Se puede decir que la naturaleza evoluciona desde la monotonía de la no existencia mediante la creación de diversidad. Se afirma de manera plausible que solo somos conscientes en la medida en que experimentamos la diferencia. La vida es cambio, y una existencia perfectamente uniforme no sería mejor que la no existencia.

Cierto es que la vida exige una incesante novedad y que la naturaleza, aunque probablemente nunca deje de obedecer las mismas leyes fijas, nos presenta sin embargo una serie aparentemente ilimitada de variadas combinaciones de acontecimientos. Es labor de la ciencia observar y registrar las clases y los números comparativos de tales combinaciones de fenómenos, que ocurren espontáneamente o son producidos por nuestra intervención.

El examen paciente y experto de los registros puede entonces revelar las leyes impuestas a la materia en su creación, y permitirnos predecir con mayor o menor éxito, o incluso regular, la futura ocurrencia de cualquier combinación en particular.

Las Leyes del Pensamiento son las primeras y más importantes de todas las leyes que rigen las combinaciones de fenómenos, y, aunque son vinculantes para la mente, también pueden considerarse verificadas en el mundo externo.

El Alfabeto Lógico desarrolla la mayor variedad de cosas y eventos que pueden ocurrir, y es evidente que, a medida que se introduce cada nueva cualidad, el número de combinaciones se duplica. Así, cuatro cualidades pueden darse en 16 combinaciones; cinco cualidades en 32; seis cualidades en 64; y así sucesivamente.

En lenguaje general, si $n$ es el número de cualidades, $2^n$ es el número de variedades de cosas que pueden formarse a partir de ellas, si no hay más condiciones que las de la lógica. Huelga decir que este número aumenta, tras los primeros términos, de un modo extraordinario, de modo que se necesitarían 302 cifras para expresar el número de combinaciones en las que 1000 cualidades podrían presentarse concebiblemente.

Si todas las combinaciones permitidas por las Leyes del Pensamiento ocurriesen indiferentemente en la naturaleza, entonces la ciencia empezaría y terminaría con esas leyes. Observar la naturaleza no nos proporcionaría ningún conocimiento adicional, porque a la larga no habría dos cualidades asociadas con más frecuencia que cualesquiera otras dos.

Nunca podríamos predecir los acontecimientos con más certeza de la que ahora predecimos los tiros de dados, y la experiencia carecería de utilidad. Pero el universo, tal como ha sido creado en realidad, presenta un problema muy diferente y mucho más interesante.

La observación más superficial muestra que algunas cosas están constantemente asociadas con otras. Cuanto más maduro es nuestro examen, más nos convencemos de que cada acontecimiento depende de la ocurrencia previa de alguna otra serie de acontecimientos.

Gradualmente se descubre que la acción y la reacción subyacen a toda la escena, y un acontecimiento independiente o casual no existe sino en apariencia. Incluso los dados al caer están seguramente determinados en su curso por condiciones previas y leyes fijas.

Así se descubre que las combinaciones de acontecimientos que realmente pueden ocurrir son comparativamente restringidas, y es tarea de la ciencia detectar estas condiciones restrictivas.

En el alfabeto inglés, por ejemplo, tenemos veintiséis letras. Si las combinaciones de dichas letras fueran perfectamente libres, de modo que cualquier letra pudiera sonar indiferentemente con cualquier otra, el número de palabras que podrían formarse sin repetición alguna sería 2²⁶ - 1, o 67.108.863, igual en número a las combinaciones de la vigesimoséptima columna del Alfabeto Lógico, excluyendo una para el caso en el que todas las letras estuvieran ausentes.

Pero la formación de nuestros órganos vocales nos impide usar la inmensa mayoría de estas combinaciones de letras. Al menos una vocal debe estar presente en cada palabra; por lo general, no se pueden juntar más de dos consonantes; y para producir palabras susceptibles de una pronunciación fluida, se debe observar una serie de otras reglas.

Determinar exactamente cuántas palabras podrían existir en el idioma inglés bajo estas circunstancias sería un problema sumamente complejo, cuya solución jamás se ha intentado.

El número de palabras inglesas existentes tal vez pueda decirse que no excede de cien mil, y solo investigando las combinaciones presentadas en el diccionario podemos aprender las Leyes de la Eufonía o calcular el número posible de palabras.

En este ejemplo tenemos un epítome de la labor y el método de la ciencia. Las combinaciones de los fenómenos naturales están limitadas por un gran número de condiciones que de ningún modo llegan a nuestro conocimiento excepto en la medida en que se revelan en el examen de la naturaleza.

A menudo resulta sumamente difícil determinar el número de permutaciones o combinaciones que pueden existir bajo diversas restricciones. Muchos sabios se quebraron la cabeza en siglos pasados con los llamados versos proteicos, o versos que admiten muchas variaciones de acuerdo con las leyes de la métrica. El más célebre de estos versos fue el inventado por Bernardo Bauhusio, que dice así:‍¹—

Un autor, Ericius Puteanus, llenó cuarenta y ocho páginas de una obra calculando sus posibles transposiciones, reduciéndolas tan solo a 1022. Otros calculistas dieron 2196, 3276, 2580 como sus resultados. Wallis asignó 3096, pero sin mucha confianza en la exactitud de su resultado.‍² Se requirió la habilidad de Jakob Bernoulli para decidir que el número de transposiciones era 3312, bajo la condición de que el sentido y el metro del verso se conservaran perfectamente.

Al abordar el estudio del gran problema inductivo, es sumamente necesario que adquiramos nociones correctas sobre el número comparativo de combinaciones que pueden existir bajo diferentes circunstancias.

