Como hemos visto, los instrumentos de medida no son más que medios de comparación entre una magnitud y otra, y por regla general debemos suponer alguna magnitud arbitraria en función de la cual deban expresarse todos los resultados de la medición.

Las meras proporciones entre cualquier serie de objetos nunca nos dirán sus magnitudes absolutas; debemos tener al menos una proporción para cada uno, y debemos tener una magnitud absoluta.

El número de proporciones n se puede expresar en n ecuaciones, las cuales contendrán al menos n + 1 cantidades, de modo que si las empleamos para dar a conocer n magnitudes, debemos tener una magnitud conocida.

Por tanto, ya sea que estemos midiendo el tiempo, el espacio, la densidad, la masa, el peso, la energía o cualquier otra cantidad física, debemos remitirnos a algún patrón concreto, a algún objeto real que, si llegara a perderse y fuera irrecuperable, haría que todas nuestras medidas perdieran su significado absoluto.

Este patrón concreto es en todos los casos arbitrario desde el punto de vista teórico, y su selección es una cuestión de conveniencia práctica.

Hay en verdad dos clases de magnitud que no necesitan ser expresadas en términos de unidades concretas arbitrarias, puesto que presuponen la existencia de unidades estándar naturales.

Un caso es el del número abstracto mismo, que no necesita ninguna unidad especial, porque cualquier objeto que existe o es pensado como separado de otros objetos (p. 157) nos proporciona una unidad y es el único estándar requerido.

La magnitud angular es el segundo caso en el que tenemos una unidad natural de referencia, a saber, la revolución completa o perígono, como lo ha llamado el señor Sandeman.‍¹

Es un resultado necesario de las propiedades uniformes del espacio que todas las revoluciones completas sean iguales entre sí, de modo que no necesitamos seleccionar ninguna revolución en particular, sino que siempre podemos remitirnos de nuevo al espacio mismo.

Ya tomemos el perígono entero, su mitad o su cuarto, es en realidad indiferente; Euclides tomó el ángulo recto porque los geómetras griegos nunca habían generalizado sus nociones de magnitud angular lo suficiente como para tratar ángulos de todas las magnitudes, o de cantidad ilimitada de revolución.

Euclides define un ángulo recto como la mitad del formado por una línea con su propia continuación, lo cual es por supuesto igual a media revolución, pero no era tratado por él como un ángulo.

En el análisis matemático se toma una fracción diferente del perígono, a saber, aquella fracción tal que el arco o porción de circunferencia comprendido en ella es igual al radio del círculo. Desde este punto de vista, la magnitud angular es una razón abstracta, a saber, la razón entre la longitud del arco subtendido y la longitud del radio. La unidad geométrica es entonces necesariamente el ángulo correspondiente a la razón unidad.

Este ángulo es igual a unos 57°, 17′, 44″·8, o en forma decimal 57°·295779513... .‍²

Fue llamada por De Morgan unidad arcual, pero un nombre más conveniente para el uso común sería radián, según lo sugerido por el profesor Everett.

Aunque este ángulo estándar se emplea naturalmente en el análisis matemático, y cualquier otra unidad introduciría una gran complejidad, no debemos considerarlo como una unidad distinta, ya que su magnitud está relacionada con la del medio perígono mediante la constante natural 3,14159... denotada habitualmente por la letra $π$ .

Cuando pasamos a otras especies de cantidad, la elección de la unidad resulta ser enteramente arbitraria. No hay absolutamente ningún modo de definir una longitud, sino seleccionando algún objeto físico que exhiba esa longitud entre ciertos puntos obvios —como, por ejemplo, las extremidades de una barra, o marcas hechas sobre su superficie.

Unidad de tiempo estándar.

El tiempo es la gran variable independiente de todo cambio: aquello que fluye ininterrumpidamente por sí mismo y aporta la variedad que llamamos movimiento y vida.

Cuando reflexionamos sobre su naturaleza íntima, el tiempo, al igual que cualquier otro elemento de la existencia, resulta ser un misterio inescrutable. Solo podemos decir con san Agustín, ante quien nos pregunta qué es el tiempo: «Lo sé si no me lo preguntas».

La mente humana se preguntará lo que jamás podrá ser respondido, pero un resultado de la filosofía lógica verdadera y rigurosa debe ser el de convencernos de que la explicación científica solo puede darse entre fenómenos que tienen algo en común, y que cuando llegamos a las nociones primarias, como las del tiempo y el espacio, la mente debe encontrarse con un punto de misterio más allá del cual no puede penetrar.

No hay que buscar una definición del tiempo; si decimos con Hobbes,‍³ que es «el fantasma del antes y el después en el movimiento», o con Aristóteles que es «el número del movimiento según lo anterior y lo posterior», es evidente que no ganamos nada, porque la noción de tiempo está implícita en las expresiones antes y después, anterior y posterior.

El tiempo es sin duda una de esas nociones primarias que solo pueden definirse físicamente, o mediante la observación de los fenómenos que transcurren en el tiempo.

Si no hemos avanzado ni un solo paso más allá de las agudas reflexiones de Agustín sobre este tema,‍⁴ es curioso observar los maravillosos avances que se han logrado en la medición práctica de su flujo.

En siglos anteriores, el tosco reloj de sol o la aparición de una estrella destacada servían como puntos de referencia, mientras que el flujo de agua de la clepsidra, la combustión de una vela o, en las edades monásticas, incluso el canto continuo de los salmos, eran los medios para subdividir aproximadamente los periodos y marcar las horas del día y de la noche.‍⁵

El sol y las estrellas siguen proporcionando el estándar del tiempo, pero se han vuelto necesarios medios de subdivisión precisa, y esto ha sido proporcionado por el péndulo y el cronógrafo.

Mediante el péndulo podemos dividir con precisión el día en segundos de tiempo.
Mediante el cronógrafo podemos subdividir el segundo en cien, mil o incluso un millón de partes.

Wheatstone midió la duración de una chispa eléctrica y descubrió que no era mayor que la parte 115.200 de un segundo, mientras que más recientemente el capitán Noble ha podido apreciar intervalos de tiempo que no superan la millonésima parte de un segundo.

Cuando llegamos a inquirir con precisión qué fenómeno es ese que así medimos con tanta minuciosidad, nos encontramos con dificultades insuperables. Newton distinguió el tiempo según fuese absoluto o aparente, con las siguientes palabras: «El tiempo absoluto, verdadero y matemático, en sí mismo y por su propia naturaleza, fluye equablemente sin relación con nada externo, y con otro nombre se llama duración; el tiempo relativo, aparente y común es alguna medida sensible y externa de la duración por medio del movimiento».‍⁶ Aunque tal vez estemos obligados a suponer la existencia de una cantidad que aumenta uniformemente a la que llamamos tiempo, sin embargo, no podemos sentir ni conocer el tiempo abstracto y absoluto. La duración debe hacérsenos manifiesta mediante la recurrencia de algún fenómeno. La sucesión de nuestros propios pensamientos es sin duda la primera y más sencilla medida del tiempo, pero una muy imprecisa, porque en algunas personas y circunstancias los pensamientos fluyen evidentemente con mucha mayor rapidez que en otras personas y circunstancias. A falta de cualquier otro fenómeno, el intervalo entre un pensamiento y otro se convertiría necesariamente en la unidad de tiempo, pero las observaciones más superficiales muestran que hay cambios en el mundo exterior mucho más aptos por su constancia para medir el tiempo que el cambio de pensamientos en nuestro interior.

La tierra, como ya he dicho, es el verdadero reloj del astrónomo, y se da por sentada prácticamente como invariable en sus movimientos. ¿Pero sobre qué base se supone tal cosa?

Según la primera ley del movimiento, todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas en él.

El movimiento rotatorio está sujeto a una condición semejante, a saber, que persevera uniformemente a menos que sea perturbado por fuerzas extrínsecas.

