A medida que la ciencia física avanza, se vuelve más y más rigurosamente cuantitativa. Las cuestiones de simple hecho lógico, transcurrido un tiempo, se resuelven en cuestiones de grado, tiempo, distancia o peso. Fuerzas apenas sospechadas por una generación son claramente reconocidas por la siguiente, y medidas con precisión por la tercera.

Pero una condición de este rápido avance es la invención de instrumentos de medición adecuados. Necesitamos lo que Francis Bacon llamó Instantiæ citantes o evocantes, métodos para hacer perceptibles a los sentidos los fenómenos diminutos; y también requerimos Instantiæ radii o curriculi, es decir, instrumentos de medida.

En consecuencia, la introducción de un nuevo instrumento suele constituir una época en la historia de la ciencia. Como dijo Davy: «Nada contribuye tanto al avance del conocimiento como la aplicación de un nuevo instrumento. Las facultades intelectuales innatas de los hombres en distintas épocas no son tanto las causas del éxito dispar de sus labores como la naturaleza peculiar de los medios y recursos artificiales de que disponen».

A falta, en efecto, de una teoría avanzada y de poder analítico, un instrumento muy preciso resultaría inútil.

El aparato de medición y la teoría matemática deben avanzar pari passu, y con la misma precisión con que el teórico puede anticipar los resultados, el experimentalista debe ser capaz de compararlos con la experiencia. Las observaciones escrupulosamente precisas de Flamsteed fueron el complemento adecuado para las intensas facultades matemáticas de Newton.

Toda rama del saber comienza con nociones cuantitativas de un carácter muy rudimentario.

Después de haber avanzado mucho, a menudo resulta divertido mirar atrás, hacia la infancia de la ciencia, y contrastar los métodos actuales con los pasados.

En el Observatorio de Greenwich, en la actualidad, la centésima parte de un segundo no se considera una porción de tiempo insignificante.

Los antiguos caldeos registraron un eclipse con una precisión de hasta la hora más cercana, y los primeros astrónomos alejandrinos consideraron superfluo distinguir entre el borde y el centro del sol.

Con la introducción del astrolabio, Ptolomeo y los astrónomos alejandrinos posteriores pudieron determinar las posiciones de los cuerpos celestes con una aproximación de unos diez minutos de arco.

Poco progreso se produjo entonces durante trece siglos, hasta que Tycho Brahe dio el primer gran paso hacia la precisión, no solo empleando mejores instrumentos, sino aún más al dejar de considerar que un instrumento es correcto.

Tycho, de hecho, determinó los errores de sus instrumentos y corrigió sus observaciones. También tomó nota de los efectos de la refracción atmosférica y logró alcanzar una precisión a menudo sesenta veces mayor que la de Ptolomeo.

Sin embargo, Tycho y Hevelius erraban a menudo varios minutos en la determinación de la posición de una estrella, y fue un gran logro de Rœmer y Flamsteed reducir este error a segundos. Bradley, el Hiparco moderno, continuó el perfeccionamiento; sus errores en ascensión recta, según Bessel, eran inferiores a un segundo de tiempo, y los de declinación, inferiores a cuatro segundos de arco.

En la actualidad, el error medio de una sola observación se ha reducido probablemente a la mitad o a la cuarta parte de lo que era en la época de Bradley; y se alcanza una exactitud extrema adicional mediante la multiplicación de las observaciones y su hábil combinación según la teoría de los errores.

Algunas de las constantes más importantes, por ejemplo la de la nutación, se han determinado con un margen inferior a la décima parte de un segundo de arco.‍¹

Sería de gran interés rastrear la dependencia de este progreso respecto a la introducción de nuevos instrumentos.

El astrolabio de Ptolomeo,
el telescopio de Galileo,
el péndulo de Galileo y Huyghens,
el micrómetro de Horrocks,
y las miras telescópicas y el micrómetro de Gascoygne y Picard,
el instrumento de pasos de Rœmer,
el cuadrante de Newton y Hadley,
las lentes acromáticas de Dollond,
el cronómetro de Harrison,
y la máquina divisoria de Ramsden: tales fueron algunas de las principales adiciones al aparato astronómico.