La doctrina de las combinaciones es aquella parte de la ciencia matemática que aplica el cálculo numérico para determinar el número de combinaciones bajo diversas condiciones. Es una parte de la ciencia que realmente constituye la base no solo de otras ciencias, sino también de otras ramas de las matemáticas. Las formas de las expresiones algebraicas están determinadas por los principios de la combinación, y Hindenburg reconoció este hecho en su Análisis Combinatorio.

Los más grandes matemáticos han consagrado, durante los últimos tres siglos, sus mejores facultades al tratamiento de este tema; fue el estudio favorito de Pascal; atrajo tempranamente la atención de Leibniz, quien escribió su curioso ensayo, De Arte Combinatoria, a los veinte años de edad; Jakob Bernoulli, uno de los matemáticos más profundos, dedicó una parte considerable de su vida a la investigación del tema, en relación con el de la Probabilidad; y en su célebre obra, De Arte Conjectandi, ha descrito con tanta finura la importancia de la doctrina de las combinaciones, que no necesito ofrecer ninguna disculpa por citar sus observaciones íntegramente.

“It is easy to perceive that the prodigious variety which appears both in the works of nature and in the actions of men, and which constitutes the greatest part of the beauty of the universe, is owing to the multitude of different ways in which its several parts are mixed with, or placed near, each other.

But, because the number of causes that concur in producing a given event, or effect, is oftentimes so immensely great, and the causes themselves are so different one from another, that it is extremely difficult to reckon up all the different ways in which they may be arranged or combined together, it often happens that men, even of the best understandings and greatest circumspection, are guilty of that fault in reasoning which the writers on logic call the insufficient or imperfect enumeration of parts or cases:

insomuch that I will venture to assert, that this is the chief, and almost the only, source of the vast number of erroneous opinions, and those too very often in matters of great importance, which we are apt to form on all the subjects we reflect upon, whether they relate to the knowledge of nature, or the merits and motives of human actions.

“Debe reconocerse, por tanto, que aquel arte que proporciona un remedio a esta debilidad, o defecto, de nuestro entendimiento, y nos enseña a enumerar de tal modo todas las maneras posibles en que un número dado de cosas puede mezclarse y combinarse, de modo que podamos estar seguros de que no hemos omitido ninguna disposición de ellas que pueda conducir al objeto de nuestra investigación, merece ser considerado como sumamente útil y digno de nuestra más alta estima y atención. Y este es el cometido del arte o doctrina de las combinaciones. Ni debe considerarse este arte o doctrina meramente como una rama de las ciencias matemáticas. Pues guarda relación con casi todas las especies de conocimiento útil en que la mente del hombre puede emplearse. Procede en verdad sobre principios matemáticos, al calcular el número de las combinaciones de las cosas propuestas: mas por las conclusiones que mediante él se obtienen, la sagacidad del filósofo natural, la exactitud del historiador, la destreza y el juicio del médico, y la prudencia y previsión del político pueden verse asistidas; porque el cometido de todas estas importantes profesiones no es sino formar conjeturas razonables acerca de los diversos objetos que atraen su atención, y todas las conjeturas prudentes son el resultado de un examen justo y cuidadoso de los diversos efectos diferentes que pueden surgir posiblemente de las causas capaces de producirlos.”‍³

Distinción de Combinaciones y Permutaciones.

Debemos considerar primeramente la profunda diferencia que existe entre Combinaciones y Permutaciones, una diferencia que entraña importantes principios lógicos y que influye en la forma de las expresiones matemáticas.

En la permutación reconocemos variedades de orden, tratando a AB como un grupo diferente de BA.

En la combinación tomamos nota únicamente de la presencia o ausencia de cierta cosa, y no prestamos atención alguna a su lugar en el orden del tiempo o del espacio.

Así, las cuatro letras a, e, m, n pueden formar una sola combinación, pero aparecen en el lenguaje en varias permutaciones, como name, amen, mean, mane.

Hasta ahora nos hemos ocupado de cuestiones puramente lógicas, que implican únicamente la combinación de cualidades. He señalado plenamente en más de un lugar que, aunque nuestros símbolos no podían dejar de escribirse en orden de lugar y leerse en orden de tiempo, las relaciones expresadas no tenían en cuenta ni el lugar ni el tiempo (págs. 33, 114).

La ley de conmutatividad, de hecho, expresa la condición de que en lógica tratamos con combinaciones, y la misma ley es aplicable a todos los procesos del álgebra. En algunos casos, el orden puede ser indiferente; no importa, por ejemplo, si la pólvora es una mezcla de azufre, carbono y nitrato, o de carbono, nitrato y azufre, o de nitrato, azufre y carbono, siempre que las sustancias estén presentes en las proporciones adecuadas y bien mezcladas.

Pero esta indiferencia del orden no suele extenderse a los acontecimientos de la ciencia física ni a las operaciones del arte. La transformación de la energía mecánica en calor no es exactamente lo mismo que la transformación del calor en energía mecánica; el trueno no precede y sigue al trueno indistintamente; resulta de cierta importancia que carguemos, pongamos el cápsula, apuntemos y disparemos un rifle en este orden preciso.

El tiempo es la condición de todos nuestros pensamientos, el espacio de todas nuestras acciones, y por lo tanto, tanto en el arte como en la ciencia nos ocupamos en gran medida de permutaciones. El idioma, por ejemplo, trata distintas permutaciones de letras como si tuvieran diferentes significados.

Las permutaciones de las cosas son mucho más numerosas que las combinaciones de esas mismas cosas, por la razón obvia de que cada cosa distinta se considera de manera diferente según su lugar.