Ahora bien, el movimiento uniforme significa movimiento a través de espacios iguales en tiempos iguales, de modo que si tenemos un cuerpo completamente libre de toda resistencia o perturbación, y podemos medir espacios iguales de su trayectoria, tenemos una medida perfecta del tiempo.

Pero recuérdese que esta ley nunca ha sido demostrada de manera absoluta por la experiencia; pues no podemos señalar ningún cuerpo y decir que está totalmente libre de resistencia o perturbación; y aun si tuviéramos tal cuerpo, necesitaríamos algún patrón de tiempo independiente para comprobar si su movimiento era realmente uniforme. Como es en los cuerpos en movimiento donde encontramos el mejor patrón de tiempo, no podemos utilizarlos para demostrar la uniformidad de sus propios movimientos, lo cual equivaldría a una petitio principii.

Nuestra experiencia se reduce a esto: que al examinar y comparar los movimientos de los cuerpos que nos parecen casi libres de perturbación, hallamos que estos dan medidas del tiempo casi armoniosas.

Si algún cuerpo que nos parece se mueve de manera uniforme no lo hace así, sino que está sujeto a arranques y tirones que nos son desconocidos —puesto que no tenemos un patrón absoluto de tiempo—, entonces todos los demás cuerpos deben estar sujetos a esos mismos arranques y tirones arbitrarios, pues de otro modo habría una discrepancia que pondría de manifiesto las irregularidades.

Del mismo modo que al comparar una serie de cronómetros detectaríamos pronto los malos debido a que marchan de manera irregular en comparación con los demás, así en la naturaleza detectamos el movimiento perturbado por su discrepancia con el de otros cuerpos que creemos no perturbados y que concuerdan casi entre sí.

Pero por cuanto la medida del movimiento implica tiempo, y la medida del tiempo implica movimiento, debe haber en última instancia un postulado. Podemos definir tiempos iguales como aquellos durante los cuales un cuerpo en movimiento bajo la influencia de ninguna fuerza describe espacios iguales;‍⁷ pero todo lo que podemos decir en apoyo de esta definición es que no nos conduce a ninguna dificultad conocida, y que, según lo mejor de nuestra experiencia, un cuerpo en movimiento libre da los mismos resultados que cualquier otro.

Cuando preguntamos dónde se encuentra el cuerpo que se mueve libremente, no se puede dar ninguna respuesta perfectamente satisfactoria. En la práctica, el globo terráqueo es lo suficientemente preciso, y Thomson y Tait afirman: «Tiempos iguales son aquellos durante los cuales la tierra gira a través de ángulos iguales».‍⁸

No ha pasado mucho tiempo desde que los astrónomos consideraban imposible detectar cualquier desigualdad en su movimiento. Se suponía que Poisson había demostrado que un cambio en la duración del día sidéreo equivalente a una diezmillonésima parte en 2500 años era incompatible con un antiguo eclipse registrado por los caldeos, y Laplace realizó cálculos similares.

Pero ahora se sabe que estos cálculos eran algo erróneos, y que la disipación de energía derivada de la fricción de las olas de marea, y la radiación del calor hacia el espacio, ha disminuido ligeramente la rapidez del movimiento de rotación de la tierra. El día sidéreo es ahora más largo en una parte de 2 700 000 de lo que era en el año 720 a. C.

Incluso antes de este descubrimiento, se sabía que la invariabilidad de la rotación dependía del mantenimiento perfecto del calor interno de la tierra, el cual es necesario para que las dimensiones de la tierra permanezcan inalteradas. Ahora bien, siendo la tierra de temperatura superior al espacio vacío, debe enfriarse más o menos rápidamente, de modo que no puede proporcionar una medida absoluta del tiempo. Podrían plantearse objeciones similares a todos los demás cuerpos en rotación dentro de nuestro conocimiento.

El movimiento de la luna alrededor de la tierra, y el de la tierra alrededor del sol, constituyen la siguiente mejor medida del tiempo. Están sujetos, en verdad, a perturbaciones procedentes de otros planetas, pero se cree que estas perturbaciones deben, con el transcurso del tiempo, completar sus ciclos rítmicos sin alterar las distancias medias y, por consiguiente, según la tercera ley de Kepler, sin modificar los periodos de revolución.

Pero hay sobrados motivos para creer que la tierra experimenta una ligera resistencia al desplazarse por el espacio, semejante a la que resulta tan evidente en el cometa de Encke. Puede haber también una disipación de energía en las relaciones eléctricas de la tierra con el sol, posiblemente idéntica a la que se manifiesta en el retraso de los cometas.‍⁹

Es probable, por tanto, que sea falsa la suposición de que la órbita terrestre permanece completamente invariable. Cabe la mera posibilidad de que con el tiempo se descubra algún otro cuerpo que proporcione un patrón de tiempo mejor que el de la tierra en su movimiento anual.

La masa enormemente superior de Júpiter y sus satélites, así como su mayor distancia respecto al sol, tal vez hagan que la disipación eléctrica de energía sea menos considerable que en el caso de la tierra. Pero la elección de la mejor medida estará siempre abierta, y se podrá demostrar en última instancia que cualquier cuerpo en movimiento que elijamos está sujeto a fuerzas perturbadoras.

El péndulo, aunque es un instrumento tan admirable para la subdivisión del tiempo, falla como patrón; pues aunque el mismo péndulo afectado por la misma fuerza de gravedad realiza vibraciones iguales en tiempos iguales, el más leve cambio en la forma o el peso del péndulo, la menor corrosión de cualquier pieza, o el más mínimo desplazamiento del punto de suspensión, falsifica los resultados, y entran en juego muchas otras cuestiones difíciles de temperatura, fricción, resistencia, longitud de vibración, etcétera.

Thomson y Tait opinan‍¹⁰ que la norma última de la cronometría debe fundarse en las propiedades físicas de algún cuerpo de carácter más constante que la tierra; por ejemplo, un resorte metálico cuidadosamente dispuesto, herméticamente sellado en un recipiente de vidrio enrarecido.

Pero es difícil ver cómo podemos estar seguros de que las dimensiones y la elasticidad de una pieza de metal forjado permanecerán perfectamente inalteradas durante los pocos millones de años contemplados por ellos. Un gas casi perfecto, como el hidrógeno, es quizás el único tipo de sustancia en cuya elasticidad inalterada podríamos tener confianza.

Además, es difícil percibir cómo podrían observarse las ondulaciones de dicho resorte con la precisión requerida. Más recientemente, el profesor Clerk Maxwell ha hecho la novedosa sugerencia, discutida en una sección posterior, de que las ondulaciones de la luz en el vacío constituirían la norma de referencia más universal, tanto en lo que respecta al tiempo como al espacio. De acuerdo con este sistema, la unidad de tiempo sería el tiempo ocupado por una vibración del tipo particular de luz cuya longitud de onda se toma como unidad de longitud.

# La unidad de espacio y el patrón de barra.

Lo siguiente en importancia después de la medida del tiempo es la del espacio. El tiempo ocupa el primer lugar en teoría, porque los fenómenos, nuestros pensamientos internos por ejemplo, pueden cambiar en el tiempo sin consideración del espacio. En cuanto a los fenómenos de la naturaleza exterior, tienden cada vez más a resolverse en movimientos de moléculas, y el movimiento no puede concebirse ni medirse sin referencia tanto al tiempo como al espacio.

Pasando ahora a la medida del espacio, nos resulta casi igual de difícil fijar y definir de una vez por todas una magnitud unitaria.

Hay tres modos diferentes en los que se ha propuesto intentar la perpetuación de una longitud estándar.

(1) Mediante la construcción de un ejemplar real de la yarda o el metro estándar, en forma de barra.

(2) Suponiendo que el globo terráqueo mismo sea la medida definitiva de la magnitud, siendo la unidad práctica un submúltiplo de alguna dimensión del globo.

