más importantes de las que podemos disfrutar en la adquisición de conocimiento. Las facultades de la mente humana son tan limitadas que la multiplicidad de detalles por sí sola es suficiente para impedir su progreso en muchas direcciones.

El pensamiento sería prácticamente imposible si cada hecho por separado tuviera que ser pensado y tratado por separado. La economía de la potencia mental puede considerarse una de las condiciones principales de las que depende nuestra elevada posición intelectual.

Los procesos matemáticos no son en su mayor parte sino abreviaciones de los actos más simples de suma y resta.

La invención de los logaritmos fue una de las adiciones más notables que jamás se hayan hecho al poder humano; sin embargo, no fue más que una abreviación de operaciones que podrían haberse realizado antes de haber dispuesto de una cantidad suficiente de trabajo.

Es de esperar que se hagan de vez en cuando adiciones similares a nuestro poder; pues el número de problemas matemáticos resueltos hasta ahora no es más que una fracción indefinidamente pequeña de aquellos que aguardan solución, debido a que el trabajo que han exigido hasta el momento los hace impracticables.

Así ocurre en todas las regiones del pensamiento. La cantidad de nuestro conocimiento depende de nuestra capacidad para reducirlo a un ámbito manejable. A menos que organicemos y clasifiquemos los hechos y los condensemos en verdades generales, pronto superarán nuestras facultades de memoria y no servirán sino para confundir. De ahí que la inducción perfecta, incluso como proceso de abreviación, sea absolutamente esencial para cualquier alto grado de logro mental.

Transición de la inducción perfecta a la imperfecta.

Es una cuestión de profunda dificultad sobre qué bases estamos autorizados a inferir el futuro a partir del presente, o la naturaleza de los objetos no descubiertos a partir de aquellos que hemos examinado con nuestros sentidos.

Pasamos de la inducción perfecta a la imperfecta tan pronto como permitimos que nuestra conclusión se aplique, al menos aparentemente, más allá de los datos en los que se fundaba. Al dar semejante paso, parece que obtenemos una adición neta a nuestro conocimiento, pues conocemos la naturaleza de lo que era desconocido. Cosechamos donde nunca hemos sembrado.

Parecemos poseer el poder divino de crear conocimiento y alcanzar con nuestros brazos mentales mucho más allá de la esfera de nuestra propia observación. De hecho, tendré que señalar ciertos métodos de razonamiento en los cuales sí traspasamos por completo la esfera de los sentidos y adquirimos un conocimiento preciso que la observación nunca podría haber proporcionado; pero no es la inducción imperfecta la que realiza tal tarea.

De la inducción imperfecta en sí misma, me atrevo a afirmar que nunca aporta ninguna adición real a nuestro conocimiento, en el sentido que a veces se le da a la expresión. Como en otros casos de inferencia, simplemente despliega la información contenida en observaciones pasadas; simplemente hace explícito lo que estaba implícito en la experiencia previa. Transmuta, pero ciertamente no crea conocimiento.

No hay hecho que mantenga más constantemente ante la mente del lector en las páginas siguientes que el de que los resultados de la inducción imperfecta, por muy bien autenticados y verificados que estén, nunca pasan de ser probables.

Nunca podemos estar seguros de que el futuro sea como el presente. Dependemos siempre de la voluntad del Creador: y solo en la medida en que Él ha creado dos cosas iguales, o mantiene inalterado el armazón del mundo de un momento a otro, pueden cumplirse nuestras inferencias más cuidadosas.

Todas las predicciones, todas las inferencias que van más allá de sus datos, son puramente hipotéticas y se basan en el supuesto de que los nuevos acontecimientos se ajustarán a las condiciones detectadas en nuestra observación de los acontecimientos pasados.

Ninguna experiencia de duración finita puede proporcionar un conocimiento exhaustivo de las fuerzas que están en operación. Existe, por tanto, una doble incertidumbre; incluso suponiendo que el Universo en su conjunto proceda sin cambios, no conocemos realmente el Universo en su conjunto.

Solo conocemos un punto en su extensión infinita y un momento en su duración infinita. No podemos estar seguros, pues, de que a nuestras observaciones no se les haya escapado algún hecho que haga que el futuro sea aparentemente diferente del pasado; como tampoco podemos estar seguros de que el futuro vaya a ser realmente el resultado del pasado.

