CAPÍTULO XI. FILOSOFÍA DE LA INVERSIÓN INDUCTIVA.

Hemos investigado la naturaleza de la inducción perfecta, mediante la cual pasamos retrospectivamente de ciertas combinaciones observadas de acontecimientos a las condiciones lógicas que rigen tales combinaciones.

También hemos examinado los fundamentos de esa teoría de la probabilidad que debe ser nuestra guía cuando dejamos atrás la certeza y diluimos el conocimiento con la ignorancia.

Tenemos ahora ante nosotros la difícil tarea de esforzarnos en decidir cómo, con la ayuda de esa teoría, podemos ascender desde los hechos hasta las leyes de la naturaleza; y así anticipar luego, con mayor o menor éxito, el curso futuro de los acontecimientos.

Todo nuestro conocimiento de los objetos naturales debe derivarse en última instancia de la observación, y surge la difícil pregunta: ¿Cómo podemos llegar a saber algo que no hayamos observado directamente a través de uno de nuestros sentidos, las aberturas de la mente?

La utilidad del razonamiento es asegurarnos de que, en un tiempo y lugar determinados, o bajo condiciones específicas, se observará cierto fenómeno. Cuando podemos usar nuestros sentidos y percibir que el fenómeno en efecto ocurre, el razonamiento es superfluo.

Si los sentidos no pueden usarse, porque el suceso está en el futuro o fuera de nuestro alcance, ¿cómo puede el razonamiento ocupar su lugar? Aparentemente, al menos, debemos inferir lo desconocido a partir de lo conocido, y la mente debe crear por sí misma una adición a la suma del conocimiento.

Pero sostengo que es del todo imposible realizar adiciones reales a los contenidos de nuestro conocimiento, excepto a través de nuevas impresiones en los sentidos, o en algún centro de sensibilidad.

Intentaré demostrar que la inferencia, ya sea inductiva o deductiva, nunca es más que un despliegue de los contenidos de nuestra experiencia, y que siempre procede bajo el supuesto de que el futuro y lo no percibido se regirán por las mismas condiciones que el pasado y lo percibido, un supuesto que a menudo resultará ser erróneo.

Tanto en el razonamiento inductivo como en el deductivo, la conclusión nunca va más allá de las premisas. El razonamiento no añade más al contenido implícito de nuestro conocimiento de lo que la disposición de los especímenes en un museo añade al número de dichos especímenes.

La disposición añade a nuestro conocimiento en cierto sentido: nos permite percibir las semejanzas y peculiaridades de los especímenes y, bajo el supuesto de que el museo es una representación adecuada de la naturaleza, nos permite juzgar las formas predominantes de los objetos naturales.

El primer aforismo de Bacon sigue siendo perfectamente válido, en el sentido de que el hombre no conoce más que lo que ha observado, siempre que incluyamos todas sus fuentes de experiencia y todo el contenido implícito de su conocimiento.

La inferencia no hace sino desplegar el significado oculto de nuestras observaciones, y la teoría de la probabilidad muestra hasta qué punto vamos más allá de nuestros datos al suponer que los nuevos especímenes se parecerán a los antiguos, o que puede considerarse que el futuro procede de manera uniforme con el pasado.

# Varias clases de verdades inductivas.

Será conveniente, en primer lugar, distinguir entre las diversas clases de verdades que nos esforzamos por establecer mediante la inducción.

Aunque existe un cierto elemento común y universal en todos nuestros procesos de razonamiento, surge sin embargo una diversidad en su aplicación. La similitud de condiciones entre los acontecimientos a partir de los cuales argumentamos y aquellos hacia los cuales argumentamos debe ser siempre el fundamento de la inferencia; pero dicha similitud puede referirse al tiempo, al lugar, a la simple combinación lógica de los acontecimientos, o a cualquier unión concebible de circunstancias que impliquen cualidad, tiempo y lugar.

Habiendo encontrado muchos trozos de sustancia que poseen ductilidad y un color amarillo brillante, y habiendo descubierto, mediante una inducción perfecta, que todos ellos poseen una elevada gravedad específica y una inmunidad frente a la acción corrosiva de los ácidos, nos vemos llevados a esperar que cualquier trozo de sustancia que posea una ductilidad semejante y un color amarillo similar tendrá una gravedad específica igualmente alta y una semejante inmunidad a la corrosión por los ácidos.

Este es un caso de coexistencia de cualidades; pues el carácter de los especímenes examinados no se altera ni con el tiempo ni con el lugar.

En una segunda clase de casos, el tiempo intervendrá como un fundamento principal de semejanza.

Cuando oímos el péndulo de un reloj marcar el tiempo una y otra vez, a intervalos iguales y con un sonido uniforme, esperamos con seguridad que el golpe continúe repitiéndose uniformemente.

Habiendo aparecido un cometa varias veces a intervalos casi iguales, inferimos que probablemente aparecerá de nuevo al final de otro intervalo semejante.

Un hombre que ha regresado a casa tarde tras tarde durante muchos años, y ha encontrado su casa en pie, puede, por motivos similares, esperar que siga en pie la tarde siguiente, y en muchas tardes sucesivas.

Incluso la existencia continua de un objeto en un estado inalterado, o el volver a encontrar aquello que hemos ocultado, no es sino una cuestión de inferencia que depende de la experiencia.

Una clase de casos aún mayor y más compleja comprende las relaciones de espacio, además de las de tiempo y calidad.

Habiendo observado que todo triángulo trazado sobre el diámetro de un círculo, con su vértice en la circunferencia, contiene Aparentemente un ángulo recto, podemos cerciorarnos de que todos los triángulos en circunstancias similares contendrán ángulos rectos.

Este es un caso de razonamiento de espacio puro, al margen de las circunstancias de tiempo o calidad, y parece estar regido por diferentes principios de razonamiento. Intentaré demostrar, sin embargo, que el razonamiento geométrico difiere solo en grado de aquel que se aplica a otras relaciones naturales.