(3) Adoptando la longitud del péndulo simple de un segundo como patrón de referencia.

A primera vista podría parecer que no había gran dificultad en este asunto, y que cualquiera de estos métodos podría servir lo suficiente; pero cuanto más minuciosamente indagamos en los detalles, más desesperado parece el intento de establecer un patrón invariable.

Debemos señalar en primer lugar un principio que no es de carácter obvio, a saber, que la longitud patrón debe definirse mediante un solo objeto.‍¹¹

Fabricar dos barras de exactamente la misma longitud, o incluso dos barras que guarden entre sí una proporción perfectamente definida, está fuera del alcance del arte humano. Si se hacen dos copias del metro patrón y se declaran igualmente correctas, los futuros investigadores descubrirán con certeza alguna discrepancia entre ellas, lo que demostrará por supuesto que no pueden ser ambas el patrón, y dará motivo a disputa sobre qué magnitud debe entonces tomarse como correcta.

Si se pudiera construir y conservar una barra invariable como patrón absoluto, no surgiría tal inconveniente. Cada generación sucesiva, al adquirir mayores facultades de medición, detectaría errores en las copias del patrón, pero el patrón en sí mismo permanecería impecable y, por decirlo así, llegaría a conocerse gradualmente con mayor y mayor precisión.

Desgraciadamente, construir y preservar un metro o una yarda es también una tarea que resulta imposible, o lo que viene a ser prácticamente lo mismo, no se puede demostrar que sea posible.

Dejando a un lado la dificultad práctica de definir los extremos de la longitud estándar con total exactitud, ya sea mediante puntos o líneas en la superficie, o mediante los puntos terminales de la barra, no tenemos medios para demostrar que las sustancias conservan unas dimensiones invariables.

Así como no podemos saber si la rotación de la tierra es uniforme, excepto comparándola con otros cuerpos en movimiento que se cree que tienen un movimiento más uniforme, tampoco podemos detectar el cambio de longitud en una barra, excepto comparándola con alguna otra barra que se suponga invariable. ¿Pero cómo vamos a saber cuál es la barra invariable? Es seguro que muchas sustancias rígidas y Aparentemente invariables sí cambian de dimensiones.

El bulbo de un termómetro ciertamente se contrae con la edad, además de sufrir rápidos cambios de dimensiones al calentarse o enfriarse en 100° Cent. ¿Podemos estar seguros de que incluso las barras metálicas más sólidas no se contraen levemente con la edad, o experimentan variaciones en su estructura por el cambio de temperatura? Fizeau fue inducido a comprobar si un cristal de cuarzo, sometido a varios cientos de alternancias de temperatura, se vería modificado en sus propiedades físicas, y no pudo detectar ningún cambio en el coeficiente de dilatación.‍¹² No se sigue, sin embargo, que, debido a que no se descubrió ningún cambio aparente en un cristal de cuarzo, las barras de metal recién construidas no experimentaran ningún cambio.

El mejor principio, según me parece, sobre el cual puede basarse la perpetuación de un patrón de longitud, es que, si se produce una variación de longitud, esta será con toda probabilidad de diferente magnitud en distintas sustancias.

Si entonces se construyera un gran número de metros patrón de toda clase de metales y aleaciones diferentes; rocas duras, como granito, serpentina, pizarra, cuarzo, piedra caliza; sustancias artificiales, como porcelana, vidrio, etc., etc., una comparación cuidadosa mostraría de vez en cuando las variaciones comparativas de longitud de estas diferentes sustancias.

Las sustancias más variables serían las más divergentes, y el patrón vendría proporcionado por la longitud media de aquellas que coincidieran más estrechamente entre sí, tal como el movimiento uniforme es el de aquellos cuerpos que coinciden más estrechamente al indicar el transcurso del tiempo.

El Estándar Terrestre.

El segundo método presupone que el globo terráqueo mismo es un cuerpo de dimensiones invariables, y los creadores del sistema métrico seleccionaron la diezmillonésima parte de la distancia del ecuador al polo como la definición del metro.

La primera imperfección en tal método es que la tierra ciertamente no es invariable en tamaño; pues sabemos que tiene una temperatura superior a la del espacio circundante, y debe de estar enfriándose y contrayéndose lentamente. Hay muchas razones para creer que todos los terremotos, volcanes, elevaciones de montañas y cambios en el nivel del mar son evidencias de esta contracción, tal como afirma el Sr. Mallet.‍¹³

Pero tal es el inmenso volumen de la tierra y la duración de su existencia pasada, que esta contracción es quizás menos rápida en proporción que la de cualquier barra u otro patrón material que podamos construir.

La segunda y principal dificultad de este método surge de la vasta extensión de la tierra, que nos impide realizar cualquier comparación con la unidad de medida definitiva, excepto mediante un estudio trigonométrico de un tipo sumamente elaborado y costoso.

Los físicos franceses, que propusieron el método por primera vez, intentaron obviar este inconveniente realizando el estudio una vez por todas y construyendo después un metro patrón, que debía ser exactamente la diezmillonésima parte de la distancia del polo al ecuador. Pero dado que todas las operaciones de medición son meramente aproximadas, era imposible que esta operación se lograra a la perfección.

Por consiguiente, se demostró en 1838 que el supuesto metro francés era erróneo en la considerable proporción de una parte en 5527. Se hizo entonces necesario alterar la longitud del metro adoptado o abandonar su supuesta relación con las dimensiones de la Tierra.

El Gobierno francés y la Comisión Internacional del Metro han decidido, por razones obvias, inclinarse por esta última opción y han vuelto así al primer método de definir el metro mediante una barra dada.

Como de vez en cuando la relación entre este metro patrón supuesto y el cuadrante de la tierra se conoce con mayor exactitud, disponemos de mejores medios para restablecer dicho metro por referencia al globo terráqueo si fuera necesario. Pero hasta que se pierda, sea destruido o por alguna razón clara sea desacreditado, el metro patrón y no el globo es la norma. Thomson y Tait señalan que cualquiera de las mediciones más precisas del levantamiento trigonométrico inglés podría emplearse de igual manera para restablecer nuestra yarda patrón, en función de la cual se registran los resultados.

# The Pendulum Standard.

El tercer método para definir una longitud estándar, mediante la referencia al péndulo de segundos, fue propuesto por primera vez por Huyghens, y en una época fue adoptado por el Gobierno inglés. Del principio del péndulo (p. 302) se deduce claramente que, si el tiempo de oscilación y la fuerza que actúa sobre el péndulo son los mismos, la longitud del péndulo debe ser la misma.

No nos libramos de las dificultades teóricas, pues debemos suponer que la atracción de la gravedad en algún punto de la superficie terrestre, por ejemplo Londres, no cambia con el tiempo, y que el día sidéreo es invariable, sin que ninguna de las dos suposiciones sea absolutamente correcta hasta donde alcanza nuestro juicio.

El péndulo, en suma, es tan solo un medio indirecto de hacer que una cantidad física de espacio dependa de otras dos cantidades físicas de tiempo y fuerza.

Las dificultades prácticas son, sin embargo, de un carácter mucho más grave que las teóricas. La longitud de un péndulo no es la longitud ordinaria del instrumento, la cual podría variar enormemente sin afectar a la duración de una vibración, sino la distancia desde el centro de suspensión hasta el centro de oscilación. No existen medios directos para determinar este último centro, el cual depende del momento medio de todas las partículas del péndulo con respecto al centro de suspensión.

Huyghens descubrió que los centros de suspensión y oscilación son intercambiables, y Kater señaló que si un péndulo vibra con exactamente la misma rapidez cuando se suspende de dos puntos diferentes, la distancia entre estos puntos es la longitud verdadera del péndulo simple equivalente.‍¹⁴

Pero las dificultades prácticas para emplear el péndulo reversible de Kater son considerables, y es necesario tener en cuenta cuestiones relativas a la perturbación del aire, la fuerza de la gravedad o incluso la interferencia de atracciones eléctricas.