Así, las letras A, B, C formarán diferentes permutaciones según A ocupe el primer, segundo o tercer lugar; una vez decidido el lugar de A, hay dos lugares entre los cuales podemos elegir para B; y luego queda un solo lugar para C. En consecuencia, las permutaciones de estas letras serán en total 3 × 2 × 1, es decir, 6.

Con cuatro cosas o letras, A, B, C, D, tendremos cuatro opciones de lugar para la primera letra, tres para la segunda, dos para la tercera y una para la cuarta, de modo que habrá en total 4 × 3 × 2 × 1, es decir, 24 permutaciones.

La misma regla sencilla se aplica en todos los casos; comenzando con el número total de cosas, multiplicamos en cada paso por un número disminuido en una unidad. En términos generales, si n es el número de cosas en una combinación, el número de permutaciones es

Si tuviéramos que reordenar los nombres de los días de la semana, las posibles ordenaciones entre las cuales tendríamos que elegir el nuevo orden no serían menos de 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, es decir, 5040, o, excluyendo el orden actual, 5039.

El lector verá que los números a los que llegamos en cuestiones de permutación aumentan de un modo aún más extraordinario que en la combinación. Cada nuevo objeto o término duplica el número de combinaciones, pero aumenta las permutaciones por un factor que crece continuamente. En lugar de 2 × 2 × 2 × 2 × .... tenemos 2 × 3 × 4 × 5 × .... y los productos de esta última expresión superan inmensamente a los de la primera. Estos productos de factores crecientes se emplean frecuentemente, como veremos, en cuestiones tanto de permutación como de combinación. Se les llama técnicamente factoriales, es decir, el producto de todos los números enteros, desde la unidad hasta cualquier número n, es el factorial de n, y a menudo se indica simbólicamente por n!. A continuación presento los factoriales hasta el de doce:‍—

Los factoriales hasta el 36! se dan en la «Cyclopædia» de Rees, art. Cipher, y los logaritmos de los factoriales hasta el 265! se pueden encontrar al final de la tabla de logaritmos publicada bajo la dirección de la Sociedad para la Difusión del Conocimiento Útil (p. 215). Expresar el factorial 265! requeriría 529 cifras.

Muchos escritores han comentado de vez en cuando la magnitud extraordinaria de los números con los que tratamos en esta materia.

• Tacquet calculó‍⁴ que las veinticuatro [sic] letras del alfabeto pueden ordenarse en más de 620 mil billones de formas; y
• Schott estimó‍⁵ que si mil millones de hombres fueran empleados durante el mismo número de años en escribir estas combinaciones, y cada hombre llenara cada día cuarenta páginas con cuarenta combinaciones en cada una, no habrían cumplido con la tarea, ya que habrían escrito solo 584 mil billones en lugar de 620 mil billones.

En algunas preguntas, el número de permutaciones puede verse restringido y reducido por diversas condiciones. Algunos elementos de un grupo pueden ser indistinguibles de otros, de modo que el cambio de orden no producirá ninguna diferencia. Así, si tuviéramos que permutar las letras del nombre Ann, según nuestra regla anterior, obtendríamos 3 × 2 × 1, es decir, 6 órdenes; pero la mitad de estas disposiciones serían idénticas a la otra mitad, porque el intercambio de las dos n no tiene efecto. Los órdenes realmente diferentes serán, por tanto, 3 . 2 . 1/1 . 2 o 3, a saber, Ann, Nan, Nna.

En la palabra utility hay dos i y dos t, respecto de ambos pares los números de permutaciones deben reducirse a la mitad. Así obtenemos 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1/1 . 2 . 1 . 2 o 1260, como el número de permutaciones.

La regla simple es evidentemente —cuando algunas cosas o letras son indistinguibles, proceda en primer lugar a calcular todas las permutaciones posibles como si todas fueran diferentes, y luego divida por los números de permutaciones posibles de aquellas series de cosas que no son indistinguibles, y cuyas permutaciones por lo tanto han sido contadas en exceso.

Así, puesto que la palabra Utilitarianism contiene catorce letras, de las cuales cuatro son i, dos son a y dos son t, el número de disposiciones distintas se obtendrá dividiendo el factorial de 14 entre los factoriales de 4, 2 y 2, siendo el resultado 908.107.200.

De las letras de la palabra Mississippi podemos obtener de igual manera

11!/4! × 4! × 2!

o 34.650 permutaciones, lo que no es la milésima parte de lo que obtendríamos si todas las letras fueran diferentes.

# Cálculo del número de combinaciones.

Aunque en muchas cuestiones, tanto de arte como de ciencia, necesitamos calcular el número de permutaciones debido a su propio interés, ocurre con mucha más frecuencia en los temas científicos que este interés sea solo indirecto.

Como ya he señalado, en las ciencias lógicas y matemáticas tratamos casi siempre con combinaciones, y la variedad de orden solo interviene a través de las imperfecciones inherentes a nuestros símbolos y modos de cálculo.

Los signos deben usarse en un cierto orden, y debemos retirar nuestra atención de este orden antes de que los signos representen correctamente las relaciones de las cosas que no existen ni antes ni después unas de otras.

Ahora bien, a menudo sucede que no podemos elegir todas las combinaciones de las cosas sin elegirlas primero sujetas a la variedad accidental de orden, y debemos entonces dividir por el número de variaciones posibles de orden para llegar al número verdadero de combinaciones puras.

Supongamos que deseamos determinar el número de maneras en que podemos seleccionar un grupo de tres letras del alfabeto, sin permitir que la misma letra se repita.

En la primera elección podemos tomar cualquiera de las 26 letras; en el siguiente paso quedan 25 letras, cualquiera de las cuales puede unirse a la que ya ha sido tomada; en el tercer paso habrá 24 opciones, de modo que aparentemente el número total de formas de elegir es 26 × 25 × 24.

