CHAPTER XVII. THE LAW OF ERROR.

Someter el error mismo a la ley podría parecer superior al poder humano. Quien yerra ciertamente se desvía de la ley, y podría considerarse desesperanzado extraer la verdad a partir del error.

Uno de los logros más notables del intelecto humano es el establecimiento de una teoría general que no solo nos permite, entre resultados discrepantes, aproximarnos a la verdad, sino asignar el grado de probabilidad que razonablemente corresponde a esta conclusión.

Sería en verdad un error suponer que esta ley es necesariamente la mejor guía bajo todas las circunstancias. Cada instrumento de medición y cada forma de experimento puede tener su propia ley especial de error; puede haber en un instrumento una tendencia en una dirección y en otro en la dirección opuesta. Todo proceso tiene sus propensiones peculiares a la perturbación, y nunca nos vemos libres de la necesidad de prever dificultades especiales.

La Ley General de Error es la mejor guía solo cuando hemos agotado todos los demás medios de aproximación y aún hallamos discrepancias debidas a causas desconocidas. Debemos tratar tales diferencias residuales de un modo u otro, ya que se presentarán en todo experimento preciso, y como se asume que su origen es desconocido, no hay razón para que las tratemos de manera distinta en diferentes casos. En consecuencia, la Ley de Error definitiva debe ser uniforme y general.

Los matemáticos reconocen perfectamente que en cada caso puede existir una ley especial de error, la cual debe descubrirse si es posible.

“Nada puede ser más improbable que el hecho de que los errores cometidos en todas las clases de observaciones sigan la misma ley”,‍¹

y las leyes especiales de error que se aplicarán a ciertos instrumentos, como por ejemplo el círculo repetidor, han sido investigadas por Bravais.‍²

Él concluye que cada causa distinta de error da lugar a una curva de posibilidad de errores, la cual puede tener cualquier forma: una curva que podemos ser capaces o incapaces de descubrir, y que en el primer caso puede determinarse mediante consideraciones à priori sobre la naturaleza peculiar de dicha causa, o puede determinarse à posteriori mediante la observación.

Siempre que sea factible y valga la pena el esfuerzo, debemos investigar estas condiciones especiales de error; sin embargo, cuando existe un gran número de fuentes diferentes de errores diminutos, el resultante general siempre tenderá a obedecer esa ley general que estamos a punto de considerar.

# Establecimiento de la ley de los errores.

Los matemáticos están mucho más de acuerdo en cuanto a la forma de la Ley de los Errores que en cuanto a la manera en que esta puede deducirse y demostrarse.

Coinciden en que, entre varios resultados discordantes de una observación, aquella cantidad media que hace que la suma de los cuadrados de los errores sea lo más pequeña posible es probablemente la mejor aproximación a la verdad.

Pero existen tres vías principales a través de las cuales se ha llegado a esta ley, empleadas respectivamente por Gauss, por Laplace y Quetelet, y por sir John Herschel.

• Gauss parte en gran medida de una suposición;
• Herschel se apoya en consideraciones geométricas;
• mientras que Laplace y Quetelet consideran que la Ley de los Errores es un desarrollo de la doctrina de las combinaciones.

Un buen número de otros matemáticos, como Adrain de Nuevo Brunswick, Bessel, Ivory, Donkin, Leslie Ellis, Tait y Crofton, han intentado demostraciones independientes o bien han modificado o comentado las que aquí se van a describir.

Para obtener relatos completos de la bibliografía sobre el tema, el lector debe remitirse ya sea a la obra History of the Theory of Probability del señor Todhunter o a la excelente memoria del señor J. W. L. Glaisher.‍³

Según Gauss, la Ley de Errores expresa la probabilidad comparativa de errores de varias magnitudes y, en parte a partir de la experiencia, en parte a partir de consideraciones à priori, podemos establecer fácilmente ciertas condiciones a las que la ley ciertamente se ajustará.

Puede asumirse razonablemente como un primer principio que nos guíe en la selección de la ley que los errores grandes serán mucho menos frecuentes y probables que los pequeños. Sabemos que los errores muy grandes son casi imposibles, de modo que la probabilidad debe disminuir rápidamente a medida que aumenta la magnitud del error.

Un segundo principio es que los errores positivos y negativos sean igualmente probables, lo cual ciertamente puede asumirse, puesto que se supone que carecemos de cualquier conocimiento sobre las causas de los errores residuales. De ello se deduce que la probabilidad del error debe ser una función de una potencia par de la magnitud, es decir, del cuadrado, o de la cuarta potencia, o de la sexta potencia; de lo contrario, la probabilidad de la misma cantidad de error variaría según el error fuera positivo o negativo. Las potencias pares x², x⁴, x⁶, etc., son siempre intrínsecamente positivas, ya sea x positiva o negativa.

No hay ninguna razón à priori por la cual deba seleccionarse una de estas potencias pares en lugar de otra. El propio Gauss admite que la cuarta o la sexta potencia cumplirían las condiciones tan bien como la segunda;‍⁴ pero, a falta de cualquier razón teórica, deberíamos preferir la segunda potencia, porque conduce a fórmulas de gran simplicidad comparativa. Si la Ley de Errores exigiera el uso de las potencias superiores del error, la complejidad de los cálculos necesarios reduciría en gran medida la utilidad de la teoría.

Mediante un razonamiento matemático que no sería deseable intentar seguir en este libro, se demuestra que bajo estas condiciones, la facilidad de ocurrencia, o en otras palabras, la probabilidad de error, se expresa mediante una función de la forma general ε^{–h2 x2}, en la cual x representa la cantidad variable de errores.

De esta ley, que se describirá con más detalle en las secciones siguientes, se deduce inmediatamente que el resultado más probable de cualquier observación es aquel que hace que la suma de los cuadrados de los errores consecuentes sea la menor posible. Sean a, b, c, etc., los resultados de la observación, y x la cantidad seleccionada como la más probable, es decir, la más libre de errores desconocidos: entonces debemos determinar x de modo que (a - x)² + (b - x)² + (c - x)² + . . . sea la cantidad menor posible.