# La relación de causa y efecto.

En una gran parte de las investigaciones científicas que deben considerarse, lidiamos con acontecimientos que se siguen de acontecimientos previos, o con existencias que suceden a otras existencias.

La ciencia, en efecto, podría surgir incluso aunque la naturaleza material fuese un todo fijo e inmutable. Dotemos a la mente del poder de desplazarse y comparar unas partes con otras, y sin duda podría extraer inferencias acerca de la similitud de las formas, la coexistencia de cualidades, o el predominio de un tipo particular de materia en un mundo inmutable.

Un universo sólido, en un equilibrio al menos aproximado, no es inconcebible; y entonces la relación de causa y efecto evidentemente no sería más que la relación de antes y después.

Tal como existe la naturaleza, sin embargo, es una existencia progresiva, que siempre se mueve y cambia a medida que el tiempo, la gran variable independiente, avanza.

De ahí surge que debamos comparar continuamente lo que está sucediendo ahora con lo que sucedió un momento antes, y un momento antes de ese momento, y así sucesivamente, hasta llegar a períodos indefinidos del tiempo pasado.

Se ve un cometa moverse en el cielo, o sus partículas constituyentes iluminan los cielos con sus colas de fuego. No podemos explicar los movimientos actuales de semejante cuerpo sin suponer su existencia previa, con una cantidad definida de energía y una dirección de movimiento definida; ni podemos suponer válidamente que nuestra tarea ha concluido cuando descubrimos que llegó errante a nuestro sistema solar a través de la inmensidad inmedible del espacio circundante.

Todo evento debe tener una causa, y esa causa a su vez otra causa, hasta que nos perdemos en la oscuridad del pasado y nos vemos abocados a la creencia en una Causa Primera, por la cual fue determinado el curso de la naturaleza.

# Uso falaz del término causa.

Las palabras Causa y Causalidad han dado lugar a infinitos problemas y oscuridades, y han retrasado en no pequeña medida el progreso de la ciencia. Desde la época de Aristóteles, la labor de la filosofía ha sido descrita como el descubrimiento de las causas de las cosas, y Francis Bacon adoptó esta noción cuando dijo “vere scire esse per causas scire.”

Incluso ahora no es poco común suponer que el conocimiento de las causas es algo diferente de los demás conocimientos y consiste, por decirlo así, en apoderarse de las llaves de la naturaleza. Una sola palabra puede actuar así como un conjuro y sumir en la confusión al más lúcido de los intelectos, tal como a menudo he pensado que Locke se vio sumido en la confusión al esforzarse por encontrar un significado para la palabra poder.‍¹

En el Sistema de Lógica de Mill, el término causa parece haber reafirmado su viejo poder nocivo. No solo trata Mill las Leyes de la Causalidad como casi coextensivas con la ciencia, sino que utiliza la expresión de tal modo que sugiere que, una vez que cruzamos el círculo de la causalidad, tratamos con certezas.

El peligro filosófico que conlleva el uso de esta palabra puede describirse de la siguiente manera.

Una causa se define como el antecedente necesario o invariable de un acontecimiento, de modo que cuando la causa existe, el efecto también existirá o no tardará en seguirle.

Si entonces conocemos la causa de un acontecimiento, sabemos lo que sucederá con certeza; y como se da por sentado que la ciencia, mediante un método experimental adecuado, puede alcanzar el conocimiento de las causas, se deduce que la experiencia puede proporcionarnos un conocimiento cierto de los acontecimientos futuros.

Pero nada es más indiscutible que el hecho de que la experiencia finita nunca puede darnos un conocimiento cierto del futuro, por lo que o bien una causa no es un antecedente invariable, o bien nunca podemos adquirir un conocimiento cierto de las causas.

El primer cuerno de este dilema difícilmente puede aceptarse. Sin duda existe en la naturaleza algún mecanismo de acción invariable, de tal modo que de ciertas condiciones fijas siempre surge un resultado invariable. Pero nosotros, con nuestras mentes finitas y nuestra escasa experiencia, nunca podremos penetrar en el misterio de aquellas existencias que encarnan la Voluntad del Creador y la despliegan a lo largo del tiempo.

Nos hallamos en la posición de espectadores que presencian las producciones de una máquina complicada, pero a quienes no se les permite examinar su estructura íntima.

Aprendemos lo que sucede y lo que aparece, pero si preguntamos por el motivo, la respuesta implicaría una profundidad infinita de misterio.

El trozo de materia más simple, o el incidente más trivial, como el choque de dos bolas de billar, ofrece infinitamente más que aprender de lo que el intelecto humano jamás podrá sondear.

La palabra causa abarca tanto significado inescrutable como cualquiera de las palabras sustancia, materia, pensamiento, existencia.

# Confusión de Dos Preguntas.

El asunto se complica mucho, además, por la confusión de dos cuestiones distintas. Habiendo ocurrido un acontecimiento, podemos preguntar—

Nadie afirmaría que la mente posee facultad alguna capaz de inferir, antes de la experiencia, que la aparición de un ruido repentino con llama y humo indica la combustión de un polvo negro, formado por la mezcla de polvos negros, blancos y amarillos.

El mayor defensor de las doctrinas a priori admitirá que el aspecto particular, la forma, el tamaño, el color, la textura y otras cualidades de una causa deben recogerse a través de los sentidos.

La cuestión de si existe alguna causa en absoluto para un acontecimiento es de un tipo totalmente diferente. Si una explosión pudiera ocurrir sin ninguna condición preexistente, tendría que ser una nueva creación, una adición distinta al universo.