Pero el hecho de que una elección haya sucedido a otra ha hecho que obtengamos las mismas combinaciones de letras en diferentes órdenes; obtendríamos, por ejemplo, a, p, r en un momento dado, y p, r, a en otro, y cada tres letras distintas aparecerá seis veces, porque tres cosas pueden disponerse en seis permutaciones.

Para obtener el número de combinaciones, entonces, debemos dividir el número total de formas de elegir entre seis, el número de permutaciones de tres cosas, obteniendo 26 × 25 × 24/1 × 2 × 3 o 2.600.

Es evidente que necesitamos la doctrina de las combinaciones para poder contrarrestar en muchas cuestiones el efecto exagerador de la selección sucesiva.

Si de un senado de 30 personas tenemos que elegir un comité de 5, podemos elegir a cualquiera de las 30 primeras, a cualquiera de las 29 siguientes, y así sucesivamente; de hecho, habrá 30 × 29 × 28 × 27 × 26 selecciones; pero como el carácter real de los miembros del comité no se verá afectado por el orden accidental de su elección, dividimos por 1 × 2 × 3 × 4 × 5, y el número posible de comités diferentes será de 142.506.

Del mismo modo, si queremos calcular el número de maneras en que los ocho planetas principales pueden entrar en conjunción, es evidente que pueden reunirse de dos en dos, o de tres en tres, o de cuatro o más a la vez, y como no se dice nada sobre el orden relativo o el lugar en la conjunción, necesitamos el número de combinaciones.

Ahora bien, una selección de 2 de entre 8 es posible de 8 . 7/1 . 2 o 28 maneras; de 3 de entre 8, de 8 . 7 . 6/1 . 2 . 3 o 56 maneras; de 4 de entre 8, de 8 . 7 . 6 . 5/1 . 2 . 3 . 4 o 70 maneras; y puede demostrarse de manera similar que para 5, 6, 7 y 8 planetas reunidos al mismo tiempo, los números de maneras son 56, 28, 8 y 1.

Así hemos resuelto toda la cuestión de la variedad de conjunciones de ocho planetas; y sumando todos los números, encontramos que 247 es el máximo número posible de modos de reunión.

En el lenguaje algebraico general, podemos decir que se puede elegir un grupo de m cosas de un número total de n cosas, en un número de combinaciones denotado por la fórmula

La extrema importancia y significado de esta fórmula parece haber sido reconocida adecuadamente por primera vez por Pascal, aunque su descubrimiento le es atribuido por él a un amigo, M. de Ganières.‍⁶

La encontraremos reapareciendo perpetuamente en cuestiones tanto de combinaciones como de probabilidad, y a lo largo de las fórmulas del análisis matemático se pueden notar indicios de su influencia.

# El triángulo aritmético.

El Triángulo Aritmético es un nombre dado desde hace mucho tiempo a una serie de números notables relacionados con el tema que estamos tratando. Según Montucla‍⁷, «este triángulo es en la teoría de las combinaciones y los cambios de orden casi lo que la tabla de Pitágoras es en la aritmética ordinaria, es decir, coloca de inmediato ante los ojos los números requeridos en una multitud de casos de esta teoría».

Ya en 1544, Stifels había advertido las notables propiedades de estos números y el modo de su evolución. Briggs, el inventor del sistema común de logaritmos, quedó tan impresionado por su importancia que los llamó el Abacus Panchrestus.

Pascal, sin embargo, fue el primero en escribir un tratado específico sobre estos números y en darles el nombre por el que todavía se les conoce. Pero Pascal no agotó en absoluto el tema, y correspondió a Jacobo Bernoulli demostrar plenamente la importancia de los números figurados, como también se les llama. En su tratado De Arte Conjectandi, señala su aplicación en la teoría de combinaciones y probabilidades, y observa sobre el Triángulo Aritmético: «No solo contiene la clave de la misteriosa doctrina de las combinaciones, sino que es también la base o fundamento de la mayoría de los descubrimientos importantes y abstrusos que se han realizado en las demás ramas de las matemáticas».‍⁸

Los números del triángulo pueden calcularse de un modo muy sencillo mediante adiciones sucesivas. Comenzamos con la unidad en el vértice; en la siguiente línea colocamos una segunda unidad a la derecha de esta; para obtener la tercera línea de cifras desplazamos la línea anterior un lugar hacia la derecha y las sumamos a las mismas cifras que antes del desplazamiento; podemos repetir entonces el mismo proceso ad infinitum. La cuarta línea de cifras, por ejemplo, contiene 1, 3, 3, 1; desplazándolas un lugar y sumando según lo indicado obtenemos:‍—

Llevando a cabo este sencillo proceso a través de diez pasos más, obtenemos las primeras diecisiete líneas del Triángulo Aritmético tal como aparece impreso en la página siguiente.

Teóricamente hablando, el Triángulo debe considerarse de extensión infinita, pero los números aumentan tan rápidamente que pronto se vuelve impracticable continuar la tabla. La tabla de números más larga que he encontrado está en el “Traité des Progressions” de Fortia (p. 80), donde se dan hasta la cuadragésima línea y la novena columna.

EL TRIÁNGULO ARITMÉTICO.

Examinando estos números, descubrimos que están conectados por una serie ilimitada de relaciones, de las cuales se pueden observar algunas de las más simples.

Cada columna vertical de números corresponde exactamente con una serie oblicua que desciende de izquierda a derecha, de modo que el triángulo es perfectamente simétrico en su contenido.