Llegamos así al célebre Método de los Mínimos Cuadrados, como se le suele llamar, el cual parece haber sido puesto en práctica claramente por primera vez por Gauss en 1795, mientras que Legendre publicó por primera vez en 1806 una descripción del proceso en su obra titulada Nouvelles Méthodes pour la Détermination des Orbites des Comètes. Cabe señalar, sin embargo, que Roger Cotes había recomendado mucho antes un método de naturaleza equivalente en su tratado «Estimatio Erroris in Mixta Mathesi».‍⁵

# La prueba geométrica de Herschel.

Un segundo modo de llegar a la Ley de los Errores fue propuesto por Herschel, y aunque solo es aplicable a casos geométricos, resulta notable por mostrar que, desde cualquier punto de vista en que consideremos el asunto, se descubrirá el mismo principio. Tras suponer que debe existir alguna ley general y que está sujeta a los principios de probabilidad, plantea que se deja caer una bola desde un punto elevado con la intención de que golpee una marca dada en un plano horizontal. En ausencia de cualquier causa conocida de desviación, o bien golpeará dicha marca, o bien, como es infinitamente más probable, se desviará de ella en una cantidad que debemos considerar como un error de origen desconocido. Ahora bien, para citar las palabras de Herschel:‍⁶

“la probabilidad de ese error es la función desconocida de su cuadrado, es decir, de la suma de los cuadrados de sus desviaciones en dos direcciones rectangulares. Ahora bien, dado que la probabilidad de cualquier desviación depende únicamente de su magnitud, y no de su dirección, se deduce que la probabilidad de cada una de estas desviaciones rectangulares debe ser la misma función de su propio cuadrado. Y puesto que la desviación oblicua observada equivale a las dos rectangulares, supuestas concurrentes y que son esencialmente independientes la una de la otra, y es, por tanto, un evento compuesto del cual aquellas son los componentes simples e independientes, su probabilidad será, en consecuencia, el producto de sus probabilidades separadas. Así pues, la forma de nuestra función desconocida queda determinada a partir de esta condición, a saber, que el producto de tales funciones de dos elementos independientes es igual a la misma función de su suma. Pero en toda obra de álgebra se demuestra que esta propiedad es la característica peculiar de la función exponencial o antilogarítmica, y pertenece exclusivamente a ella. Esta es, por tanto, la función del cuadrado del error que expresa la probabilidad de cometer dicho error. Dicha probabilidad disminuye, por consiguiente, en progresión geométrica, a medida que el cuadrado del error aumenta en progresión aritmética”.

# La demostración de la ley por Laplace y Quetelet.

Por mucha presunción que los métodos para determinar la Ley de Errores, ya descritos, puedan ofrecer a favor de la ley adoptada habitualmente, es difícil sentir que los argumentos son satisfactorios.

La ley adoptada se elige más bien por razones de conveniencia y plausibilidad, que porque se pueda ver que es la ley necesaria.

No obstante, podemos abordar el tema desde un punto de vista enteramente diferente y llegar aun así al mismo resultado.

Supongamos que una observación determinada está sujeta a cuatro posibilidades de error, cada una de las cuales aumentará el resultado una pulgada si ocurre. Cada uno de estos errores debe considerarse como un evento independiente del resto y podemos por lo tanto asignar, según la teoría de la probabilidad, la probabilidad comparativa y la frecuencia de cada conjunción de errores. Del Triángulo Aritmético (págs. 182–188) aprendemos que ningún error en absoluto puede ocurrir de una sola manera; un error de una pulgada puede ocurrir de 4 maneras; y las maneras en que ocurren los errores de 2, 3 y 4 pulgadas respectivamente, serán 6, 4 y 1 en número.

Podemos inferir que el error de dos pulgadas es el que tiene más probabilidades de ocurrir, y a la larga ocurrirá en seis casos de dieciséis. Los errores de una y tres pulgadas serán igualmente probables, pero ocurrirán con menor frecuencia; mientras que ningún error en absoluto, o uno de cuatro pulgadas, será un acontecimiento comparativamente raro. Si ahora suponemos que los errores actúan tanto en una dirección como en la otra, el efecto será alterar el error promedio en una cantidad de dos pulgadas, y obtendremos los siguientes resultados:—

Podemos imaginar ahora aumentado el número de causas de error y disminuida la cuantía de cada error, y el triángulo aritmético nos dará la frecuencia de los errores resultantes. Así, si hay cinco causas positivas de error y cinco negativas, la siguiente tabla muestra el número de errores de diversas cuantías que serán el resultado:—

Es evidente que a partir de tales números puedo determinar la probabilidad de cualquier cantidad particular de error bajo las condiciones supuestas. La probabilidad de un error positivo de exactamente una pulgada es 210/1024, fracción en la cual el numerador es el número de combinaciones que dan un error positivo de una pulgada, y el denominador el número total de errores posibles de todas las magnitudes.

También puedo, sumando los números apropiados, obtener la probabilidad de que un error no exceda cierta cantidad. Así, la probabilidad de un error de tres pulgadas o menos, positivo o negativo, es una fracción cuyo numerador es la suma de 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45, y el denominador, como antes, dando como resultado 1002/1024.

Podemos ver de inmediato que, de acuerdo con estos principios, la probabilidad de los errores pequeños es mucho mayor que la de los grandes:

• la probabilidad es de 1002 a 22, o de más de 45 a 1, de que el error no exceda las tres pulgadas;
• y la probabilidad es de 1022 a 2 contra la ocurrencia del mayor error posible de cinco pulgadas.

Si se presentara algún caso en el que el observador conozca el número y la magnitud de los errores principales que puedan ocurrir, ciertamente debería calcular a partir del Triángulo Aritmético la Ley de Error especial que correspondería. Pero la ley general que buscamos debe usarse a ciegas, cuando no tenemos conocimiento alguno de las fuentes de error.