Se ha demostrado que todos los experimentos realizados bajo la autoridad del Gobierno para determinar la relación entre la vara estándar y el péndulo de segundos se vieron viciados por un error en las correcciones relativas al poder de resistencia, adherencia o flotación del aire en el que oscilaban los péndulos. Aun si tales correcciones se volvieran innecesarias al operar en el vacío, quedan otras cuestiones difíciles.‍¹⁵

El método de Gauss para comparar las vibraciones de un péndulo de alambre cuando se suspende a dos longitudes diferentes presenta dificultades prácticas iguales o mayores.

Así se encuentra que el patrón de péndulo no puede competir en exactitud y certeza con el patrón de barra simple, y el método solo sería útil como modo accesorio de restaurar el patrón de barra si en algún momento volviera a ser destruido.

Unidad de densidad.

Antes de poder medir los fenómenos de la naturaleza, requerimos una tercera unidad independiente, que nos permita definir la cantidad de materia que ocupa un espacio dado.

Todos los cambios de la naturaleza, como veremos, son probablemente otras tantas manifestaciones de energía; pero la energía requiere algún sustrato o maquinaria material de moléculas, en y mediante los cuales pueda manifestarse.

La observación muestra que, en lo que respecta a la fuerza, puede haber dos modos de variación de la materia. Como dice Newton en la primera definición de los Principia: «la cantidad de materia es la medida de la misma, surgida de su densidad y volumen conjuntamente».

Así, la fuerza requerida para poner un cuerpo en movimiento varía tanto según el volumen de la materia como según su calidad.

Dos pulgadas cúbicas de hierro de calidad uniforme requerirán el doble de fuerza que una pulgada cúbica para producir una cierta velocidad en un tiempo dado;
pero una pulgada cúbica de oro requerirá más fuerza que una pulgada cúbica de hierro.

Existe, pues, alguna nueva cualidad mensurable en la materia, aparte de su volumen, que podemos llamar densidad, y que está indicada, en sentido estricto, por su capacidad de resistir y absorber la acción de la fuerza.

Para la unidad de densidad podemos tomar la de cualquier sustancia que sea de calidad uniforme y a la que se pueda recurrir fácilmente de vez en cuando. El agua pura a cualquier temperatura definida, por ejemplo la de la nieve derritiéndose bajo una presión inapreciable, proporciona un patrón invariable de densidad, y al comparar volúmenes iguales de diversas sustancias con un volumen semejante de agua helada, en lo que respecta a la velocidad producida en una unidad de tiempo por la misma fuerza, determinaríamos las densidades de dichas sustancias expresadas en la del agua.

Prácticamente la fuerza de gravedad se utiliza para medir la densidad; pues un hermoso experimento con el péndulo, realizado por Newton y repetido por Gauss, demuestra que todas las clases de materia gravitan por igual.

Se puede suponer entonces que dos porciones de materia que están en equilibrio en la balanza poseen igual inercia, y por tanto sus densidades serán inversamente proporcionales a sus dimensiones cúbicas.

Unidad de masa.

Multiplicando el número de unidades de densidad de una porción de materia por el número de unidades de espacio que ocupa, llegamos a la cantidad de materia, o, como se le suele llamar, la unidad de masa, tal como lo indican la inercia y la gravedad que posee. Para proceder de la manera más simple, la unidad de masa debería ser la de una unidad cúbica de materia de la densidad estándar; pero los fundadores del sistema métrico tomaron como su unidad de masa el centímetro cúbico de agua a la temperatura de máxima densidad (alrededor de 4 °C). Llamaron a esta unidad de masa el gramo, y construyeron ejemplares estándar del kilogramo, a los cuales podían remitirse fácilmente todos los que necesitaran emplear pesos exactos. Desafortunadamente, la determinación del volumen de un peso dado de agua a una determinada temperatura es una operación que entraña muchas dificultades, y en la actualidad no puede realizarse con una exactitud mayor de aproximadamente una parte en 5000, encontrándose a veces que los resultados de observadores cuidadosos difieren hasta en una parte en 1000.‍¹⁶

Los pesos, por otra parte, pueden compararse entre sí al menos con una precisión de una parte en un millón. Por consiguiente, si se preparan diferentes ejemplares del kilogramo mediante pesaje directo con agua, no coincidirán estrechamente entre sí; los dos kilogramos patrón principales no coinciden ni entre sí ni con su definición.

Según el profesor Miller, el llamado Kilogramme des Archives pesa 15432,34874 granos, mientras que el kilogramo depositado en el Ministerio del Interior en París, como patrón para fines comerciales, pesa 15432,344 granos.

Puesto que un peso patrón construido de platino, o de platino e iridio, puede conservarse libre de cualquier alteración apreciable, y dado que puede compararse con gran precisión con otros pesos, alcanzaremos en última instancia la mayor exactitud en nuestras mediciones de masa tomando un único kilogramo como patrón provisional, y dejando la determinación de su masa real en unidades de espacio y densidad para investigaciones futuras.

Esto es lo que se hace en la práctica hoy en día, y así una unidad de masa ocupa el lugar de la unidad de densidad, tanto en el sistema francés como en el inglés. La libra inglesa se define mediante cierto fragmento de platino, conservado en Westminster, y es una masa arbitraria, elegida meramente para que coincida lo más posible con las antiguas libras inglesas.

El galón, la antigua unidad inglesa de medida cúbica, se define por la condición de que debe contener exactamente diez libras de peso de agua a 62 °F; y aunque se afirma que tiene una capacidad de unas 277,274 pulgadas cúbicas, esta relación entre los sistemas de medida cúbico y lineal no está promulgada por ley, sino que se deja abierta a la investigación.

Si bien el sistema métrico francés, tal como fue concebido originalmente, era teóricamente perfecto, no difiere en la práctica en este punto del sistema inglés.

# Sistema natural de estándares.

Muy recientemente, el profesor Clerk Maxwell ha sugerido que las vibraciones de la luz y los átomos de la materia podrían emplearse concebiblemente como los patrones definitivos de longitud, tiempo y masa. Llegaríamos así a un sistema natural de unidades patrón, que, aunque carece de importancia práctica actual, posee un considerable interés teórico.

«En el estado actual de la ciencia —afirma—, el patrón de longitud más universal que podríamos adoptar sería la longitud de onda en el vacío de un tipo particular de luz, emitida por alguna sustancia ampliamente difundida como el sodio, que posee líneas bien definidas en su espectro. Tal patrón sería independiente de cualquier cambio en las dimensiones de la Tierra, y debería ser adoptado por aquellos que esperen que sus escritos sean más permanentes que dicho cuerpo».‍¹⁷

Del mismo modo obtendríamos una unidad patrón universal de tiempo, independiente de todas las cuestiones relativas al movimiento de los cuerpos materiales, tomando como unidad el período de vibración de ese tipo particular de luz cuya longitud de onda es la unidad de longitud. De ello se seguiría que, con estas unidades de longitud y tiempo, la unidad de velocidad coincidiría con la velocidad de la luz en el espacio vacío.

En cuanto a la unidad de masa, el profesor Maxwell, con lo que considero humor, señala que si esperamos poder determinar pronto la masa de una sola molécula de alguna sustancia estándar, podemos aguardar a dicha determinación antes de fijar un patrón universal de masa.

Desde un punto de vista teórico, no puede caber ninguna duda razonable de que las vibraciones de la luz son, hasta donde alcanza nuestro conocimiento, las más constantes en magnitud de todos los fenómenos.

Como de costumbre, no hay certeza absoluta en este asunto, ya que las propiedades de la base de la luz pueden variar hasta cierto punto en diferentes regiones del espacio. Sin embargo, jamás se ha podido constatar ninguna diferencia en la velocidad de la luz en distintas partes del sistema solar, y los espectros estelares muestran que los tiempos de vibración allí no difieren de manera perceptible de los de esta parte del universo.