Procedemos entonces en todas nuestras inferencias hacia objetos y tiempos no examinados bajo los supuestos de que—

1. Que nuestra observación pasada nos da un conocimiento completo de lo que existe.

2. Que las condiciones de las cosas que existieron continuarán siendo las condiciones que existirán.

Con frecuencia necesitaremos ilustrar el carácter de nuestro conocimiento de la naturaleza mediante el símil de una urna de votación, tan a menudo empleado por los escritores matemáticos en la teoría de la probabilidad. La naturaleza es para nosotros como una urna infinita, cuyo contenido se extrae continuamente, bola tras bola, y se nos muestra. La ciencia no es sino la cuidadosa observación de la sucesión en que se presentan las bolas de diversos caracteres; registramos las combinaciones, observamos aquellas que parecen estar excluidas de ocurrir, y a partir de la frecuencia proporcional de las que aparecen inferimos el carácter probable de los futuros sorteos. Pero bajo tales circunstancias, la certeza de la predicción depende de dos condiciones:—

1. Que adquirimos un conocimiento perfecto de los números comparativos de bolas de cada tipo dentro de la caja.

2. Que el contenido de la urna electoral permanezca inalterado.

De esta última suposición, o más bien de aquella relativa a la constitución del mundo que ella ilustra, el lógico o el físico nada pueden decir.

Como la Creación del Universo es necesariamente un acto que sobrepasa toda experiencia y toda concepción, cualquier cambio en ese Universo, o tal vez su terminación, debe asimismo hallarse infinitamente más allá de los límites de nuestras facultades mentales.

Ninguna ciencia, ningún razonamiento sobre el asunto, puede tener validez alguna; pues sin la experiencia carecemos de la base y los materiales del conocimiento.

Es, por consiguiente, el postulado fundamental de toda inferencia respecto al futuro que no ha de haber ningún cambio arbitrario en el objeto de la inferencia; de la probabilidad o improbabilidad de semejante cambio considero que nuestras facultades no pueden ofrecer cálculo alguno.

La otra condición de la inferencia inductiva —que adquiramos un conocimiento aproximadamente completo de las combinaciones en las que los eventos realmente ocurren— está en cierto grado bajo nuestro poder.

Hay ramas de la ciencia en las que los fenómenos parecen estar regidos por condiciones de un carácter de lo más fijo y general. Tenemos motivos en tales casos para creer que la futura ocurrencia de dichos fenómenos puede ser calculada y predicha.

Pero toda la cuestión pasa a ser ahora de probabilidad e improbabilidad. Parecemos abandonar la región de la lógica para entrar en una en la que el número de eventos es el fundamento de la inferencia.

No abandonamos realmente la región de la lógica; solo dejamos aquella en donde la certeza, afirmativa o negativa, es el resultado, y el acuerdo o desacuerdo de las cualidades, el medio de inferencia.

En adelante, el número y la cantidad entrarán comúnmente en nuestros procesos de razonamiento; pero entonces sostengo que el número y la cantidad no son más que porciones del gran dominio lógico. Me atrevo a afirmar que el número es totalmente lógico, tanto en su naturaleza fundamental como en sus desarrollos. La cantidad en todas sus formas no es sino un desarrollo del número. Lo que es matemático no es por ello menos lógico; si acaso es más lógico, en el sentido de que presenta resultados lógicos en un grado mayor de complejidad y variedad.

Antes de pasar, pues, de la Inducción Perfecta a la Imperfecta, debo dedicar una parte de esta obra a tratar de las condiciones lógicas del número. Emplearé entonces el número para estimar la variedad de combinaciones en que los fenómenos naturales pueden presentarse, y la probabilidad o improbabilidad de su ocurrencia bajo circunstancias determinadas. Es en las partes posteriores de la obra donde debo esforzarme por establecer las nociones que he expuesto acerca del tema de la Inducción Imperfecta, tal como se aplica en la investigación de la Naturaleza, nociones que pueden resumirse así:‍—

1. La inducción imperfecta descansa enteramente sobre la inducción perfecta para la obtención de sus materiales.

2. El proceso lógico por el cual parecemos pasar directamente de los casos examinados a los no examinados consiste en una aplicación inversa de la inferencia deductiva, de modo que puede decirse que todo razonamiento es directa o inversamente deductivo.

3. El resultado es siempre de carácter hipotético, y nunca pasa de ser probable.

4. El razonamiento nunca añade nada nuevo a nuestro conocimiento; lo que sabemos de eventos futuros u objetos no examinados no es más que el contenido desplegado de nuestro conocimiento previo, y se vuelve menos probable a medida que se extiende con mayor audacia a casos remotos.