Suponer un número determinado de causas de error es entonces un procedimiento arbitrario, y los matemáticos han elegido el camino menos arbitrario de imaginar la existencia de un número infinito de errores infinitamente pequeños, del mismo modo que, en el método inverso de las probabilidades, se sometió al cálculo un número infinito de hipótesis infinitamente improbables (p. 255).

Las razones en favor de esta elección son de varias clases diferentes.

1. No se puede negar que puedan existir causas de error infinitamente numerosas en cualquier acto de observación.

2. La ley resultante de la hipótesis de un número moderado de causas de error, no difiere apreciablemente de la dada por la hipótesis de un número infinito de causas de error.

3. Ganamos con la hipótesis del infinito una ley general capaz de un cálculo sencillo, y aplicable mediante reglas uniformes a todos los problemas.

4. Esta ley, al ser comprobada mediante la comparación con una extensa serie de observaciones, se verifica de manera llamativa, como se mostrará en una sección posterior.

When we imagine the existence of any large number of causes of error, for instance one hundred, the numbers of combinations become impracticably large, as may be seen to be the case from a glance at the Arithmetical Triangle, which proceeds only up to the seventeenth line. Quetelet, by suitable abbreviating processes, calculated out a table of probability of errors on the hypothesis of one thousand distinct causes;‍⁷ but mathematicians have generally proceeded on the hypothesis of infinity, and then, by the devices of analysis, have substituted a general law of easy treatment. In mathematical works upon the subject, it is shown that the standard Law of Error is expressed in the formula in which x is the amount of the error, Y the maximum ordinate of the curve of error, and c a number constant for each series of observations, and expressing the amount of the tendency to error, varying between one series of observations and another. The letter ε is the mathematical constant, the sum of ratios between the numbers of permutations and combinations, previously referred to (p. 330).

Para mostrar la estrecha correspondencia de esta ley general con la ley especial que podría derivarse de la suposición1 de un número moderado de causas de error, he trazado en la figura adjunta una línea curva que representa con precisión la variación de y cuando x en la fórmula anterior se toma igual a 0, 1/2, 1, 3/2, 2, etc., positiva o negativa, suponiéndose que las cantidades arbitrarias Y y c son cada una iguales a la unidad, con el fin de simplificar los cálculos.

En la misma figura se han insertado once puntos, cuyas alturas sobre la línea de base son proporcionales a los números de la undécima línea del Triángulo Aritmético, representando así las probabilidades comparativas de errores de diversas magnitudes derivados de diez causas iguales de error.

La correspondencia entre la ley de error general y la especial es casi tan estrecha como puede mostrarse en la figura, y la suposición de un número mayor de causas de error iguales haría que dicha correspondencia fuera mucho más estrecha.

Puede explicarse que las ordenadas NM, nm, n′m′ representan valores de y en la ecuación que expresa la Ley de Error. La ocurrencia de cualquier cantidad definida de error es infinitamente improbable, porque se podría trazar un número infinito de tales ordenadas. Pero la probabilidad de que ocurra un error entre ciertos límites es finita, y está representada por una porción del área de la curva.

Así, la probabilidad de que ocurra un error, positivo o negativo, que no exceda la unidad, está representada por el área Mmnn′m′, en resumen, por el área situada sobre la línea nn′.

Dado que toda observación debe tener necesariamente algún error determinado o ninguno en absoluto, se deduce que toda el área de la curva debe considerarse como la unidad que expresa la certeza, y la probabilidad de que un error caiga entre límites determinados se expresará entonces mediante la razón que guarda el área de la curva entre dichos límites con respecto a la totalidad del área de la curva.

El mero hecho de que la Ley de Errores admita la existencia posible de errores de cualquier magnitud asignable demuestra que solo es aproximadamente verdadera. Podemos afirmar con justicia que al medir una milla sería imposible cometer un error de cien millas, y la duración de la vida nunca nos permitiría cometer un error de un millón de millas.

Sin embargo, la Ley de Errores general asignaría una probabilidad a un error de esa magnitud o mayor, pero una probabilidad tan pequeña que resulta totalmente insignificante y casi inconcebible.

Todo lo que puede, o de hecho necesita, decirse en defensa de la ley es que puede hacerse que represente los errores en cualquier caso especial con una aproximación muy estrecha, y que la probabilidad de errores grandes y prácticamente imposibles, según los da la ley, será tan pequeña que resultará enteramente insignificante. Y como tratamos con el error en sí, y nuestros resultados no pretenden nada más que aproximación y probabilidad, un error indefinidamente pequeño en nuestro proceso de aproximación no tiene importancia alguna.

# Origen lógico de la ley del error.

Digno es de notar que esta Ley del Error, por abstruso que parezca el tema, se funda en realidad sobre los principios más simples. Surge por completo de la diferencia entre permutaciones y combinaciones, un tema en el que puede parecer que me he explayado con innecesaria prolixidad en páginas anteriores (págs. 170, 189).

El orden en el que sumamos cantidades no altera el valor de la suma, de modo que si hay tres causas positivas y cinco negativas de error en funcionamiento, no importa en qué orden se considere que actúan. Pueden entremezclarse en cualquier disposición y aun así el resultado será el mismo.

El lector no debe dejar de advertir cómo las leyes o los principios que parecían absurdamente simples y evidentes cuando se observaron por primera vez, reaparecen en los procesos más complicados y misteriosos del método científico. Las Leyes fundamentales de la Identidad y la Diferencia dieron lugar al Alfabeto Lógico el cual, tras abstraer el carácter de las diferencias, condujo al Triángulo Aritmético.

La Ley del Error se define mediante una línea infinitamente alta de dicho triángulo, y la ley demuestra que la media es el resultado más probable, y que las divergencias respecto a la media se vuelven mucho menos probables a medida que aumenta su magnitud. Ahora bien, la magnitud comparativa de los números hacia la mitad de cada línea del Triángulo Aritmético se debe enteramente a la indiferencia del orden en el espacio o en el tiempo, que se señaló por primera vez de manera destacada como condición de las relaciones lógicas y de los símbolos que las indican (págs. 32-35), y que más tarde se demostró que es atribuible por igual a los símbolos numéricos, los derivados de los términos lógicos (pág. 160).