Por lo tanto, toda presunción aboga a favor de la constancia absoluta de las vibraciones de la luz; absoluta, es decir, en lo que respecta a cualquier medio de investigación que probablemente vayamos a poseer.

Casi las mismas consideraciones se aplican al peso atómico como unidad de masa. Es imposible demostrar que todos los átomos de la misma sustancia poseen igual masa, y algunos físicos opinan que difieren, de modo que la fijeza de las proporciones de combinación podría deberse únicamente a la constancia aproximada de la media de incontables millones de pesos discrepantes. Pero, en cualquier caso, la detección de tal diferencia se halla probablemente más allá de nuestras capacidades.

Desde un punto de vista teórico, pues, las magnitudes sugeridas por el profesor Maxwell parecen ser las más constantes de cuantas conocemos, por lo que se convierten necesariamente en las unidades naturales.

Desde un punto de vista práctico, como el profesor Maxwell sería el primero en señalar, tienen poco o ningún valor, porque en el estado actual de la ciencia no podemos medir una vibración ni pesar un átomo con ninguna aproximación a la precisión que se puede alcanzar en la comparación de los metros y kilogramos estándar.

La velocidad de la luz probablemente no se conozca dentro de una milésima parte, y a medida que progresemos en el conocimiento de la luz, así progresaremos en la fijación precisa de otros estándares.

Todo lo que puede decirse, entonces, es que es muy deseable determinar las longitudes de onda y los periodos de las líneas principales del espectro solar, y los pesos atómicos absolutos de los elementos, con toda la precisión alcanzable, en términos de nuestros estándares existentes.

Los números así obtenidos permitirían la reproducción de nuestros estándares en alguna era futura del mundo con un grado correspondiente de precisión, si hubiera necesidad de tal referencia; pero, hasta donde podemos ver en el presente, no hay una probabilidad considerable de que este modo de reproducción fuera alguna vez el mejor modo.

# Unidades subsidiarias.

Habiendo establecido una vez las unidades estándar de tiempo, espacio y densidad o masa, podríamos emplearlas para la expresión de todas las cantidades de dicha naturaleza.

Pero a menudo resulta conveniente en ramas particulares de la ciencia utilizar múltiplos o submúltiplos de las unidades originales para expresar las cantidades de manera sencilla.

Usamos la milla en lugar de la yarda cuando tratamos sobre la magnitud del globo, y la distancia media entre la tierra y el sol no es una unidad demasiado grande cuando tenemos que describir las distancias de las estrellas.
Por otra parte, cuando nos ocupamos de objetos microscópicos, la pulgada, la línea o el milímetro se convierten en los términos de expresión más convenientes.

Se le permite a un hombre de ciencia introducir una nueva unidad en cualquier rama del conocimiento, siempre que contribuya a la expresión precisa y se relacione cuidadosamente con las unidades primarias.

Así, el profesor A. W. Williamson ha propuesto como una unidad de volumen conveniente en la ciencia química un volumen absoluto equivalente a unos 11,2 litros, que representa el bulto de un gramo de gas hidrógeno a temperatura y presión estándar, o el peso equivalente de cualquier otro gas, como 16 gramos de oxígeno, 14 gramos de nitrógeno, etc.; en resumen, el bulto de aquella cantidad de cualquiera de dichos gases que pesa tantos gramos como unidades hay en el número que expresa su peso atómico.‍¹⁸

Hofmann ha propuesto una nueva unidad de peso para los químicos, llamada crit, que se define por el peso de un litro de gas hidrógeno a 0° C y 0,76 mm, con un peso de aproximadamente 0,0896 gramos.‍¹⁹

Ambas unidades deben considerarse estrictamente como unidades subordinadas, definidas en última instancia por referencia a las unidades primarias, y sin implicar ninguna nueva suposición.

# Unidades derivadas.

Una vez fijadas las unidades estándar de tiempo, espacio y masa, muchos tipos de magnitud se miden naturalmente mediante unidades derivadas de ellas.

A partir del metro, la unidad de magnitud lineal sigue de la manera más obvia el centiárea o metro cuadrado, la unidad de magnitud superficial, y el litro, que es el cubo de la décima parte de un metro, la unidad de capacidad o volumen.

La velocidad del movimiento se expresa mediante la razón del espacio recorrido, cuando el movimiento es uniforme, al tiempo empleado; por lo tanto, la unidad de velocidad es la de un cuerpo que recorre una unidad de espacio en una unidad de tiempo. En ciencias físicas, la unidad de velocidad podría tomarse como un metro por segundo.

El momento se mide por la masa en movimiento, teniendo en cuenta tanto la cantidad de materia como la velocidad a la que se mueve. Por lo tanto, la unidad de momento será la de un volumen unitario de materia de densidad unitaria que se mueve con la velocidad unitaria, o en el sistema francés, un centímetro cúbico de agua de densidad máxima que se mueve un metro por segundo.

Una fuerza aceleradora se mide por la relación entre el momento generado y el tiempo empleado, suponiendo que la fuerza actúa de manera uniforme.

La unidad de fuerza será, por tanto, aquella que genera una unidad de momento en una unidad de tiempo, o la que hace que, en el sistema francés, un centímetro cúbico de agua a su máxima densidad adquiera en un segundo una velocidad de un metro por segundo.

La fuerza de gravedad es el tipo de fuerza más familiar y, como al actuar sin impedimentos sobre cualquier sustancia produce en un segundo una velocidad de 9,80868 ... metros por segundo en París, se deduce que la unidad absoluta de fuerza es aproximadamente la décima parte de la fuerza de gravedad.

Si empleamos los pesos y medidas británicos, la unidad absoluta de fuerza está representada por la gravedad de aproximadamente media onza, ya que la fuerza de gravedad de cualquier porción de materia que actúe sobre dicha materia durante un segundo produce una velocidad final de 32,1889 pies por segundo, o unas 32 unidades de velocidad.

Aunque debido a su acción perpetua y a su uniformidad aproximada encontramos en la gravedad la fuerza más conveniente como referencia, y por tanto la empleamos habitualmente para estimar cantidades de materia, debemos recordar que esta es solo uno de los muchos ejemplos de fuerza. Estrictamente hablando, deberíamos expresar el peso en función de la fuerza, pero en la práctica expresamos las otras fuerzas en función del peso.

Todavía necesitamos la unidad de energía, una noción más compleja. El momento de un cuerpo expresa la cantidad de movimiento que pertenece o pertenecería al conjunto de las partículas; pero cuando consideramos cómo se relaciona este movimiento con la acción de una fuerza que lo produce o lo elimina, encontramos que el efecto de una fuerza es proporcional a la masa multiplicada por el cuadrado de la velocidad, y resulta conveniente tomar la mitad de este producto como la expresión requerida.

Pero se demuestra en los libros de dinámica que será exactamente lo mismo si definimos la energía mediante una fuerza que actúa a través de un espacio. La unidad natural de energía será entonces aquella que vence a una unidad de fuerza que actúa a través de una unidad de espacio; cuando levantamos un kilogramo un metro, contra la gravedad, realizamos por lo tanto 9,80868... unidades de trabajo, es decir, convertimos otras tantas unidades de energía potencial existente en los músculos en energía potencial de gravitación.

Al levantar una libra un pie hay de manera semejante una conversión de 32,1889 unidades de energía. En consecuencia, la unidad de energía en el sistema inglés será la requerida para levantar una libra aproximadamente la trigésima segunda parte de un pie; en términos de unidades métricas, será la requerida para levantar un kilogramo aproximadamente una décima parte de un metro.