Puede sostenerse de manera plausible que no podemos imaginar ni la creación ni la anulación de nada. En lo que respecta a la materia, esto se ha tenido por cierto desde hace mucho tiempo; en lo que respecta a la fuerza, hoy se asume casi universalmente como un axioma que la energía no puede surgir ni desaparecer de la existencia sin actos distintos de la Voluntad Creativa.

Que exista alguna creencia instintiva a tal efecto parece, en verdad, dudoso. Encontramos a Lucrecio, un filósofo de la más alta potencia intelectual y cultura, suponiendo seriamente que sus átomos en caída podían desviarse de sus trayectorias rectas de manera autodeterminada, y por esta originación espontánea de energía determinar la forma del universo.‍²

Sir George Airy, también, discutió seriamente las condiciones matemáticas bajo las cuales podría existir un movimiento perpetuo, es decir, una fuente perpetua de energía autocreada.‍³

La mayor parte del mundo filosófico ha sostenido durante mucho tiempo que en los actos mentales existe el libre albedrío; en resumen, la autocausación. Es vano intentar conciliar esta doctrina con la de una creencia intuitiva en la causalidad, como reconoció candorosamente Sir W. Hamilton.

Es evidente, además, que afirmar la existencia de una causa para cada evento no puede hacer más que trasladar al pasado indefinido el inconcebible hecho y misterio de la creación.

En un momento dado, la materia y la energía eran iguales a lo que son en la presente, o no lo eran; si eran iguales, podemos hacer la misma pregunta con respecto a cualquier otro momento, por muy anterior que sea, y nos vemos así obligados a aceptar uno de los cuernos del dilema: la existencia desde el infinito, o la creación en un momento determinado. Este no es sino uno de los muchos casos en los que nos vemos obligados a creer en una u otra de dos alternativas, ambas inconcebibles.

Mi propósito actual, sin embargo, es señalar que no debemos confundir esta cuestión sumamente difícil con aquella sobre la que investiga la ciencia inductiva basándose en los hechos. Mediante la inducción no obtenemos un conocimiento cierto; pero mediante la observación y el uso inverso del razonamiento deductivo, estimamos la probabilidad de que un evento que ha ocurrido haya sido precedido por condiciones de carácter especificado, o de que a tales condiciones les siga el evento.

# Definición del término Causa.

Varios filósofos han dado definiciones claras de la palabra causa. Hobbes ha dicho:

“Una causa es la suma o agregado de todos aquellos accidentes, tanto en los agentes como en los pacientes, que concurren en la producción del efecto propuesto; existiendo todos los cuales a la vez, no puede concebirse sino que el efecto existe con ellos; ni que este pueda existir posiblemente si alguno de ellos está ausente”.

Brown, en su Essay on Causation, dio una afirmación casi correspondiente.

“Una causa”, dice‍⁴, “puede definirse como el objeto o evento que precede inmediatamente a cualquier cambio, y que, al existir de nuevo en circunstancias similares, será siempre seguido de inmediato por un cambio similar”.

De la palabra afín poder, dice asimismo‍⁵:

“El poder no es más que esa invariabilidad de antecedencia que está implícita en la creencia de la causalidad”.

Estas definiciones pueden aceptarse con la salvedad de que nuestro conocimiento de las causas en tal sentido solo puede ser probable.

La labor de la ciencia consiste en averiguar las combinaciones en las que se presentan los fenómenos. Respecto a cada acontecimiento, tendremos que determinar sus condiciones probables, o el grupo de antecedentes de los que probablemente se sigue.

• Un antecedente es cualquier cosa que existe con anterioridad a un acontecimiento;
• un consecuente es cualquier cosa que existe con posterioridad a un antecedente.

Por lo general, no sucederá que exista conexión probable alguna entre un antecedente y un consecuente. Así, el nitrógeno es un antecedente de la acción de encender un fuego común; pero está tan lejos de ser una causa de dicho encendido, que hace que la combustión sea menos activa. La luz del día es un antecedente de todos los fuegos encendidos durante el día, pero probablemente no tiene un efecto apreciable sobre su combustión.

Pero en el caso de cualquier acontecimiento dado, suele ser posible descubrir un cierto número de antecedentes que parecen estar siempre presentes, y con mayor o menor probabilidad concluimos que, cuando estos existan, el acontecimiento se seguirá.

Obsérvese que en la actualidad se disfruta de la máxima latitud en el uso del término causa.

No solo puede una causa ser una cosa existente dotada de poderes, como el oxígeno es la causa de la combustión, la pólvora la causa de la explosión, sino que la propia ausencia o remoción de una cosa puede ser también una causa.

Es perfectamente correcto hablar de la sequedad de la atmósfera egipcia, o de la ausencia de humedad, como la causa de la conservación de las momias y otros restos de la antigüedad.

La causa de la elevación de una montaña, Ingleborough por ejemplo, es la excavación de los valles circundantes por denudación.

No es tan usual hablar de la existencia de una cosa en un momento dado como la causa de su existencia en el siguiente, pero a mí me parece el caso más común de causalidad que puede ocurrir. La causa del movimiento de una bola de billar puede ser el golpe de otra bola; y la filosofía reciente nos lleva a considerar todos los movimientos y cambios como meras manifestaciones de una energía preexistente.

Con toda probabilidad no hay creación de energía ni destrucción, de modo que, en lo que respecta a los cambios mecánicos y moleculares, la causa es en realidad la manifestación de la energía existente. De la misma manera, no veo por qué la existencia previa de materia no es también una causa en lo que respecta a su existencia posterior.

Toda la ciencia tiende a mostrarnos que la existencia del universo en un estado particular en un momento dado es la condición de su existencia en el momento siguiente, en un estado aparentemente diferente. Cuando analizamos el significado que podemos atribuir a la palabra causa, este se reduce a la existencia de porciones adecuadas de materia dotadas de cantidades adecuadas de energía.

Si hemos de aceptar la afirmación de Horne Tooke, cause tiene etimológicamente el significado de cosa antes (thing before).