# Verificación de la ley de error.

La teoría de los errores que hemos estado considerando descansa enteramente sobre una suposición, a saber, que cuando se tienen en cuenta las fuentes conocidas de perturbación, aún quedan un número indefinido, posiblemente infinito, de otras fuentes diminutas de error, que producirán tanto un exceso como un déficit con la misma frecuencia.

Concediendo esta suposición, la Ley de los Errores debe ser como se suele considerar que es, y no hay más necesidad de verificarla empíricamente que de probar mecánicamente la verdad de una de las proposiciones de Euclides.

Sin embargo, es una ocupación interesante verificar incluso las proposiciones de la geometría, y resulta aún más instructivo comprobar si un gran número de observaciones justificará nuestra suposición de la Ley de los Errores.

Encke ha dado un ejemplo excelente de la correspondencia entre la teoría y la experiencia, en el caso de las observaciones de las diferencias de Ascensión Recta del sol y dos estrellas, a saber, $\alpha$ Aquilæ y $\alpha$ Canis minoris.

Las observaciones fueron 470 en número, y fueron hechas por Bradley y reducidas por Bessel, quien halló que el error probable del resultado final era de solo aproximadamente la cuarta parte de un segundo (0·2637).

A continuación, comparó el número de errores de cada magnitud desde 0·1 segundo en adelante, tal como se desprende realmente de las observaciones, con lo que debería ocurrir según la Ley de Error.

Los resultados fueron los siguientes:—‍⁸

El lector observará que la correspondencia es muy estrecha, salvo en lo que respecta a los errores mayores, que son excesivos en la práctica. Es una objeción, en efecto, a la teoría del error, que, al expresarse en una función matemática continua, contempla la existencia de errores de cualquier magnitud, tales como los que no podrían ocurrir en la práctica; sin embargo, en este caso la teoría parece subestimar el número de grandes errores.

Otra comparación de la ley con la observación fue realizada por Quetelet, quien investigó los errores de 487 determinaciones en el tiempo de la Ascensión Recta de la Estrella Polar hechas en Greenwich durante los cuatro años 1836–39. Estas observaciones, aunque cuidadosamente corregidas por todas las causas conocidas de error, así como por nutación, precesión, etc., se encuentra sin embargo que difieren, por supuesto, y al ser clasificadas en cuanto a intervalos de medio segundo de tiempo, y luego aumentadas proporcionalmente en número para que su suma sea de mil, arrojan los siguientes resultados en comparación con lo que la teoría de Quetelet nos llevaría a esperar:—‍⁹

También en este caso la correspondencia es satisfactoria, pero la divergencia entre la teoría y el hecho se da en dirección opuesta a la descubierta en la comparación anterior, siendo los errores mayores menos frecuentes de lo que indicaría la teoría.

Se observará que los resultados teóricos de Quetelet no son simétricos.

# El resultado medio probable.

Un resultado inmediato de la Ley de los Errores, tal como se enuncia, es que el resultado medio es el más probable; y cuando solo hay una variable, esta media se halla mediante el conocido proceso aritmético. Un desafortunado error se ha deslizado en varias obras que aluden a este tema. Mill, al tratar sobre la «Eliminación del azar», señala en una nota‍¹⁰ que «se habla de la media como si fuera exactamente lo mismo que el promedio. Pero la media, para los fines de la investigación inductiva, no es el promedio, o media aritmética, aunque en una ilustración familiar de la teoría la diferencia pueda pasarse por alto». Continúa diciendo que, según los principios matemáticos, el resultado más probable es aquel para el cual la suma de los cuadrados de las desviaciones es la menor posible. Parece probable que Mill y otros escritores hayan sido inducidos a error por Whewell, quien afirma‍¹¹ que «El método de los mínimos cuadrados es de hecho un método de medias, pero con algunos caracteres peculiares... El método procede a partir de esta suposición: que todos los errores no son igualmente probables, sino que los errores pequeños son más probables que los grandes». Añade que este método «elimina gran parte de lo que hay de arbitrario en el método de las medias». Resulta extraño encontrar a un matemático como Whewell haciendo tales observaciones, cuando no cabe la menor duda de que el Método de las Medias es solo una aplicación del Método de los Mínimos Cuadrados. Son, de hecho, el mismo método, excepto que este último puede aplicarse a casos en los que se deben determinar dos o más cantidades al mismo tiempo. Lubbock y Drinkwater afirman:‍¹² «Si solo se ha de determinar una cantidad, este método se reduce evidentemente a tomar la media de todos los valores dados por la observación». Encke afirma‍¹³ que la expresión de la probabilidad de un error «no solo contiene en sí misma el principio de la media aritmética, sino que depende de ella de forma tan inmediata que, para todas aquellas magnitudes para las que la media aritmética es válida en los casos sencillos en los que se aplica principalmente, no se puede suponer ninguna otra ley de probabilidad que no sea la expresada por esta fórmula».

# El error probable de los resultados.

Cuando extraemos una conclusión a partir de los resultados numéricos de las observaciones, no debemos considerar suficiente, en casos de importancia, contentarnos con hallar la media simple y tratarla como verdadera. Debemos también averiguar cuál es el grado de confianza que podemos depositar en dicha media, y nuestra confianza debe medirse por el grado de concordancia de las observaciones de las que se deriva.

En algunos casos, la media puede ser aproximadamente cierta y exacta. En otros casos, puede en realidad valer poco o nada.

La Ley de los Errores nos permite expresar con exactitud el grado de confianza adecuado en cualquier caso; pues muestra cómo calcular la probabilidad de una divergencia de cualquier magnitud respecto a la media, y a partir de ahí podemos averiguar la probabilidad de que la media en cuestión se encuentre dentro de una cierta distancia del número verdadero.