Toda persona tiene la libertad de medir y registrar cantidades en términos de cualquier unidad que prefiera. Puede usar la yarda para la medida lineal y el litro para la medida cúbica, solo que entonces habrá una relación complicada entre sus diferentes resultados.

El sistema de unidades derivadas que hemos estado considerando brevemente es el que proporciona las relaciones más simples y naturales entre las expresiones cuantitativas de diferentes clases y, por lo tanto, conduce a una mayor facilidad de comprensión y al ahorro de cálculos laboriosos.

Evidentemente, sería una fuente de gran comodidad que los hombres de ciencia pudieran ponerse de acuerdo sobre algún sistema único de unidades, fundamentales y derivadas, en función del cual pudieran expresarse todas las cantidades.

Las afirmaciones resultarían así fácilmente comparables, una gran parte de la literatura científica se haría inteligible para todos, y el ahorro de esfuerzo mental sería inmenso.

También parece admitirse generalmente que el sistema métrico de pesos y medidas presenta la mejor base para el sistema definitivo; está plenamente establecido en Europa occidental; está legalizado en Inglaterra; ya es empleado comúnmente por los hombres de ciencia; es en sí mismo el más sencillo y científico de los sistemas.

Hay razones de sobra, por tanto, para que el sistema métrico sea aceptado, al menos en sus líneas principales.

Unidades provisionales.

Por último, como apenas podemos dudar, todos los fenómenos serán reconocidos como otras tantas manifestaciones de energía; y, al ser expresados en términos de la unidad de energía, serán reducibles a las unidades primarias de espacio, tiempo y densidad. Para efectuar esta reducción, sin embargo, en cualquier caso particular, no solo debemos ser capaces de comparar diferentes cantidades del fenómeno, sino de trazar toda la serie de pasos mediante los cuales se conecta con las nociones primarias. Podemos observar fácilmente que la intensidad de una fuente de luz es mayor que la de otra; y, sabiendo que la intensidad de la luz disminuye a medida que el cuadrado de la distancia aumenta, podemos determinar fácilmente su brillo comparativo. De ahí que podamos expresar la intensidad de la luz que incide sobre cualquier superficie, si tenemos una unidad en la cual hacer la expresión. La luz es indudablemente una forma de energía, y la unidad debería por tanto ser la unidad de energía. Pero en la actualidad es del todo imposible decir cuánta energía hay en cualquier cantidad particular de luz. Surge entonces la pregunta: ¿Hemos de posponer la medición de la luz hasta que podamos asignar su relación con otras formas de energía? Si respondemos que sí, equivale a decir que la ciencia de la luz debe detenerse, tal vez durante una generación; y no solo esta ciencia, sino muchas otras. El camino correcto es evidentemente seleccionar, como unidad provisional de luz, cierta luz de intensidad conveniente, que pueda ser reproducida de vez en cuando con la misma intensidad, y que esté definida por circunstancias físicas. Todos los fenómenos de la luz pueden ser investigados experimentalmente en relación con esta unidad, por ejemplo la obtenida tras mucho trabajo por Bunsen y Roscoe.‍²⁰ En años posteriores será objeto de investigación cuál es la energía desarrollada en dicha unidad de luz; pero puede pasar mucho tiempo antes de que se determine la relación exacta.

Una unidad provisional, por lo tanto, significa aquella que se asume y se define físicamente de una manera segura y reproducible, con el fin de que cantidades particulares puedan compararse inter se con mayor precisión de la que todavía es posible al remitirlas a las unidades primarias.

En realidad, la gran mayoría de nuestras mediciones se expresan en función de tales unidades provisionalmente independientes e incluso la unidad de masa, como hemos visto, debe considerarse provisional.

La unidad de calor debería ser simplemente la unidad de energía, ya descrita. Pero un peso puede medirse hasta la millonésima parte, y la temperatura hasta menos de la milésima parte de un grado Fahrenheit, y por tanto hasta menos de la quinientos milésima parte de la temperatura absoluta, mientras que el equivalente mecánico del calor probablemente no se conozca con una aproximación de una milésima parte.

De ahí la necesidad de una unidad provisional de calor, que a menudo se toma como la requerida para elevar un gramo de agua un grado centígrado, es decir, de 0° a 1°. Esta cantidad de calor es susceptible de expresión aproximada en términos de tiempo, espacio y masa; pues por la constante natural, determinada por el Dr. Joule y denominada equivalente mecánico del calor, sabemos que la unidad de calor supuesta es igual a la energía de 423,55 gramos-metro, o aquella energía que elevará la masa de 423,55 gramos un metro contra 9,8... unidades absolutas de fuerza.

El calor también puede expresarse en función de la cantidad de hielo a 0° C que es capaz de convertir en agua bajo una presión inapreciable.

# Teoría de Dimensiones.

Para comprender las relaciones entre las magnitudes de las que trata la ciencia física, es necesario prestar atención a la Teoría de las Dimensiones, establecida por primera vez con claridad por Joseph Fourier,‍²¹ pero desarrollada en años posteriores por varios físicos.

Esta teoría investiga el modo en que cada unidad derivada depende de una o más unidades fundamentales, o las involucra.

El número de unidades en un área rectangular se encuentra multiplicando entre sí los números de unidades de los lados; por lo tanto, la unidad de longitud entra dos veces en la unidad de área, de la cual se dice, por consiguiente, que tiene dos dimensiones con respecto a la longitud.

Denotando la longitud con L, podemos decir que las dimensiones del área son L × L o L². Es obvio de la misma manera que las dimensiones del volumen o la capacidad serán L³.

El número de unidades de masa de un cuerpo se halla multiplicando el número de unidades de volumen por las de densidad.

De ahí que la masa sea de tres dimensiones en lo que respecta a la longitud, y de una en lo que respecta a la densidad. Llamando D a la densidad, las dimensiones de la masa son L³D. Tal como ya se ha explicado, sin embargo, es habitual sustituir una unidad de masa provisional arbitraria, simbolizada por M; según el punto de vista aquí adoptado, podemos decir que las dimensiones de M son L³D.

Introduciendo el tiempo, denotado por T, es fácil ver que las dimensiones de la velocidad serán L/T o LT^-1, porque el número de unidades en la velocidad de un cuerpo se encuentra dividiendo las unidades de longitud recorridas entre las unidades de tiempo empleadas en recorrerlas.

La aceleración de un cuerpo se mide por el incremento de velocidad en relación con el tiempo, es decir, debemos dividir las unidades de velocidad ganadas entre las unidades de tiempo empleadas en ganarlas; por tanto, sus dimensiones serán LT^-2.

El momento lineal es el producto de la masa por la velocidad, de modo que sus dimensiones son MLT^-1.

El efecto de una fuerza se mide por la aceleración producida en una unidad de masa en una unidad de tiempo; por tanto, las dimensiones de la fuerza son MLT^-2.

El trabajo realizado es proporcional a la fuerza actuante y al espacio a través del cual actúa; de modo que tiene las dimensiones de la fuerza con la de la longitud añadida, lo que da ML²T^-2.

Debe notarse particularmente que la magnitud angular no tiene dimensiones en absoluto, ya que se mide mediante la razón entre el arco y el radio (p. 305). Así, tenemos las dimensiones LL^-1 o L⁰. Esto concuerda con la afirmación hecha anteriormente de que no se necesita ninguna unidad arbitraria de magnitud angular.

De igual manera, todos los números puros que expresan únicamente razones, tales como los senos y otras funciones trigonométricas, logaritmos, exponentes, etc., carecen de dimensiones. Son números absolutos expresados necesariamente en términos de la unidad misma, y no se ven afectados en absoluto por la selección de las unidades físicas arbitrarias.

La magnitud angular, sin embargo, entra a formar parte de otras cantidades, como la velocidad angular, que tiene las dimensiones 1/T o T^-1, al dividirse las unidades de ángulo entre las unidades de tiempo empleadas. Las dimensiones de la aceleración angular se denotan por T^-2.