La primera columna contiene únicamente unidades; la segunda columna contiene los números naturales, 1, 2, 3, etc.; la tercera columna contiene una serie notable de números, 1, 3, 6, 10, 15, etc., que desde hace tiempo se denominan números triangulares, porque corresponden al número de bolas que pueden disponerse en forma triangular, a saber:

La cuarta columna contiene los números piramidales, llamados así porque corresponden al número de esferas iguales que pueden apilarse en pirámides triangulares regulares. Sus diferencias son los números triangulares. Los números de la quinta columna tienen a los números piramidales por diferencias, pero como no existe ninguna figura regular de la cual expresen el contenido, han sido llamados arbitrariamente números trianguli-triangulares. Las columnas sucesivas, de manera similar, se ha dicho que contienen los números trianguli-piramidales, piramidopiramidales, y así sucesivamente.‍⁹

Del modo de formación de la tabla se deduce que las diferencias de los números de cada columna se encontrarán en la columna precedente de la izquierda. De ahí que las segundas diferencias, o las diferencias de diferencias, se hallarán en la segunda columna a la izquierda de cualquier columna dada, las terceras diferencias en la tercera columna, y así sucesivamente.

Así pues, podemos decir que la unidad que aparece en la primera columna es la primera diferencia de los números en la segunda columna; la segunda diferencia de los de la tercera columna; la tercera diferencia de los de la cuarta, y así sucesivamente. Puede verse que el triángulo constituye una clasificación completa de todos los números según tengan la unidad como cualquiera de sus diferencias.

Como cada línea se forma sumando la línea anterior a sí misma, es evidente que la suma de los números de cada línea horizontal debe ser el doble de la suma de los números de la línea inmediatamente superior. Por consiguiente sabemos, sin realizar las sumas, que las sumas sucesivas deben ser 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc., lo mismo que el número de combinaciones en el Alfabeto Lógico. En términos generales, la suma de los números en la línea n-ésima será 2^n–1.

Nuevamente, si se suman todos los números hasta cualquier línea inclusive, obtendremos un número menor en una unidad que alguna potencia de 2; así, la primera línea da 1 o 2¹–1; las primeras dos líneas dan 3 o 2²–1; las primeras tres líneas, 7 o 2³–1; las primeras seis líneas dan 63 o 2⁶–1; o, hablando en términos generales, la suma de las primeras n líneas es 2ⁿ–1.

De ello se deduce que la suma de los números de cualquier línea es igual a la suma de los de todas las líneas precedentes aumentada en una unidad. Pues la suma de la línea n-ésima es, como ya se ha demostrado, 2^n–1, y la suma de las primeras n - 1 líneas es 2^n–1–1, o menor en una unidad.

Esta exposición de las propiedades de los números figurados no pretende ser exhaustiva; se podría rastrear un número considerable, probablemente ilimitado, de relaciones menos simples y obvias. Pascal, tras exponer muchas de las propiedades, exclama‍¹⁰:

“Mais j’en laisse bien plus que je n’en donne; c’est une chose étrange combien il est fertile en propriétés! Chacun peut s’y exercer.”

El triángulo aritmético puede considerarse una clasificación natural de los números, que muestra, de la manera más completa, su evolución y sus relaciones desde un determinado punto de vista. Es obvio que en una extensión ilimitada del triángulo, cada número, con la única excepción del número dos, ocupa al menos dos lugares.

Aunque las propiedades explicadas anteriormente son sumamente curiosas, el mayor valor del triángulo surge del hecho de que contiene una exposición completa de los valores de la fórmula (pág. 182), para los números de combinaciones de m elementos tomados de n en n, para todos los valores posibles de m y n.

De siete elementos, uno puede elegirse de siete maneras, y el siete aparece en la octava línea de la segunda columna. Las combinaciones de dos elementos tomados de siete son 7 × 6/1 × 2 o 21, que es el tercer número de la octava línea. Las combinaciones de tres elementos tomados de siete son 7 × 6 × 5/1 × 2 × 3 o 35, que aparece en cuarto lugar en la octava línea.

De manera similar, en las columnas quinta, sexta, séptima y octava de la octava línea encuentro indicado de cuántas maneras puedo seleccionar combinaciones de 4, 5, 6 y 7 elementos de un total de 7. Al pasar a la novena línea, encuentro sucesivamente el número de maneras en que puedo seleccionar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 elementos de un total de 8.

En términos generales, si deseo saber de cuántas maneras se pueden seleccionar m elementos en combinaciones a partir de n elementos, debo buscar en la línea n + 1^ta y tomar como respuesta el número m + 1^to.

¿De cuántas maneras, por ejemplo, se puede elegir un subcomité de cinco personas a partir de un comité de nueve?

La respuesta es 126, y es el sexto número de la décima línea; se verá que es igual a 9 . 8 . 7 . 6 . 5/1 . 2 . 3 . 4 . 5, que es lo que proporciona nuestra fórmula (pág. 182).

La utilidad completa de los números figurados será más evidente cuando lleguemos al tema de las probabilidades, pero puedo dar un ejemplo o dos en este lugar. ¿De cuántas maneras podemos disponer cuatro monedas de un centavo en cuanto a cara y cruz? La cuestión equivale a preguntar de cuántas maneras podemos seleccionar 0, 1, 2, 3 o 4 caras, de entre 4 caras, y la quinta línea del triángulo nos da la respuesta completa, de este modo—

El número total de casos diferentes es 16, o 2⁴, y cuando lleguemos al capítulo siguiente, se verá que estos números nos dan las respectivas probabilidades de todas las tiradas con cuatro peniques.