El error probable es considerado por los matemáticos como los límites dentro dels cuales es igualmente probable que el valor real se encuentre o no. Así, si 5·45 es la media de todas las determinaciones de la densidad de la tierra, y ·20 es aproximadamente el error probable, el significado es que la probabilidad de que la densidad real de la tierra caiga entre 5·25 y 5·65 es de 1/2.

Cualquier otro límite podría haberse seleccionado a voluntad. Podríamos calcular los límites dentro de los cuales la probabilidad de que el valor real estuviera comprendido fuera de cien o de mil a uno; pero existe el convenio de tomar la probabilidad equitativa de uno a uno como la cantidad de probabilidad de la cual se han de estimar los límites.

Muchos libros de probabilidad dan reglas para hacer los cálculos, pero como, en el progreso de la ciencia, las personas deben familiarizarse más con estos procesos, me propongo repetir las reglas aquí e ilustrar su uso. Los cálculos, cuando se realizan de acuerdo con las instrucciones, no implican más que operaciones aritméticas o logarítmicas.

He aquí las reglas para tratar un resultado medio, con el fin de comprobar exhaustivamente su fiabilidad.

1. Calcule la media de todos los resultados observados.

2. Halla el exceso o el defecto, es decir, el error de cada resultado respecto a la media.

3. Eleva al cuadrado cada uno de estos presuntos errores.

4. Sume todos estos cuadrados de los errores, que por supuesto son todos positivos.

5. Divide by one less than the number of observations.

This gives the square of the mean error.

6. Extraer la raíz cuadrada del último resultado; este es el error medio de una sola observación.

7. Divida ahora por la raíz cuadrada del número de observaciones, y obtendremos el error medio del resultado medio.

8. Por último, multiplíquese por la constante natural 0·6745 (o aproximadamente por 0·674, o incluso por 2/3), y llegamos al error probable del resultado medio.

Supongamos, por ejemplo, que cinco mediciones de la altura de una colina, por medio de un barómetro o de otro modo, han arrojado los números de pies de 293, 301, 306, 307, 313; queremos saber el error probable de la media, a saber, 304.

Ahora bien, las diferencias entre esta media y los números anteriores, sin tener en cuenta la dirección, son 11, 3, 2, 3, 9; sus cuadrados son 121, 9, 4, 9, 81, y la suma de los cuadrados de los errores es, por consiguiente, 224.

Siendo el número de observaciones 5, dividimos por 1 menos, es decir, 4, obteniendo 56. Este es el cuadrado del error medio, y tomando su raíz cuadrada tenemos 7,48 (digamos 7 1/2), el error medio de una sola observación.

Dividiendo por 2,236, la raíz cuadrada de 5, el número de observaciones, hallamos que el error medio del resultado medio es 3,35, o digamos 3 1/3, y por último, multiplicando por 0,6745, llegamos al error probable del resultado medio, el cual resulta ser 2,259, o digamos 2 1/4.

El significado de esto es que la probabilidad es de un medio, o las apuestas son equitativas, de que la verdadera altura de la montaña se encuentre entre 301 3/4 y 306 1/4 pies. Tenemos así una medida exacta del grado de credibilidad de nuestro resultado medio, cuya media indica el punto más probable en el que ha de encontrarse la verdad.

El lector debe observar que, como el objetivo de estos cálculos es únicamente obtener una noción del grado de confianza con el que consideramos la media, no hay utilidad real en llevar los cálculos a un gran grado de precisión; y siempre que la omisión de fracciones decimales, o incluso la ligera alteración de un número, abrevien en gran medida los cómputos, esto puede hacerse sin temor, excepto en casos de alta importancia y precisión. Brodie ha demostrado cómo la ley de los errores puede aplicarse útilmente en investigaciones químicas, y en su artículo pueden encontrarse algunas ilustraciones de su empleo.‍¹⁴

Los experimentos de Benzenberg para detectar la revolución de la tierra, mediante la desviación de una bola respecto a la línea perpendicular al caer en un pozo profundo, han sido citados por Encke‍¹⁵ como una ilustración interesante de la ley de errores.

La desviación media fue de 5,086 líneas, y Encke calculó que su error probable no era superior a 0,950 líneas; es decir, había la misma probabilidad de que el resultado verdadero estuviera entre 4,136 y 6,036. Como la desviación, según la teoría astronómica, debería ser de 4,6 líneas, la cual se encuentra holgadamente dentro de los límites, podemos considerar que los experimentos son compatibles con el sistema copernicano del universo.

Se comprenderá, por supuesto, que el error probable se refiere únicamente a aquellas causas de error que a la larga actúan tanto en una dirección como en otra; no toma en cuenta los errores constantes. El resultado verdadero, por consiguiente, caerá a menudo mucho más allá de los límites del error probable, debido a uno o varios errores constantes considerables de cuya existencia no somos conscientes.

# Rechazo del Resultado Medio.

Debemos tener siempre presente que la media de cualquier serie de observaciones es la mejor aproximación, es decir, la más probable a la verdad, únicamente en ausencia de conocimiento en contrario.

La selección de la media se basa enteramente en la probabilidad de que las causas desconocidas de error actúen a la larga tan frecuentemente en una dirección como en la opuesta, de modo que al calcular la media se anulen entre sí. Si tenemos alguna razón para suponer que existe una tendencia al error en una dirección más que en la otra, entonces elegir la media equivaldría a ignorar dicha tendencia.

Ciertamente podemos aproximarnos a la longitud de la circunferencia de un círculo tomando la media de los perímetros de los polígonos inscrito y circunscrito de un número igual y elevado de lados. La longitud de la línea circular se encuentra indudablemente entre las longitudes de ambos perímetros, pero de ello no se sigue que la media sea la mejor aproximación.

De hecho, puede demostrarse que la circunferencia del círculo es muy próxima e igual al perímetro del polígono inscrito, más una tercera parte de la diferencia entre los polígonos inscrito y circunscrito del mismo número de lados. Al poseer este conocimiento, debemos, por supuesto, actuar en consecuencia, en lugar de fiarnos de la probabilidad.