Aunque, en verdad, el origen de la palabra es muy oscuro, sus derivados, el italiano cosa y el francés chose, significan simplemente cosa. En el equivalente alemán ursache, tenemos claramente el significado original de cosa antes (thing before), en el que sache denota «objeto interesante o importante», el inglés sake, y siendo ur el equivalente del inglés ere, antes.

Abandonamos, pues, tanto la etimología como la filosofía, cuando atribuimos a las leyes de la causalidad cualquier significado que vaya más allá del de las condiciones bajo las cuales cabe esperar que ocurra un acontecimiento, según nuestra observación del curso previo de la naturaleza.

No tengo ningún inconveniente en utilizar las palabras causa y causación, siempre y cuando no se les permita nunca llevarnos a imaginar que nuestro conocimiento de la naturaleza puede alcanzar la certeza.

Repito que si una causa es una condición invariable y necesaria de un acontecimiento, nunca podremos saber con certeza si la causa existe o no. Para nosotros, por tanto, una causa no debe distinguirse del grupo de condiciones positivas o negativas que, con mayor o menor probabilidad, preceden a un acontecimiento. En este sentido, no hay diferencia particular entre el conocimiento de las causas y nuestro conocimiento general de la sucesión de combinaciones en las que se nos presentan los fenómenos de la naturaleza, o que se observa que ocurren en la investigación experimental.

Distinción de resultados inductivos y deductivos.

Debemos evitar cuidadosamente confundir las investigaciones inductivas que terminan en el establecimiento de leyes generales con aquellas que parecen conducir directamente al conocimiento de futuros eventos particulares. Solo puede llamarse inducción a aquel proceso que proporciona leyes generales, y es mediante el empleo posterior de la deducción como anticipamos los eventos particulares.

Si la observación de una serie de casos muestra que las aleaciones de metales se funden a temperaturas más bajas que sus metales constituyentes, puedo deducir con mayor o menor probabilidad una inferencia general en ese sentido, y determinar a partir de ahí, de forma deductiva, la probabilidad de que la próxima aleación examinada se funda a una temperatura más baja que sus constituyentes.

Se ha afirmado, en efecto, por Mill,‍⁶ y admitido parcialmente por el Sr. Fowler,‍⁷ que podemos argumentar directamente de un caso a otro, de modo que lo que es verdad para algunas aleaciones lo será también para la siguiente.

El profesor Bain ha adoptado el mismo punto de vista sobre el razonamiento. Piensa que Mill nos ha sacado del callejón sin salida del silogismo y ha efectuado una revolución total en la lógica. Sostiene que el razonamiento de particular a particular no es solo el método habitual, el más obvio y el más rápido, sino que es el tipo de razonamiento que mejor revela el proceso real.‍⁸

Sin duda, este es el resultado habitual de nuestro razonamiento, teniendo en cuenta los grados de probabilidad; pero estos lógicos no dan en absoluto ninguna explicación del proceso mediante el cual pasamos de un caso a otro.

Puede concederse que el conocimiento de futuros acontecimientos particulares es el propósito principal de nuestras investigaciones, y si hubiera algún proceso de pensamiento mediante el cual pudiera pasarse directamente de un acontecimiento a otro sin ascender a verdades generales, este método sería suficiente, y ciertamente el más breve.

Es verdad también, que las leyes de la asociación mental conducen a la mente a esperar siempre lo semejante de nuevo en circunstancias aparentemente semejantes, y aun los animales de muy baja inteligencia deben tener algún rastro de tales poderes de asociación, que sirven para guiarles de manera más o menos correcta, a falta de verdaderas facultades de raciocinio.

Pero es el propósito de la lógica, según Mill, averiguar si las inferencias se han extraído correctamente, más que descubrirlas.‍⁹

Aun si podemos entonces, por hábito, asociación o cualquier proceso rudimentario de inferencia, inferir el futuro directamente del pasado, es tarea de la lógica analizar las condiciones de las que depende la corrección de esta inferencia. Incluso Mill admitiría que tal análisis implica la consideración de verdades generales,‍¹⁰ y en esto, como en varios otros puntos importantes, podríamos rebatir las propias opiniones de Mill con sus propias declaraciones.

Me parece inconveniente en una obra sistemática como esta entrar en controversia de manera extensa, o intentar refutar las opiniones de otros lógicos.

Pero me veré en la obligación de exponer, en una publicación aparte, mi opinión muy meditada de que muchas de las innovaciones de Mill en la ciencia lógica, y especialmente su doctrina del razonamiento de particulares a particulares, carecen por completo de fundamento y son falsas.

# Los fundamentos de la inferencia inductiva.

Sostengo que en todos los casos de inferencia inductiva debemos inventar hipótesis, hasta dar con alguna que arroje resultados deductivos acordes con la experiencia.

Dicha concordancia hace que la hipótesis elegida sea más o menos probable, y entonces podemos deducir, con cierto grado de probabilidad, la naturaleza de nuestra experiencia futura, bajo el supuesto de que no se produzca ningún cambio arbitrario en las condiciones de la naturaleza.

Sólo podemos argüir del pasado al futuro, según el principio general expuesto en esta obra, de que lo que es verdadero de una cosa lo será de su semejante.

Hasta donde un objeto o acontecimiento difiere de otro, toda inferencia es imposible; los particulares en tanto que particulares no pueden hacer una inferencia más de lo que los granos de arena pueden hacer una cuerda. Debemos elevarnos siempre a algo que sea general o idéntico en los casos, y suponiendo que dicha identidad se extiende a los nuevos casos, conocemos su naturaleza.

Oyendo latir un reloj cinco mil veces sin excepción ni variación, adoptamos la muy probable hipótesis de que existe alguna máquina de actuación invariable que produce esos sonidos uniformes y que, a falta de cambio, seguirá produciéndolos.