Di en la pág. 181 un cálculo del número de maneras en que ocho planetas pueden encontrarse en conjunción; el lector encontrará todos los números detallados en la novena línea del triángulo aritmético. La suma de toda la línea es 2⁸ o 256; pero debemos restar una unidad para el caso en que ningún planeta aparece, y 8 para los 8 casos en los que solo aparece un planeta; de modo que el número total de conjunciones es 2⁸ – 1 – 8 o 247.

Si un órgano tiene once registros, encontramos en la duodécima línea los números de las maneras en que podemos extraerlos, 1, 2, 3 o más a la vez. Así, hay 462 maneras de extraer cinco registros a la vez, y otras tantas de extraer seis registros. El número total de maneras de variar el sonido es 2048, incluido el único caso en el que no se extrae ningún registro en absoluto.

Uno de los usos científicos más importantes del triángulo aritmético consiste en la información que proporciona acerca de la frecuencia comparativa de las divergencias con respecto a un promedio. Supongamos, a efectos de argumentación, que todas las personas tuvieran naturalmente una estatura igual a cinco pies, pero que disfrutaran durante la juventud de siete oportunidades independientes de crecer una pulgada adicional. De estas siete oportunidades, una, dos, tres o más pueden darse favorablemente en cualquier individuo; pero, como da igual cuáles sean las oportunidades con tal de que se gane la pulgada, la cuestión gira en realidad en torno al número de combinaciones de 0, 1, 2, 3, etc., elementos tomados de un total de siete. Por consiguiente, la octava línea del triángulo nos da una respuesta completa a la pregunta, del modo siguiente:‍—

De cada 128 personas—

Tomando una línea apropiada del triángulo, se puede obtener una respuesta bajo cualquier suposición más natural. Esta teoría de la frecuencia comparativa de divergencia respecto a un promedio fue notada por primera vez de manera adecuada por Quetelet, y ha sido empleada recientemente de un modo muy interesante y audaz por el señor Francis Galton,‍¹¹ en su notable obra sobre el «Genio hereditario». En adelante veremos que la teoría del error, a la que se recurre en última instancia en los casos de investigación cuantitativa, se funda en los números comparativos de combinaciones tal como se muestran en el triángulo.

# Conexión entre el Triángulo Aritmético y el Alfabeto Lógico.

Existe una conexión estrecha entre el triángulo aritmético descrito en la última sección y la serie de combinaciones de letras denominada Alfabeto Lógico. El uno es a la ciencia matemática lo que el otro es a la ciencia lógica.

De hecho, los números figurados, o los expuestos en el triángulo, se obtienen sumando las combinaciones lógicas.

En consecuencia, del mismo modo que el total de los números en cada línea del triángulo es dos veces mayor que el de la línea precedente (p. 186), cada columna del Alfabeto (p. 94) contiene el doble de combinaciones que la anterior. Una correspondencia similar existe también entre las sumas de todas las líneas de cifras hasta cualquier línea determinada, y las de las combinaciones hasta cualquier columna determinada.

Al examinar cualquier columna del Alfabeto Lógico, descubrimos que las combinaciones se agrupan de manera natural según los números figurados. Tomemos las combinaciones de las letras A, B, C, D; estas consisten en todas las formas en que puedo elegir cuatro, tres, dos, uno o ninguno de los cuatro términos, rellenando los espacios vacíos con términos negativos.

Hay una combinación, ABCD, en la que están presentes todas las letras positivas; hay cuatro combinaciones en cada una de las cuales tres letras positivas están presentes; seis en las que dos están presentes; cuatro en las que solo una está presente; y, finalmente, hay un solo caso, abcd, en el que faltan todas las letras positivas.

Estos números, 1, 4, 6, 4, 1, son los de la quinta línea del triángulo aritmético, y se observará que existe una correspondencia semejante en cada columna del Alfabeto Lógico.

La abstracción numérica, se ha afirmado, consiste en pasar por alto la clase de diferencia y retener únicamente la conciencia de su existencia (p. 158). Si en la lógica, por tanto, tenemos que habérnoslas con cada combinación como una clase separada de cosa, en la aritmética distinguimos únicamente las clases que dependen de que estén presentes más o menos términos positivos, y los números de estas clases producen inmediatamente los números del triángulo aritmético.

Puede señalarse aquí que hay dos modos en los que podemos calcular el número total de combinaciones de ciertas cosas.

O bien podemos tomar el número total de una vez tal como se muestra en el Alfabeto Lógico, en cuyo caso el número será alguna potencia de dos, o bien podemos calcular sucesivamente, con ayuda de las permutaciones, el número de combinaciones de ninguna, una, dos, tres cosas, y así sucesivamente.

De aquí llegamos a una identidad necesaria entre dos series de números. En el caso de cuatro cosas tendremos

En una forma general de expresión, tendremos que los términos continúan hasta que dejan de tener cualquier valor. Así llegamos a una demostración de casos simples del Teorema del Binomio, de los cuales cada columna del Alfabeto Lógico es una ejemplificación. Se puede demostrar que todas las demás expansiones matemáticas surgen asimismo de procesos simples de combinación, pero la consideración más completa de este tema debe aplazarse para otra obra.

Posible variedad de la naturaleza y el arte.

No podemos comprender adecuadamente las dificultades que nos acosan en ciertas ramas de la ciencia, a menos que tengamos una idea clara de la vasta cantidad de combinaciones o permutaciones que pueden ser posibles bajo ciertas condiciones.

Solo así podemos aprender cuán desesperado sería intentar tratar la naturaleza en detalle y agotar el número total de acontecimientos que podrían surgir. Es instructivo considerar, en primer lugar, cuán inmensamente grandes son los números de combinaciones con las que tratamos en muchas artes y pasatiempos.