Las cantidades tratadas en las teorías del calor y de la electricidad son numerosas y complicadas en lo que respecta a sus dimensiones. La capacidad térmica tiene las dimensiones ML^-3, la conductividad térmica, ML^-1T^-1. En magnetismo, las dimensiones de la intensidad de polo son M^1/2L^3/2T^-1, las dimensiones de la intensidad de campo son M^1/2L^-1/2T^-1, y la intensidad de imanación tiene las mismas dimensiones.

En la ciencia de la electricidad, los físicos tienen que lidiar con numerosos tipos de cantidad, y sus dimensiones también son diferentes en los sistemas electrostático y electromagnético. Así, la fuerza electromotriz tiene las dimensiones M^1/2L^1/2T^-1 en el primero, y M^1/2L^3/2T^-2 en el segundo sistema. La capacidad depende simplemente de la longitud en electrostática, pero de L^-1T² en electromagnetismo.

Es digno de mención especial que las cantidades eléctricas posean dimensiones simples cuando se expresan en función de la densidad en lugar de la masa. Los ejemplos dados ahora son suficientes para mostrar la dificultad de concebir y seguir las relaciones de las cantidades tratadas en la ciencia física sin un método sistemático para calcular y exhibir sus dimensiones.

Es solo en años bastante recientes cuando se han alcanzado ideas claras sobre estas cantidades. Hace medio siglo, probablemente nadie excepto Fourier habría podido explicar lo que quería decir con temperatura o capacidad calorífica. La noción de medir la electricidad apenas se había concebido.

Además de proporcionarnos una visión clara de las complejas relaciones entre las cantidades físicas, esta teoría es especialmente útil de dos maneras.

En primer lugar, ofrece una prueba de la corrección del razonamiento matemático. De acuerdo con el Principio de Homogeneidad, todas las cantidades sumadas, e igualadas en cualquier ecuación, deben tener las mismas dimensiones.

Por lo tanto, si al estimar las dimensiones de los términos en cualquier ecuación, estos no son homogéneos, se debe haber cometido algún error. Es imposible sumar una fuerza a una velocidad, o una masa a un momento. Incluso si los valores numéricos de los dos miembros de una ecuación no homogénea fueran iguales, esto sería accidental, y cualquier alteración en las unidades físicas produciría una desigualdad y revelaría la falsedad de la ley expresada en la ecuación.

En segundo lugar, la teoría de las unidades nos permite deducir rápida e infaliblemente el cambio en la expresión numérica de cualquier magnitud física, producido por un cambio en las unidades fundamentales.

Es, por supuesto, evidente que para representar la misma magnitud absoluta, un número debe variar de manera inversa a la magnitud de las unidades que se enumeran. La yarda expresada en pies es 3; tomando la pulgada como unidad en lugar del pie, se convierte en 36.

Toda magnitud en la que la dimensión longitud entra de forma positiva debe alterarse de la misma manera. Al cambiar la unidad del pie a la pulgada, las expresiones numéricas de volumen deben multiplicarse por 12 × 12 × 12.

Cuando una dimensión entra de forma negativa, se aplicará la regla opuesta. Si sustituimos el minuto por el segundo como unidad de tiempo, entonces debemos dividir todos los números que expresan velocidades angulares por 60, y los números que expresan aceleración angular por 60 × 60.

La regla es que una expresión numérica varía inversamente a la magnitud de la unidad en lo que respecta a cada dimensión entera que entra positivamente, y varía directamente a la magnitud de la unidad para cada dimensión entera que entra negativamente. En el caso de exponentes fraccionarios, se debe tomar la raíz correspondiente de la razón de cambio.

El estudio de esta materia puede continuarse en las «Illustrations of the Centimetre-gramme-second System of Units» del profesor J. D. Everett, publicadas por Taylor and Francis en 1875; en la «Theory of Heat» del profesor Maxwell; o en el «Text Book of Electricity» del profesor Fleeming Jenkin.

# Constantes naturales.

Habiendo adquirido instrumentos de medición precisos, y habiendo decidido las unidades en las que se expresarán los resultados, queda la pregunta: ¿Qué uso se hará de nuestras facultades de medición?

Nuestro objetivo principal debe ser descubrir leyes cuantitativas generales de la naturaleza; pero una cantidad muy considerable de labor preliminar se emplea en la determinación precisa de las dimensiones de los objetos existentes, y de las relaciones numéricas entre diversas fuerzas y fenómenos.

Paso a paso, cada parte del universo material es examinada y puesta en relaciones conocidas con otras partes. Cada manifestación de energía se correlaciona con cada otro tipo de manifestación. El profesor Tyndall ha descrito el cuidado con el que se llevan a cabo tales operaciones.‍²²

“Aquellos que no están familiarizados con los detalles de la investigación científica, no tienen idea de la cantidad de trabajo que se dedica a la determinación de aquellos números de los cuales dependen cálculos o inferencias importantes.

No tienen idea de la paciencia mostrada por un Berzelius al determinar pesos atómicos; por un Regnault al determinar coeficientes de expansión; o por un Joule al determinar el equivalente mecánico del calor.

Hay una moralidad que se aplica a tales asuntos la cual, en cuanto a su severidad, probablemente no tiene paralelo en ningún otro dominio de la acción intelectual”.

Cada nueva constante natural que se registra pone a nuestro alcance muchas nuevas deducciones. Pues si n es el número de tales constantes conocidas, entonces 1/2 (n²—n) es el número de razones que están dentro de nuestras capacidades de cálculo, y este aumenta con el cuadrado de n. Así vamos reconstruyendo gradualmente un mapa de la naturaleza, en el cual las líneas de deducción de un fenómeno a otro crecen rápidamente en complejidad, y las capacidades de predicción científica aumentan de manera correspondiente.

Babbage‍²³ propuso la formación de una colección de los números constantes de la naturaleza, una labor que por fin ha sido emprendida por la Institución Smithsonian.‍²⁴

Es cierto que una colección completa de dichos números abarcaría prácticamente toda la literatura científica, ya que casi todos los números que aparecen en obras de química, mineralogía, física, astronomía, etc., tendrían que ser incluidos.

Aun así, un volumen práctico que recoja los números más importantes y sus logaritmos, referidos cuando sea necesario a las distintas unidades de uso común, sería de gran utilidad. Al final de las tablas de logaritmos de Babbage, Hutton y muchas otras se puede encontrar una pequeña colección de números constantes, y una colección algo más amplia aparece en el Millwright and Engineer’s Pocket Companion de Templeton.

Nuestro presente objetivo será clasificar estos números constantes de manera general, según su generalidad e importancia comparativas, bajo los siguientes encabezados:‍—

# Constantes matemáticas.

A la cabeza de la lista de constantes naturales deben figurar aquellas que expresan las relaciones necesarias de los números entre sí. La tabla de multiplicar ordinaria es la más familiar y la más importante de dichas series de constantes y es, teóricamente hablando, de extensión infinita.

A continuación debemos situar el Triángulo Aritmético, cuya importancia ya ha sido señalada (p. 182).

Las tablas de logaritmos también contienen vastas series de constantes naturales, que surgen de las relaciones de los números puros. En la base de toda la teoría logarítmica se encuentra la misteriosa constante natural comúnmente denotada por e, o ε, que es igual a la serie infinita 1 + 1/1 + 1/1.2 + 1/1.2.3 + 1/1.2.3.4 +...., y que consiste por tanto en la suma de las razones entre los números de permutaciones y combinaciones de 0, 1, 2, 3, 4, etc. cosas.

No hay que olvidar las tablas de números primos y de los factores de los números compuestos.

Otra serie vasta y, de hecho, infinita de constantes numéricas contiene aquellas conectadas con la medición de ángulos, y encarnadas en tablas trigonométricas, ya sea como senos, cosenos y tangentes naturales o logarítmicos.