Encontrándome veinte veces con una sustancia dúctil de color amarillo brillante, y descubriendo que es siempre muy pesada e incorruptible, infiero que existía alguna condición natural que tendía en la creación de las cosas a asociar estas propiedades, y espero encontrarlas asociadas en el próximo caso.

Pero siempre existe la posibilidad de que se produzca algún cambio desconocido entre los casos pasados y los futuros. El reloj puede detenerse, o estar sujeto a cien accidentes que alteren su estado.

No hay razón en la naturaleza de las cosas, hasta donde sabemos, por la cual el color amarillo, la ductilidad, la alta gravedad específica y la incorruptibilidad deban estar siempre asociados, y en otros casos, si no en este, las expectativas de los hombres se han visto decepcionadas.

Nuestras inferencias, por lo tanto, conservan siempre un carácter más o menos hipotético, y en esa medida están sujetas a duda. Solo en la medida en que nuestra inducción se aproxima al carácter de inducción perfecta, se aproxima a la certeza. El grado de incertidumbre corresponde a la probabilidad de que existan otros objetos además de los examinados y falsen nuestras inferencias; el grado de probabilidad corresponde a la cantidad de información arrojada por nuestro examen; y la teoría de la probabilidad será necesaria para evitar que sobreestimemos o subestimemos el conocimiento que poseemos.

# Ilustraciones del Proceso Inductivo.

Para ilustrar el paso de lo conocido a lo aparentemente desconocido, supongamos que los fenómenos bajo investigación consisten en números, y que, habiéndosenos presentado los seis números siguientes, se nos exige inferir el carácter del próximo de la serie:‍—

Surge ante todo la pregunta: ¿Cómo podemos describir esta serie de números? ¿Qué es uniformemente verdad en ellos?

El lector no dejará de percibir a primera vista que todos terminan en cinco, y el problema consiste en inferir, a partir de las propiedades de estos seis números, las propiedades del siguiente número que termine en cinco. Si ponemos a prueba sus propiedades mediante el proceso de inducción perfecta, pronto percibimos que tienen otra propiedad en común, a saber, la de ser divisibles por cinco sin resto.

¿Podemos entonces afirmar que el siguiente número que termina en cinco también es divisible por cinco y, de ser así, sobre qué bases? O, extendiendo la pregunta, ¿es todo número que termina en cinco divisible por cinco? ¿Se sigue que, porque seis números obedezcan a una supuesta ley, entonces 376.685.975 o cualquier otro número, por muy grande que sea, obedece a dicha ley?

Respondo que ciertamente no. La ley en cuestión es indudablemente verdadera; pero su verdad no se prueba mediante ningún número finito de ejemplos. Todo lo que estos seis números pueden hacer es sugerir a mi mente la posible existencia de tal ley; y entonces compruebo su verdad al demostrar deductivamente, a partir de las reglas de la numeración decimal, que cualquier número que termine en cinco debe estar compuesto por múltiplos de cinco, y por lo tanto debe ser él mismo un múltiplo.

Para hacer esto más claro, que el lector examine ahora los números—

Todas terminan en 7 en lugar de 5, y aunque no a intervalos iguales, los intervalos son los mismos que en el caso anterior. Tras pensarlo un poco, el lector advertirá que todos estos números coinciden en ser números primos, o múltiplos exclusivos de la unidad. ¿Podemos deducir entonces que el siguiente, o cualquier otro número que termine en 7, es un número primo?

Evidentemente no, pues al hacer la prueba descubrimos que el 27, el 57 y el 117 no son primos. Seis casos, por tanto, tratados empíricamente, nos conducen a una ley verdadera y universal en un caso, y nos desorientan en otro. De hecho, no deberíamos tener confianza en ninguna ley hasta que la hayamos tratado deductivamente y hayamos demostrado que, a partir de las condiciones supuestas, deben derivarse los resultados esperados. Nadie puede demostrar, a partir de los principios de los números, que los números que terminan en 7 deban ser primos.

De la historia de la teoría de los números se pueden aducir buenos ejemplos de inducción falsa. Tomando la siguiente serie de números primos, se descubrirá que todos coinciden en ser valores de la expresión general x² + x + 41, sustituyendo x sucesivamente por los valores 0, 1, 2, 3, 4, etc.

Parece que siempre obtenemos un número primo, y la inducción es aparentemente sólida, en el sentido de que esta expresión siempre dará primos. Sin embargo, unas pocas pruebas más refutan esta falsa conclusión.

Hágase x = 40, y obtenemos 40 × 40 + 40 + 41, o 41 × 41. Tal fracaso nunca habría ocurrido si hubiéramos demostrado alguna razón deductiva por la cual x² + x + 41 debería dar números primos.

No puede caber duda de que lo que aquí sucede con cuarenta casos, podría suceder con cuarenta mil o cuarenta millones de casos. Una ley aparente que no falla ni una sola vez hasta cierto punto puede entonces quebrarse repentinamente, de modo que el razonamiento inductivo, tal como ha sido descrito por algunos escritores, no puede ofrecer un conocimiento seguro de lo que está por venir.

Babbage señaló, en su Noveno Tratado de Bridgewater, que se podía construir una máquina para que diera una serie de números perfectamente regular a través de una vasta serie de pasos, y sin embargo quebrantar la ley de progresión repentinamente en cualquier punto requerido.

Ninguna cantidad de casos particulares en tanto que particulares nos permite pasar por inferencia a ningún caso nuevo. Apenas es necesario investigar aquí qué se puede inferir de una serie infinita de hechos, porque nunca están prácticamente a nuestro alcance; pero podemos aceptar sin vacilar la conclusión de que ningún número finito de instancias puede probar jamás una ley general, ni puede darnos un conocimiento seguro ni siquiera de una sola instancia más.