Al repartir una baraja de cartas, el número de manos de trece cartas cada una que pueden formarse es evidentemente 52 × 51 × 50 × ... × 40 dividido por 1 × 2 × 3 ... × 13, o bien 635.013.559.600.

Pero en el whist se juegan cuatro manos simultáneamente, y el número de repartos distintos llega a ser tan inmenso que se requerirían veintiocho cifras para expresarlo.

Si toda la población del mundo, supongamos que mil millones de personas, se dedicara a repartir cartas día y noche durante cien millones de años, no habrían agotado en ese tiempo ni la cienmilésima parte de los posibles repartos.

Incluso con las mismas manos de cartas, el juego puede variar casi infinitamente, de modo que la variedad completa de partidas de whist que pueden existir es casi incalculablemente grande. Es sumamente improbable que una sola partida de whist haya sido exactamente igual a otra, a menos que se haya hecho de manera intencionada.

El fin de la novedad en el arte bien podría temerse, si no descubriéramos que la naturaleza, al menos, no ha fijado ningún límite alcanzable, y que la deficiencia radicará en nuestras facultades inventivas. Sería un tiempo ciertamente desolador aquel en que se agotaran todas las variedades posibles de melodía, pero se demuestra fácilmente que si un repique de veinticuatro campanas hubiera estado sonando continuamente desde el llamado principio del mundo hasta el día de hoy, no se habría hecho ningún progreso hacia la consumación de los cambios posibles. Es más, aun si cada minuto aislado se hubiera prolongado hasta 10.000 años, la tarea seguiría sin haberse cumplido.‍¹²

En lo que respecta a las melodías ordinarias, las ocho notas de una sola octava ofrecen más de 40.000 permutaciones, y dos octavas, más de un billón de millones. Si tomáramos en cuenta los semitonos, se haría evidente que es imposible agotar la variedad de la música. Cuando el difunto señor J. S. Mill, en un estado de ánimo abatido, temía el inminente agotamiento de las melodías musicales, ciertamente no había dedicado suficiente estudio al tema de las permutaciones.

Consideraciones similares son aplicables al número posible de sustancias naturales, aunque no siempre podamos ofrecer resultados numéricos precisos. Hatchett‍¹³ recomendó que se llevara a cabo un examen sistemático de todas las aleaciones de metales, procediendo desde las binarias hasta otras ternarias o cuaternarias más complicadas. Difícilmente sería consciente de la magnitud de la investigación que proponía.

Si operamos únicamente con treinta de los metales conocidos, el número de aleaciones binarias sería de 435, el de las ternarias de 4060, y el de las cuaternarias de 27.405, sin prestar atención a las proporciones variables de los metales, y considerando tan solo la clase de metal. Si variáramos todas las aleaciones ternarias en cantidades no inferiores al uno por ciento, el número de estas aleaciones ascendería a 11.445.060.

Una investigación exhaustiva del tema queda, por tanto, fuera de toda posibilidad, y a menos que se puedan descubrir algunas leyes que conecten las propiedades de la aleación y sus componentes, no se advierte cómo nuestro conocimiento de ellas podrá llegar a ser algo más que fragmentario.

La posible variedad de compuestos químicos definidos, a su vez, es enormemente grande. Los químicos ya han examinado muchos miles de sustancias inorgánicas, y un número aún mayor de compuestos orgánicos;‍¹⁴ sin embargo, no han causado mella apreciable en el número de los que pueden existir.

Tomando el número de elementos en sesenta y uno, la cantidad de compuestos que contienen diferentes combinaciones de cuatro elementos cada uno sería de más de medio millón (521.855). Como los mismos elementos a menudo se combinan en muy diversas proporciones, y algunos de ellos, especialmente el carbono, tienen la facultad de formar un número casi interminable de compuestos, difícilmente sería posible fijar un límite a la cantidad de compuestos químicos que pueden formarse.

Existen, por tanto, ramas de las ciencia física de las cuales es improbable que los hombres de ciencia, con toda su laboriosidad, lleguen jamás a obtener un conocimiento que se aproxime de manera apreciable a la totalidad.

# Órdenes superiores de variedad.

La consideración de los hechos ya dados en este capítulo no producirá una noción adecuada de la variedad posible de la existencia, a menos que consideremos los números comparativos de combinaciones de diferentes órdenes.

Por una combinación de orden superior, entiendo una combinación de grupos, que son a su vez grupos.

• El inmenso número de compuestos de carbono, hidrógeno y oxígeno, descritos en la química orgánica, son combinaciones de un segundo orden, pues los átomos son grupos de grupos.
• La onda sonora producida por un instrumento musical puede considerarse como una combinación de movimientos; el cuerpo de sonido procedente de una gran orquesta es, por tanto, un agregado complejo de sonidos, cada uno en sí mismo una combinación compleja de movimientos.

Se puede decir que toda la literatura se desarrolla a partir de la diferencia entre el papel blanco y la tinta negra.

De la ilimitada cantidad de signos que podrían elegirse, seleccionamos veintiséis letras convencionales. Las combinaciones pronunciables de letras son probablemente varios billones en número.

Ahora bien, como una oración es una selección de palabras, las oraciones posibles deben ser inconmensurablemente más numerosas que las palabras de las que puede estar compuesta. Un libro es una combinación de oraciones, y una biblioteca es una combinación de libros.

Una biblioteca, por lo tanto, puede considerarse como una combinación de quinto orden, y las facultades de la expresión numérica se verían severamente exigidas al intentar expresar el número de bibliotecas distintas que podrían construirse.