We may often perceive that a series of measurements tends towards an extreme limit rather than towards a mean. In endeavouring to obtain a correct estimate of the apparent diameter of the brightest fixed stars, we find a continuous diminution in estimates as the powers of observation increased.

Kepler assigned to Sirius an apparent diameter of 240 seconds; Tycho Brahe made it 126; Gassendi 10 seconds; Galileo, Hevelius, and J. Cassini, 5 or 6 seconds. Halley, Michell, and subsequently Sir W. Herschel came to the conclusion that the brightest stars in the heavens could not have real discs of a second, and were probably much less in diameter.

It would of course be absurd to take the mean of quantities which differ more than 240 times; and as the tendency has always been to smaller estimates, there is a considerable presumption in favour of the smallest.‍¹⁶

En muchos experimentos y mediciones sabemos que existe una tendencia predominante al error en una dirección.

• Las lecturas de un termómetro tienden a subir a medida que aumenta la edad del instrumento, y ningún cálculo de medias corregirá este resultado.
• Los barómetros, por otra parte, tienden a marcar un valor demasiado bajo en lugar de demasiado alto, debido a la imperfección del vacío y a la acción de la capilaridad. Si el mercurio es perfectamente puro y no se debe ningún error apreciable al aparato de medición, el mejor barómetro será el que dé el resultado más alto.
• Al determinar la gravedad específica de un cuerpo sólido, el principal peligro de error proviene de las burbujas de aire adheridas al cuerpo, lo que tendería a hacer que la gravedad específica fuera demasiado pequeña.

Hay que prestar siempre mucha atención a los errores unilaterales de este tipo, ya que la multiplicación de experimentos no elimina el error. En tales casos, un experimento muy cuidadoso es mejor que cualquier cantidad de experimentos descuidos.

Cuando tenemos motivos fundados para suponer que ciertos resultados experimentales son susceptibles de errores graves, debemos excluirlos al calcular una media.

Si queremos hallar la aproximación más probable a la velocidad del sonido en el aire, sería absurdo recurrir a los viejos experimentos que situaban dicha velocidad entre 1200 y 1474 pies por segundo; pues sabemos que los antiguos observadores no se guardaron de los errores derivados del viento y de otras causas.

Los antiguos experimentos químicos carecen de valor en lo que respecta a los resultados cuantitativos. Los viejos químicos hallaron que la atmósfera en distintos lugares difería en composición casi un diez por ciento, mientras que los experimentadores modernos y precisos hallan variaciones muy leves.

Cualquier método de medición del que sepamos que evita una fuente de error es muy preferible a otros que confían en las probabilidades para la eliminación de dicho error. Como dice Flamsteed,‍¹⁷ «Un buen instrumento vale tanto como cien mediocres».

Pero un instrumento es bueno o malo solo en un sentido comparativo, y ningún instrumento ofrece resultados invariables y veraces. Por consiguiente, siempre debemos recurrir en última instancia a las probabilidades para la selección de la media final, cuando se hayan agotado las demás precauciones.

Legendre, el descubridor del método de los Mínimos Cuadrados, recomendó que las observaciones que difirieran mucho de los resultados de su método debían ser rechazadas. El tema ha sido investigado minuciosamente por el profesor Pierce, quien ha propuesto un criterio para el rechazo de observaciones dudosas basado en el siguiente principio:‍¹⁸′“—las observaciones deben ser rechazadas cuando la probabilidad del sistema de errores obtenido al conservarlas es menor que la del sistema de errores obtenido al rechazarlas multiplicada por la probabilidad de hacer tantas observaciones anormales y ninguna más.” La investigación del profesor Pierce se expone casi con sus propias palabras en el “Manual de Astronomía Esférica y Práctica” del profesor W. Chauvenet, el cual contiene una completa y excelente discusión sobre los métodos de tratamiento de las observaciones numéricas.‍¹⁹

Muy difíciles cuestiones surgen a veces cuando uno o más resultados de un método de experimento divergen ampliamente de la media del resto.

¿Debemos o no debemos excluir dichos resultados al adoptar el supuesto resultado medio verdadero del método?

La obtención de un resultado medio descansa, como he explicado con frecuencia, en el supuesto de que todo error que actúe en una dirección será probablemente compensado por otros errores que actúen en dirección opuesta.

Si entonces conocemos o podemos descubrir cualquier causa de error que no concuerde con este supuesto, estaremos justificados en excluir los resultados que parezcan verse afectados por dicha causa.

Al reducir grandes series de observaciones astronómicas, no es poco común encontrarse con números que difieren de otros en un grado entero o medio grado, o en alguna cantidad entera considerable. Estos son errores que difícilmente podrían surgir en el acto de la observación o en la irregularidad instrumental; pero podrían explicarse fácilmente por una mala lectura de las cifras o una confusión en las marcas de división. Sería absurdo confiar al azar que tales errores se compensarían entre sí a la larga, y por lo tanto es mejor corregir arbitrariamente el supuesto error, o mejor aún, si se pueden hacer nuevas observaciones, descartar por completo los números divergentes. Cuando los resultados resultan a veces demasiado grandes o demasiado pequeños de manera regular, debemos sospechar que alguna parte del instrumento se desliza en un espacio determinado, o que una causa definida de error se introduce a veces, y otras no. Debemos entonces hacer que sea una cuestión de importancia primordial descubrir la naturaleza exacta y la magnitud de dicho error, y prevenir su ocurrencia en el futuro o bien introducir una corrección correspondiente. En muchas investigaciones, toda la dificultad consistirá en esta detección y elusión de las fuentes de error. El profesor Roscoe descubrió que la presencia de fósforo causaba errores graves y casi inevitables en la determinación del peso atómico del vanadio.‍²⁰ Herschel, al reducir sus observaciones de estrellas dobles en el cabo de Buena Esperanza, se vio desconcertado por una diferencia inexplicable en los ángulos de posición medidos con el telescopio ecuatorial de siete pies y el telescopio reflector de veinte pies, y tras una investigación cuidadosa se vio obligado a conformarse con introducir una corrección determinada experimentalmente.‍²¹

Cuando las observaciones son suficientemente numerosas, parece conveniente proyectar los errores aparentes en una curva y observar después si esta curva exhibe la forma simétrica y característica de la curva de error.