Los teoremas matemáticos generales han sido en verdad descubiertos mediante la observación de casos particulares, y pueden volver a ser descubiertos de ese modo. Tenemos la propia declaración de Newton en el sentido de que así fue conducido al importantísimo Teorema del Binomio, la base de toda la estructura del análisis matemático.

Hablando de cierta serie de términos, que expresan el área de un círculo o una hipérbola, dice:

«Reflexioné que los denominadores estaban en progresión aritmética; de modo que solo quedaba por investigar los coeficientes numéricos de los numeradores. Pero estos, en las áreas alternas, eran las cifras de las potencias del número once, a saber, 11⁰, 11¹, 11², 11³, 11⁴; es decir, en la primera 1; en la segunda 1, 1; en la tercera 1, 2, 1; en la cuarta 1, 3, 3, 1; en la quinta 1, 4, 6, 4, 1.‍¹¹

Investigué, por tanto, de qué manera podían hallarse todas las cifras restantes a partir de las dos primeras; y descubrí que, si a la primera cifra se la llama m, todas las demás podían hallarse mediante la multiplicación continua de los términos de la fórmula

Es bastante evidente, a partir de esta interesantísima declaración, que Newton, tras haberse limitado a observar la sucesión de los números, probó varias fórmulas hasta encontrar una que concordaba con todas ellas.

Sin embargo, quedó tan poco satisfecho con este procedimiento, que verificó resultados particulares de su nuevo teorema comparándolos con los resultados de la multiplicación común y de la regla para la extracción de la raíz cuadrada.

Newton, de hecho, no dio ninguna demostración de su teorema; y los más grandes matemáticos del siglo pasado, James Bernoulli, Maclaurin, Landen, Euler, Lagrange, etc., se ocuparon de descubrir un método concluyente de prueba deductiva.

No puede caber duda de que también en geometría los descubrimientos han sido sugeridos por la observación directa. Muchas de las proposiciones hoy triviales de los Elementos de Euclides fueron probablemente descubiertas así por los antiguos geómetras griegos, y tenemos pruebas bastante claras de ello en los Comentarios de Proclo.‍¹²

Galileo fue el primero en examinar las notables propiedades de la cicloide, la curva descrita por un punto en la circunferencia de una rueda que rueda sobre un plano. Mediante la observación directa determinó que el área de la curva es aparentemente tres veces la del círculo o rueda generatriz, pero fue incapaz de demostrar esto con exactitud, o de verificarlo mediante un razonamiento geométrico riguroso.

Sir George Airy ha registrado un caso curioso, en el cual tropezó accidentalmente mediante la experimentación con una nueva propiedad geométrica de la esfera.‍¹³

Pero el descubrimiento en tales casos no significa nada más que una sugerencia, y es siempre mediante la deducción pura como se establece realmente la ley general. Como señala Proclo, debemos pasar del sentido a la consideración.

Dada, por ejemplo, la serie de figuras en el diagrama adjunto, la medición mostrará que las líneas curvas se aproximan a semicírculos, y las figuras rectilíneas a triángulos rectángulos.

Estas figuras pueden parecer sugerir a la mente la ley general de que los ángulos inscritos en semicírculos son ángulos rectos; pero ningún número de casos, y ninguna precisión posible de medición establecería realmente la verdad de esa ley general.

Validadnos de la sugerencia proporcionada por las figuras, solo podemos investigar deductivamente las consecuencias que se desprenden de la definición de un círculo, hasta que descubramos entre ellas la propiedad de contener ángulos rectos.

Se ha creído haber descubierto un método para trisecar ángulos mediante la construcción geométrica plana, debido a que cierta disposición compleja de líneas y círculos parecía trisecar un ángulo en cada caso puesto a prueba, y dedujeron, mediante un supuesto acto de inducción, que tendría éxito en todos los demás casos. De Morgan ha registrado un método propuesto para trisecar el ángulo que no podía distinguirse a simple vista de una verdadera solución general, excepto cuando se aplicaba a ángulos muy obtusos.‍¹⁴

En todos estos casos, siempre ha resultado que el ángulo no fue trisecado en absoluto, o que solo ciertos ángulos particulares pudieron ser trisecados de este modo.

Los triseccionistas se vieron engañados por alguna coincidencia aparente o especial, y solo una demostración deductiva pudo establecer la verdad y la generalidad del resultado.

En este caso particular, la demostración deductiva muestra que el problema intentado es imposible y que, por lo general, los ángulos no pueden trisecarse mediante métodos geométricos ordinarios.

# Razonamiento geométrico.

Esta perspectiva del asunto queda firmemente respaldada por la consideración adicional del razonamiento geométrico. Ninguna destreza ni cuidado podrían permitirnos jamás verificar de forma absoluta ninguna proposición geométrica. Rousseau, en su Emilio, nos dice que deberíamos enseñar geometría a un niño haciéndole medir y comparar figuras mediante la superposición. Si bien, cuando un niño aún era incapaz de razonar de manera general, esto sería sin duda un ejercicio instructivo; jamás podría enseñar geometría, ni probar la verdad de ninguna proposición.

Todas nuestras figuras son aproximaciones burdas, y puede ocurrir que parezcan desiguales cuando deberían ser iguales, e iguales cuando deberían ser desiguales. Además, por pura casualidad, las figuras pueden ser iguales caso tras caso, y sin embargo no haber ninguna razón general para que deban serlo.

Los resultados del razonamiento geométrico deductivo son absolutamente ciertos, y son exactamente verdaderos o susceptibles de ser llevados a cualquier grado de aproximación requerido.

En un triángulo perfecto, los ángulos deben ser iguales a media revolución precisamente; incluso una divergencia infinitesimal sería imposible; y creo con igual confianza en que, por muchos que sean los ángulos de una figura, siempre que no haya ángulos entrantes, la suma de los ángulos será precisa y absolutamente igual al doble de ángulos rectos que lados tiene la figura, menos cuatro ángulos rectos.