El cálculo, por supuesto, no sería posible, porque la unión de letras en palabras, de palabras en oraciones, y de oraciones en libros, está regida por condiciones tan complejas que desafían el análisis.

Solo deseo señalar que la infinita variedad de la literatura, existente o posible, se desarrolla por completo a partir de una sola diferencia fundamental.

Galileo remarked that all truth is contained in the compass of the alphabet. He ought to have said that it is all contained in the difference of ink and paper.

Una consecuencia de la combinación sucesiva es que las marcas más simples bastarán para expresar cualquier información.

Francis Bacon propuso para la escritura secreta un cifrado bilátero, que reduce todas las letras del alfabeto a permutaciones de las dos letras a y b. Así, la A era aaaaa, la B aaaab, la X babab, y así sucesivamente.‍¹⁵

De manera similar, como vio claramente Bacon, cualquier diferencia puede servir de base para un código de señales; podemos expresar, como él dice, omnia per omnia. El alfabeto Morse utiliza únicamente una sucesión de marcas largas y cortas, y otros sistemas de lenguaje telegráfico emplean trazos a derecha e izquierda.

Una sola lámpara oscurecida a diversos intervalos, largos o cortos, puede servir para deletrear cualquier palabra, y con dos lámparas, distinguidas por el color, la posición o cualquier otra circunstancia, podríamos representar de inmediato el alfabeto bilátero de Bacon. Babbage sugirió ingeniosamente que todos los faros del mundo deberían deletrear perpetuamente su propio nombre o número mediante destellos u ocultaciones de diversa duración y sucesión. Un sistema como el de Babbage está siendo aplicado actualmente a los faros del Reino Unido por Sir W. Thomson y el Dr. John Hopkinson.

Calculemos el número de combinaciones de diferentes órdenes que pueden surgir de la presencia o ausencia de una sola marca, digamos A. En estas figuras

A A A A

A A A A A A A A tenemos cuatro variedades distintas. Formemos con ellas un grupo de orden superior, y consideremos de cuántas maneras podemos variar dicho grupo omitiendo una o más de sus partes componentes.

Ahora bien, como hay cuatro partes, y cualquiera de ellas puede estar presente o ausente, las variedades posibles serán 2 × 2 × 2 × 2, es decir, 16 en número. Formemos con estas un nuevo todo, y procedamos de nuevo a crear variedad omitiendo cualquiera de las dieciséis o más de ellas. El número de cambios posibles será ahora 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2, es decir, 2¹⁶, y podemos repetir el proceso una y otra vez.

Estamos imaginando la creación de objetos, cuyos números están representados por los órdenes sucesivos de las potencias de dos.

En el primer paso tenemos 2; en el siguiente 2², o 4; en el tercero (2²)², o 16, números de una cantidad muy moderada. Que el lector calcule el término siguiente, ((2²)²)², y se sorprenderá al ver que este asciende de golpe a 65.536. Pero en el siguiente paso tiene que calcular el valor de 65.536 dos multiplicados entre sí, y es tan grande que no podríamos en modo alguno calcularlo; la mera expresión del resultado requiere 19.729 cifras. Pero demos un paso más y traspasaremos los límites de toda razón. El sexto orden de las potencias de dos se vuelve tan grande que ni siquiera podríamos expresar el número de cifras necesarias para escribirlo, sin utilizar para ello unas 19.729 cifras. Los órdenes sucesivos de las potencias de dos tienen entonces los siguientes valores hasta donde logramos describirlos:—

Puede darnos alguna idea del infinito recordar que en este sexto paso, habiendo superado con creces todos los límites de la concepción intuitiva, no nos acercamos en absoluto a un límite.

Es más, si diéramos cien pasos así, estaríamos tan lejos como siempre del infinito real.

Vale la pena observar que nuestros poderes de expresión superan rápidamente la multitud posible de objetos finitos que puedan existir en cualquier espacio asignable. Arquímedes demostró hace mucho tiempo, en uno de los escritos más notables de la antigüedad, el Liber de Arcnæ Numero, que los granos de arena del mundo podían contarse, o más bien, que si se contaban, el resultado podía expresarse fácilmente en notación aritmética.

Extendamos su problema y averigüemos si podríamos expresar el número de átomos que podrían existir en el universo visible. Se supone que las estrellas más lejanas que los telescopios pueden ver ahora —las de la decimosexta magnitud— tienen una distancia de unos 33.900.000.000.000.000 de millas.

Sir W. Thomson ha expuesto razones para suponer que no existen más de entre 3 × 10²⁴ y 10²⁶ moléculas en un centímetro cúbico de una sustancia sólida o líquida.‍¹⁶

Suponiendo que estos datos sean ciertos, a efectos de argumentación, un sencillo cálculo nos permite demostrar que la esfera, casi inconcebiblemente vasta, de nuestro sistema estelar, si estuviera enteramente llena de materia sólida, no contendría más de unos 68 × 10⁹⁰ átomos; es decir, un número que requiere para su expresión de 92 cifras. Ahora bien, este número sería inmensamente menor que el quinto orden de las potencias de dos.

En la variedad de relaciones lógicas que pueden existir entre un cierto número de términos lógicos, encontramos también un caso de combinaciones superiores.

Hemos visto (p. 142) que con solo seis términos el número de selecciones posibles de combinaciones es 18.446.744.073.709.551.616. Si se considera que es de lo más común en el mundo utilizar un argumento que involucre seis objetos o términos, puede causar cierta sorpresa que la investigación completa de las relaciones en las que seis tales términos pueden encontrarse entre sí implique un número casi inconcebible de casos.

Sin embargo, estos números de relaciones lógicas posibles pertenecen solo al segundo orden de combinaciones.