Si es así, puede inferirse que los errores provienen de muchas fuentes independientes y diminutas, y probablemente se compensan entre sí en el resultado medio. Cualquier irregularidad considerable indicará la existencia de causas de error unilaterales o de gran magnitud, las cuales deben ser objeto de investigación.

Aun las investigaciones más pacientes y exhaustivas a veces no logran revelar ninguna razón por la cual algunos resultados divergen de otros. La pregunta vuelve a surgir: ¿Debemos excluirlos arbitrariamente? La respuesta, por regla general, debería ser negativa.

El mero hecho de la divergencia no debe tomarse como concluyente en contra de un resultado, y el ejercicio de una elección arbitraria abriría el camino a la influencia fatal de la parcialidad y de lo que comúnmente se conoce como la «cocina» de las cifras. Equivaldría a juzgar el hecho según la teoría en lugar de la teoría según el hecho.

El número aparentemente divergente puede resultar con el tiempo ser el verdadero. Puede ser una excepción de ese tipo valioso que trastoca nuestras teorías falsas, una excepción real, que hace estallar coincidencias aparentes y abre el camino a una nueva visión del tema.

Establecer esta posición para el hecho divergente requerirá investigación adicional; pero mientras tanto debemos concederle cierta ponderación en nuestras conclusiones medias, y debemos tener presente la discrepancia como una que demanda atención. Descuidar un resultado divergente es descuidar la posible pista de un gran descubrimiento.

# Método de los Mínimos Cuadrados.

Cuando dos o más cantidades desconocidas están tan relacionadas que no pueden determinarse por separado mediante el Método Simple de las Medias, aún podemos obtener sus valores más probables por el Método de los Mínimos Cuadrados, sin más dificultad que la derivada de la longitud de los cálculos aritméticos. Si el resultado de cada observación da una ecuación entre dos cantidades desconocidas de la forma entonces, si las observaciones estuviesen libres de error, necesitaríamos solo dos observaciones que dieran dos ecuaciones; pero para lograr una mayor precisión, podemos tomar muchas observaciones y reducir las ecuaciones de modo que den solo un par con coeficientes medios. Esta reducción se efectúa: (1) multiplicando los coeficientes de cada ecuación por el primer coeficiente, y sumando todos los coeficientes semejantes así resultantes para los coeficientes de una nueva ecuación; y (2) repitiendo este proceso, y multiplicando los coeficientes de cada ecuación por el coeficiente del segundo término. Entendiendo por (suma de a²) la suma de todas las cantidades de la misma clase, y que ocupan el mismo lugar en las ecuaciones que a², podemos describir brevemente las dos ecuaciones medias resultantes de la siguiente manera:‍—

Cuando hay tres o más cantidades desconocidas, el proceso es exactamente el mismo en su naturaleza, y obtenemos ecuaciones medias adicionales multiplicando por el tercer, cuarto, etc., coeficientes.

Como los números son en cualquier caso aproximados, por lo general es innecesario hacer los cómputos con exactitud, y se pueden suprimir libremente los lugares decimales para ahorrar trabajo aritmético.

Habiendo calculado las ecuaciones medias, su solución por los métodos ordinarios del álgebra da los valores más probables de las cantidades desconocidas.

# Obras sobre la teoría de la probabilidad.

En cuanto a la Teoría de la Probabilidad y la Ley de Errores como los temas de estudio más importantes para cualquiera que desee obtener una comprensión completa del método científico tal como se aplica realmente en las investigaciones físicas, indicaré brevemente las obras en alguna de las cuales el lector hará bien en proseguir el estudio.

La mejor obra inglesa de carácter popular y al mismo tiempo profundo sobre la materia es el «Essay on Probabilities and on their Application to Life Contingencies and Insurance Offices» de De Morgan, publicado en la Cabinet Cyclopædia, y que puede adquirirse (impreso) en casa de los Sres. Longman.

La obra del Sr. Venn sobre The Logic of Chance puede conseguirse ahora en una segunda edición muy ampliada;‍²² contiene una discusión interesantísima y competente sobre la base metafísica de la probabilidad y sobre cuestiones conexas relativas a la causalidad, la creencia, el diseño, el testimonio, etc.; pero no siempre puedo estar de acuerdo con las opiniones del Sr. Venn. Para la lectura de estas obras no se requieren conocimientos matemáticos superiores a los de la aritmética elemental.

Las Letters de Quetelet constituyen una buena introducción a la materia, y las notas matemáticas son de gran valor. El breve tratado de Sir George Airy, On the Algebraical and Numerical Theory of Errors of Observations and the Combination of Observations, contiene una explicación completa de la ley de los errores y de sus aplicaciones prácticas.

El tratado de De Morgan titulado «On the Theory of Probabilities», de la Encyclopædia Metropolitana, presenta un resumen de las investigaciones más abstrusas de Laplace, junto con una multitud de observaciones profundas y originales sobre la teoría en general.

En la obra sobre Probability de Lubbock y Drinkwater, publicada en la Library of Useful Knowledge, disponemos de una exposición concisa pero excelente de una serie de problemas importantes.

El reverendo W. A. Whitworth ha ofrecido, en una obra titulada Choice and Chance, un buen número de ilustraciones de cálculos tanto de combinaciones como de probabilidades.

En la admirable historia del Sr. Todhunter tenemos una relación crítica y exhaustiva de casi todos los escritos sobre el tema de la probabilidad hasta la culminación de la teoría en las obras de Laplace.

La memoria del Sr. J. W. L. Glaisher ya ha sido mencionada (p. 375).