Nunca debe olvidarse que, aunque estos números encuentran su empleo principal en relación con la trigonometría, o la medición de los lados de un triángulo rectángulo, los números en sí mismos surgen de relaciones numéricas que no guardan ninguna relación especial con el espacio.

Entre las constantes trigonométricas destaca el conocido número $π$ , empleado habitualmente para expresar la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo; de $π$ se deriva el valor de la unidad angular arcual o natural expresada en grados ordinarios (p. 306).

Entre otras constantes matemáticas no infrecuentemente usadas pueden mencionarse las tablas de factoriales (p. 179), las tablas de los números de Bernoulli, las tablas de la función de error,‍²⁵ siendo estas últimas indispensables no solo en la teoría de la probabilidad sino también en varias otras ramas de la ciencia.

Debe comprenderse claramente que las constantes matemáticas y las tablas de referencia que ya poseemos, aunque muy extensas, son solo una parte infinitesimal de lo que podría formarse.

Con el progreso de la ciencia, la tabulación de nuevas funciones será exigida continuamente, y vale la pena considerar si los fondos públicos no deberían estar disponibles para recompensar la ardua, prolongada y por lo general ingrata labor que debe llevarse a cabo al calcular tablas. Semejantes trabajos benefician a toda la raza humana mientras esta exista, aunque son pocos los que pueden apreciar la magnitud de este beneficio.

Una descripción de lo más interesante y excelente de muchas tablas matemáticas se encuentra en el artículo de De Morgan sobre Tables, en la English Cyclopædia, División de Artes y Ciencias, vol. vii, p. 976. Un catálogo crítico casi exhaustivo de las tablas existentes está siendo publicado por un Comité de la Asociación Británica; dos partes, redactadas principalmente por el Sr. J. W. L. Glaisher y el profesor Cayley, ya han aparecido en los Informes de la Asociación de 1873 y 1875.

# Constantes físicas.

La segunda clase de constantes contiene aquellas que se refieren a la constitución real de la materia. En su mayor parte dependen de las peculiaridades de la sustancia química en cuestión, pero podemos empezar con aquellas que son de carácter más general. En una primera subclase podemos situar la velocidad de las ondulaciones de la luz o del calor, los números que expresan la relación entre las longitudes de las ondulaciones y la rapidez de las ondulaciones, dependiendo estos números únicamente de las propiedades del medio etéreo, y siendo probablemente los mismos en todas partes del universo. La teoría del calor da lugar a varios números de la más alta importancia, especialmente el equivalente mecánico del calor de Joule, el cero absoluto de temperatura, la temperatura media del espacio vacío, etc.

Teniendo en cuenta las diversas propiedades de los elementos, debemos tener tablas de los pesos atómicos, los calores específicos, las gravedades específicas, los poderes refractivos, no solo de los elementos, sino de sus casi infinitamente numerosos compuestos. Las propiedades de dureza, elasticidad, viscosidad, dilatación por el calor, conductividades térmica y eléctrica, deben determinarse también con inmenso detalle. Hay, sin embargo, ciertos de estos números que destacan de manera prominente porque sirven como unidades intermedias o términos de comparación. Tales son, por ejemplo, los coeficientes absolutos de dilatación del aire, el agua y el mercurio, la temperatura de la máxima densidad del agua, los calores latentes del agua y el vapor, el punto de ebullición del agua a presión normal, los puntos de fusión y ebullición del mercurio, etcétera.

# Constantes astronómicas.

La tercera gran clase consiste en números que poseen mucha menor generalidad porque no se refieren a las propiedades de la materia, sino a las formas especiales y a las distancias en que la materia se ha dispuesto en la parte del universo abierta a nuestro examen.

Tenemos, ante todo, que definir la magnitud y forma de la tierra, su densidad media, la constante de aberración de la luz, que expresa la relación entre la velocidad media de la tierra en el espacio y la velocidad de la luz.

Desde la tierra, como nuestro observatorio, procedemos luego a establecer las distancias medias del sol y de los planetas desde ese mismo centro; todos los elementos de las órbitas planetarias, las magnitudes, densidades, masas y periodos de rotación axial de los diversos planetas se determinan gradualmente con creciente precisión.

Las mismas labores deben realizarse para los satélites.
No deben omitirse los catálogos de cometas con los elementos de sus órbitas, en la medida en que puedan determinarse.

Desde la órbita de la tierra como una nueva base de observaciones, pasamos a continuación a explorar los cielos y a determinar las posiciones aparentes, magnitudes, movimientos, distancias, periodos de variación, etc., de las estrellas. Todos los catálogos estelares, desde los de Hiparco y Tycho, están repletos de números que expresan burdamente la conformación del universo visible.

Pero es obvio que las labores de los astrónomos no tienen fin; no solo hay millones de estrellas distantes que aguardan sus primeras mediciones, sino que las ya registradas exigen un escrutinio interminable en lo que respecta a sus movimientos en las tres dimensiones del espacio, sus periodos de revolución y sus cambios de brillo y color. Es evidente que, aunque los números astronómicos se denominuen convencionalmente constantes, probablemente estén sujetos en todos los casos a una variación más o menos rápida.

# Números terrestres.

Nuestro conocimiento del globo que habitamos comprende muchas determinaciones numéricas que tienen poca o ninguna conexión con la teoría astronómica.

Las alturas extremas de las principales montañas, las elevaciones medias de los continentes, las profundidades medias o extremas de los océanos, las gravedades específicas de las rocas, la temperatura de las minas, la multitud de números que expresan las condiciones meteorológicas o magnéticas de cada parte de la superficie, deben incluirse en esta clase.

Muchos de estos números no pueden llamarse constantes, al estar sujetos a cambios periódicos o seculares, pero de hecho apenas son más variables que algunos que en la ciencia astronómica se establecen como constantes. En muchos casos, las cantidades que parecen más variables pueden experimentar cambios rítmicos que resultan en un promedio casi uniforme, y solo en el largo progreso de la investigación física podemos esperar discriminar con éxito entre aquellos números elementales que son fijos y aquellos que varían. En este último caso, la ley de variación se convierte en la relación constante que es el objeto de nuestra búsqueda.

# Números orgánicos.

Habiendo quedado suficientemente definidas las formas y propiedades de la naturaleza bruta por las clases anteriores de números, el mundo orgánico, tanto vegetal como animal, queda pendiente y ofrece una serie superior de fenómenos para nuestra investigación.

Todo conocimiento exacto relativo a las formas y tamaños de los seres vivos, sus números, las cantidades de diversos compuestos que consumen, contienen o excretan, su energía muscular o nerviosa, etc., debe situarse aparte en una clase por sí mismo.

Todos estos números están sin duda más o menos sujetos a variación, y solo en un grado menor son susceptibles de una determinación exacta.

El hombre, en la medida en que es un animal y en lo que respecta a su forma física, también debe ser tratado en esta clase.

# Números Sociales.

Poca alusión es necesario hacer en esta obra al hecho de que el hombre, en sus relaciones económicas, sanitarias, intelectuales, estéticas o morales, puede convertirse en objeto de las ciencias, la más alta y útil de todas las ciencias.

Todo aquel que se dedica a la investigación estadística debe reconocer la posibilidad de leyes naturales que rigen tales hechos estadísticos.

Por consiguiente, debemos asignar un lugar distinto a la información numérica relativa a las cantidades, edades, condición física y sanitaria, mortalidad, etc., de los diferentes pueblos, en suma, a las estadísticas vitales.

Las estadísticas económicas, que comprenden las cantidades de mercancías producidas, existentes, intercambiadas y consumidas, constituyen otro extenso cuerpo de ciencia.

En el transcurso del tiempo, la investigación exacta posiblemente conquiste regiones de fenómenos que actualmente desafían todo tratamiento científico. Que el método científico pueda agotar alguna vez los fenómenos de la mente humana es increíble.