En tales casos, la prueba deductiva es absoluta y completa; la verificación empírica puede, a lo sumo, prevenir contra descuidos accidentales.

Hay una segunda clase de verdades geométricas que solo pueden demostrarse por aproximación; pero, como la mente no ve ninguna razón por la cual esa aproximación no deba continuar siempre, llegamos a una convicción completa.

Aprendemos así que la superficie de una esfera es igual exactamente a dos tercios de toda la superficie del cilindro circunscrito, o a cuatro veces el área del círculo generatriz.

• El área de una parábola es exactamente dos tercios de la del paralelogramo circunscrito.
• El área de la cicloide es exactamente tres veces la del círculo generatriz.

Estas son verdades que nunca podríamos determinar, ni siquiera verificar mediante la observación; pues cualquier cantidad finita de diferencia, menor de lo que los sentidos pueden discernir, las falsificaría.

Existen de nuevo relaciones geométricas que no podemos determinar con exactitud, but can carry to any desirable degree of approximation.

La razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es la de 3,14159265358979323846... a 1, y la aproximación puede llevarse hasta cualquier extremo mediante el gasto de suficiente trabajo. El Sr. W. Shanks ha dado el valor de esta constante natural, conocida como $\pi$, con una extensión de 707 cifras decimales.‍¹⁵

Hace algunos años, me entretuve intentando ver cuán cerca podía llegar a esta razón mediante el uso cuidadoso del compás, y no me acerqué a más de 1 parte en 540. Podríamos imaginar mediciones ejecutadas con tanta precisión como para darnos ocho o diez decimales correctos. Pero el poder de las manos y los sentidos debe detenerse pronto, mientras que las facultades mentales del razonamiento deductivo pueden avanzar hacia un grado ilimitado de aproximación.

Las verdades geométricas, por tanto, son incapaces de verificación; y, si es así, ni siquiera pueden aprenderse mediante la observación. ¿Cómo puedo haber aprendido mediante la observación una proposición de la cual ni siquiera puedo probar la verdad mediante la observación, cuando ya estoy en posesión de ella? Todo lo que la observación o la prueba empírica pueden hacer es sugerir proposiciones cuya verdad pueda comprobarse posteriormente de forma deductiva.

Si hemos de dar crédito a la historia de Viviani, Galileo se esforzó por cerciorarse acerca del área de la cicloide recortando varias cicloides grandes en cartón y comparando luego las áreas de la curva y del círculo generatriz mediante su pesaje. En cada intento, la curva pareció ser algo menor que tres veces el círculo, de modo que se nos dice que Galileo comenzó a sospechar que la proporción no era exactamente de 3 a 1. Está muy claro, sin embargo, que ningún procedimiento de pesaje o medición podría probar jamás verdades como estas, y correspondió a Torricelli demostrar lo que su maestro Galileo solo había intuido.‍¹⁶

Mucho se ha dicho sobre la peculiar certeza del razonamiento matemático, pero no es más que la certeza del razonamiento deductivo, y una certeza igual acompaña a toda deducción lógica correcta.

Si un triángulo es rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa equivaldrá indudablemente a la suma de los dos cuadrados de los otros lados; pero nunca puedo estar seguro de que un triángulo sea rectángulo: así como puedo estar seguro de que el ácido nítrico no disolverá el oro, siempre que sepa que las sustancias empleadas corresponden realmente a aquellas con las que hice el experimento anteriormente.

He aquí una idéntica certeza de inferencia, e idéntica duda en cuanto a los hechos.

# Discriminación de Certeza y Probabilidad.

Nunca recurriremos demasiado a la verdad de que nuestro conocimiento de las leyes y los acontecimientos futuros del mundo exterior es meramente probable.

La mente misma es bastante capaz de poseer un conocimiento cierto, y conviene distinguir cuidadosamente entre lo que podemos y lo que no podemos conocer con certeza.

En primer lugar, cualquier sentimiento que esté presente en la realidad para la mente es indudablemente conocido por dicha mente. Si veo el cielo azul, puedo estar muy seguro de que experimento la sensación de azul. Todo lo que siento, lo siento más allá de toda duda.

Es muy probable que confundamos lo que realmente sentimos con lo que nos inclinamos a asociar con ello, o a inferir inductivamente a partir de ello; pero la totalidad de nuestra conciencia, en la medida en que es el resultado de la intuición pura y está libre de inferencias, es un conocimiento cierto más allá de toda duda.

En segundo lugar, podemos tener certeza de inferencia; las leyes fundamentales del pensamiento y la regla de sustitución (p. 9) son ciertamente verdaderas; y si mis sentidos pudieran informarme de que A era indistinguible en color de B, y B de C, entonces estaría igualmente seguro de que A era indistinguible de C.

En resumen, cualquier verdad que haya en las premisas, puedo plasmarla con certeza en su resultado lógico correcto. Pero la certeza suele asumir un carácter hipotético. Nunca puedo estar del todo seguro de que dos colores sean exactamente iguales, de que dos magnitudes sean exactamente iguales, o de que dos cuerpos cualesquiera sean idénticos ni siquiera en sus cualidades aparentes.

Casi todos nuestros juicios implican relaciones cuantitativas y, como se mostrará en capítulos sucesivos, nunca podemos alcanzar exactitud y certeza allí donde interviene la cantidad continua. Los juicios relativos a la cantidad discontinua o a los números, sin embargo, permiten la certeza; puedo establecer fuera de toda duda, por ejemplo, que la diferencia de los cuadrados de 17 y 13 es el producto de 17 + 13 y 17 - 13, y es por tanto 30 × 4, o 120.

Las inferencias que sacamos acerca de los objetos naturales nunca son ciertas, excepto desde un punto de vista hipotético. Podría parecer cierto que el hierro es magnético, o que el oro es incapaz de disolverse en ácido nítrico; pero, si investigamos cuidadosamente los significados de estas afirmaciones, se verá que no implican otra certeza que la de la conciencia y la de la inferencia hipotética.