A pesar de la existencia de estas y algunas otras buenas obras inglesas, parece haber una carencia de una introducción matemática que sea a la vez sencilla y bastante completa para el estudio de la teoría.

Entre las obras francesas, el Traité Élémentaire du Calcul des Probabilités, de S. E. Lacroix, del cual se han publicado varias ediciones y que no es difícil de conseguir, constituye probablemente el mejor tratado elemental.

Las Recherches sur la Probabilité des Jugements de Poisson (París, 1837) comienzan con una investigación admirable de los fundamentos y métodos de la teoría.

Si bien la gran Théorie Analytique des Probabilités de Laplace es, por supuesto, los "Principia" de la materia, su Essai Philosophique sur les Probabilités es un discurso divulgativo y uno de los ensayos más profundos e interesantes que se hayan publicado jamás. Debería resultarle familiar a todo estudiante de método lógico, y no ha perdido nada o casi nada de su importancia con el transcurso del tiempo.

# Detección de Errores Constantes.

El Método de las Medias es absolutamente incapaz de eliminar cualquier error que sea siempre el mismo, o que radique siempre en una sola dirección. A veces necesitamos ser despertados de un falso sentimiento de seguridad, y ser instados a tomar las precauciones adecuadas contra tales errores ocultos.

“Al observador,” dice Gauss,‍²³ “le pertenece la tarea de eliminar cuidadosamente las causas de los errores constantes”, y esto es muy cierto cuando el error es absolutamente constante.

Cuando hemos realizado una serie de determinaciones con un cierto aparato o método de medición, existe una gran ventaja en alterar la disposición, o incluso en idear algún método completamente diferente para obtener estimaciones de la misma cantidad. La razón consiste obviamente en la improbabilidad de que el mismo error afecte a dos o más métodos experimentales diferentes.

Si se descubre que existe una discrepancia, seremos al menos conscientes de la existencia del error, y podremos tomar medidas para averiguar en qué dirección se encuentra. Si podemos probar un número considerable de métodos, se hace muy grande la probabilidad de que los errores constantes en un método sean compensados, o casi, por errores de un efecto opuesto en los demás.

Supongamos que existen tres métodos diferentes afectados cada uno por un error de igual magnitud. La probabilidad de que este error recaiga en todos en la misma dirección es de tan solo 1/4; y con cuatro métodos, de manera similar, 1/8.

Si cada método se encuentra afectado, como siempre ocurre, por varias fuentes independientes de error, la probabilidad se vuelve mucho mayor de que en el resultado medio de todos los métodos algunos de los errores compensen parcialmente a los demás. En este caso, como en todos los demás, cuando la vigilancia humana se ha agotado, debemos confiar en la teoría de la probabilidad.

En la determinación de un punto cero, de la magnitud de los patrones fundamentales de tiempo y espacio, en la ecuación personal de un observador astronómico, tenemos ejemplos de errores fijos; pero, por regla general, un cambio de procedimiento tiende a invertir el carácter del error, y se pueden dar muchos ejemplos del valor de esta precaución.

Si medimos una y otra vez la misma magnitud angular con el mismo círculo graduado, mantenido exactamente en la misma posición, es evidente que la misma marca en el círculo será el criterio en cada caso, y cualquier error en la posición de esa marca afectará por igual a todos nuestros resultados.

Pero si en cada medición utilizamos una parte diferente del círculo, entrará en juego una nueva marca, y como el error de cada marca no puede estar en la misma dirección, el resultado medio estará casi libre de errores de división. Será aún mejor utilizar más de un círculo graduado.

Aun cuando no tengamos percepción de los puntos en los que es probable que se introduzca el error, podemos variar con provecho la construcción de nuestro aparato con la esperanza de detectar accidentalmente alguna causa latente de error.

El propósito de Baily al repetir los experimentos de Michell y Cavendish sobre la densidad de la tierra no era meramente seguir el mismo rumbo y verificar los números anteriores, sino comprobar si las variaciones en el tamaño y la sustancia de las bolas de atracción, el modo de suspensión, la temperatura del aire circundante, etc., arrojarían resultados diferentes. Realizó nada menos que 62 series distintas, que comprendían 2153 experimentos, y clasificó y analizó cuidadosamente los resultados para revelar las diferencias máximas.

Asimismo, al experimentar sobre la resistencia del aire al movimiento de un péndulo, Baily empleó nada menos que 80 péndulos de diversas formas y materiales, con el fin de determinar con exactitud de qué condiciones depende la resistencia. Regnault, en sus minuciosas investigaciones sobre la dilatación de los gases, introdujo cambios arbitrarios en la magnitud de partes de su aparato. Él considera que si, a pesar de dicha modificación, los resultados no varían, los errores son probablemente de escasa importancia;‍²⁴ pero en realidad siempre es posible, y por lo general probable, que pasemos por alto fuentes de error que una generación futura detectará.

Así, los experimentos con el péndulo de Baily y Sabine se encaminaron a determinar la naturaleza y la magnitud de una corrección por la resistencia del aire que se había malinterpretado por completo en los experimentos realizados con el péndulo de segundos, en el que se fundaba la definición de la yarda patrón, en la Ley del 5.º de Jorge IV, cap. 74. Ya se ha mencionado que se descubrió un error considerable en la determinación del metro patrón como la diezmillonésima parte de la distancia desde el polo hasta el ecuador (p. 314).

Volveremos en el capítulo XXV a considerar más detenidamente los métodos mediante los cuales podemos, en la medida de lo posible, asegurarnos contra las fuentes de error permanentes e inadvertidas.

Entre tanto, habiendo concluido el examen de los métodos especiales necesarios para tratar los fenómenos cuantitativos, debemos proseguir con nuestro asunto principal y esforzarnos por trazar el curso mediante el cual el físico, a partir de la observación y el experimento, recopila los materiales del conocimiento y luego procede, mediante hipótesis y cálculo inverso, a inducir de ellos las leyes de la naturaleza.