¿Pues qué entiendo por hierro u oro? Si elijo un pedazo notable de sustancia amarilla, la llamo oro, y luego la sumerjo en un líquido al que llamo ácido nítrico, y descubro que no se produce el cambio llamado disolución, entonces la conciencia ciertamente me ha informado de que, según mi significado de los términos, «el oro es insoluble en ácido nítrico».

Además, puedo estar seguro de otra cosa; pues si este oro y este ácido nítrico siguen siendo lo que eran, puedo estar seguro de que no habrá disolución si repito el experimento.

Si tomo otras porciones de oro y de ácido nítrico, y estoy seguro de que son realmente idénticas en sus propiedades a las porciones anteriores, puedo estar seguro de que no habrá disolución. Pero en este punto mi conocimiento se vuelve puramente hipotético; pues, ¿cómo puedo estar seguro, sin hacer la prueba, de que el oro y el ácido son realmente idénticos en su naturaleza a lo que anteriormente llamé oro y ácido nítrico?

¿Cómo reconozco el oro cuando lo veo? Si juzgo por las cualidades aparentes —color, ductilidad, gravedad específica, etc.—, puedo equivocarme, porque siempre puede existir una sustancia que al color, la ductilidad, la gravedad específica y otras cualidades especificadas, una otras que no esperamos.

De igual modo, si el hierro es magnético, como lo demuestra un experimento con objetos que responden a esos nombres, entonces todo el hierro es magnético, lo que significa que todas las piezas de materia son idénticas a la pieza que he tomado como suposición. Pero al intentar identificar el hierro, siempre estoy expuesto a equivocarme. Y esta propensión al error no es solo una cuestión de especulación.‍¹⁷

La historia de la química muestra que las inferencias más seguras pueden haber sido falsificadas por la confusión de una sustancia con otra. Así, la estroncia nunca se distinguió de la barita hasta que Klaproth y Haüy detectaron diferencias entre algunas de sus propiedades. En consecuencia, los químicos a menudo deben haber inferido acerca de la estroncia lo que solo era verdad respecto de la barita, y vice versâ. Ya no hay duda de que las sustancias descubiertas recientemente, el cesio y el rubidio, se confundieron durante mucho tiempo con el potasio.‍¹⁸ Otros elementos se han confundido a menudo entre sí; por ejemplo, el tantalio y el niobio; el azufre y el selenio; el cerio, el lantano y el didimio; el itrio y el erbio.

Aun las leyes más conocidas de la ciencia física no excluyen la falsa inferencia. Ninguna ley de la naturaleza ha sido mejor establecida que la de la gravitación universal, y creemos con la mayor confianza que cualquier cuerpo capaz de afectar los sentidos atraerá a otros cuerpos, y caerá a la tierra si no se lo impide. Euler observa que, aunque nunca había hecho la prueba con las piedras que componen la iglesia de Magdeburg, no tenía la menor duda de que todas ellas eran pesadas, y caerían si no estuvieran sostenidas. Pero añade que sería sumamente difícil dar una explicación satisfactoria de esta firme creencia.‍¹⁹ El hecho es que la creencia no debería llegar a ser certeza hasta que el experimento haya sido probado, y entretanto interviene una ligera cantidad de incertidumbre, porque no podemos estar seguros de que las piedras de la iglesia de Magdeburg se asemejen a otras piedras en todas sus propiedades.

De igual manera, ninguna de las verdades inductivas que los hombres han establecido, o creen haber establecido, está realmente a salvo de excepciones o revocaciones. Lavoisier, al sentar las bases de la química, se encontró con tantos casos que tendían a mostrar la existencia de oxígeno en todos los ácidos, que adoptó una conclusión general al respecto y, en consecuencia, ideó el nombre de oxígeno. No abrigaba ninguna duda apreciable de que el ácido presente en la sal marina también contena oxígeno;‍²⁰ sin embargo, la experiencia posterior desmintió sus expectativas.

Este ejemplo se refiere a una ciencia en su infancia, en relación con los posibles logros del hombre. Pero todas las ciencias están y estarán siempre en su infancia, en relación con la extensión y complejidad del universo que se comprometen a investigar. Euler expresa poco menos que la verdad cuando afirma que sería imposible fijar un solo objeto real del que podamos tener un conocimiento tan perfecto como para ponernos a salvo del error.‍²¹

Podemos tener la absoluta certeza de que un cometa continuará desplazándose por una trayectoria similar si todas las circunstancias siguen siendo las mismas que antes; pero si omitimos esta amplia salvedad, nuestras predicciones estarán siempre expuestas a la posibilidad de ser refutadas por algún acontecimiento inesperado, como la división del cometa de Biela o la interferencia de un cuerpo gravitatorio desconocido.

La inferencia inductiva podría alcanzar la certeza si nuestro conocimiento de los agentes existentes en todo el universo fuera completo, y si estuviéramos al mismo tiempo seguros de que el mismo Poder que creó el universo permitiría que este prosiguiera sin cambios arbitrarios.

Siempre existe la posibilidad de que existan causas sin nuestro conocimiento, y estas pueden en cualquier momento producir un efecto inesperado.

Aun cuando mediante la teoría de probabilidades logremos formarnos alguna noción de la confianza comparativa con la que debemos recibir los resultados inductivos, me parece todavía que debemos hacer una suposición.

Los acontecimientos salen como bolas de la vasta urna electoral de la naturaleza, y una observación atenta nos permitirá formarnos cierta noción, como veremos en el capítulo siguiente, del contenido de dicha urna. Pero aún debemos suponer que, entre el momento de una observación y aquel al que se refieren nuestras inferencias, no se ha producido ningún cambio en la urna.