El resultado es que ahora tomamos nota de cantidades 300.000 o 400.000 veces más pequeñas que en la época de los caldeos.

Volvería a ser interesante comparar la escrupulosa precisión de un estudio trigonométrico moderno con la tosca pero ingeniosa conjetura de Eratóstenes sobre la diferencia de latitud entre Alejandría y Siena, o con la medición de un grado de latitud realizada por Norwood en 1635.

«A veces medí, a veces di pasos —dijo Norwood—, y creo que no me aparto de la verdad por casi nada».

Tal fue el germen de aquellas elaboradas mediciones geodésicas que han permitido conocer las dimensiones del globo con un margen de error de pocos cientos de yardas.

En otras ramas de la ciencia, la invención de un instrumento casi siempre ha marcado, cuando no propiciado, una época.

Podría decirse que la ciencia del calor comienza con la construcción del termómetro, y recientemente ha avanzado gracias a la introducción de la pila termoeléctrica.

La química se ha creado principalmente mediante el uso minucioso de la balanza, la cual constituye un ejemplo único de instrumento que se ha mantenido prácticamente en la forma en que Arquímedes la aplicó por primera vez con fines científicos. La balanza jamás ha sido mejorada, y probablemente nunca podrá serlo, salvo en detalles de su construcción.

La balanza de torsión, introducida por Coulomb hacia finales del siglo pasado, se ha vuelto rápidamente indispensable en muchas ramas de la investigación. En manos de Cavendish y Baily, permitió determinar la densidad de la tierra; aplicada en el galvanómetro, proporcionó una medida delicada de las fuerzas eléctricas, y resulta indispensable en la pila termoeléctrica.

Esta balanza se fabrica simplemente suspendiendo cualquier varilla ligera mediante un hilo o alambre delgado sujeto a su punto medio. Y a ella le debemos casi todas las investigaciones de mayor precisión en las teorías del calor, la electricidad y el magnetismo.

Aunque ahora podemos registrar la millonésima parte de una pulgada en el espacio y la millonésima parte de un segundo en el tiempo, no debemos pasar por alto el hecho de que en otras operaciones de la ciencia aún nos encontramos en la posición de los caldeos.

No han transcurrido muchos años desde que las magnitudes de las estrellas, es decir, las cantidades de luz que envían al ojo del observador, se calculaban de la manera más rudimentaria, y el astrónomo adjudicaba una estrella a este o aquel orden de magnitud mediante una comparación aproximada con otras estrellas del mismo orden. A sir John Herschel le debemos un intento de introducir un método uniforme de medición y expresión, que guardara cierta relación con las magnitudes fotométricas reales de las estrellas.‍²

Antes de las investigaciones de Bunsen y Roscoe sobre la acción química de la luz, carecíamos de cualquier modo de medir la energía lumínica; incluso ahora los métodos son tediosos y no está claro que midan la energía de la luz tanto como uno de sus efectos especiales.

Muchos fenómenos naturales apenas han sido objeto de medición, como la intensidad del sonido, los fenómenos del gusto y del olfato, la magnitud de los átomos, la temperatura de la chispa eléctrica o de la fotosfera del sol.

Suponer, pues, que la ciencia cuantitativa trata únicamente de cantidades exactamente mensurables es un grave error, por muy común que sea.

Siempre que tratamos de un acontecimiento que o bien ocurre por completo o bien no ocurre en absoluto, nos enfrentamos a un fenómeno no cuantitativo, a una cuestión de hecho, no de grado; pero siempre que una cosa pueda ser mayor o menor, o dos o tres veces mayor que otra, siempre que, en resumen, la razón intervenga aunque sea de la manera más rudimentaria, allí la ciencia tendrá un carácter cuantitativo.

Pocas dudas puede haber, en verdad, de que toda ciencia, a medida que progresa, se irá volviendo gradual y progresivamente más cuantitativa.

La precisión numérica es el alma de la ciencia, como decía Herschel, y dado que todos los objetos naturales existen en el espacio e implican movimientos moleculares, mensurables en velocidad y magnitud, no hay un límite aparente para la expansión definitiva de la ciencia cuantitativa.

Pero el lector no debe suponer ni por un momento que, por el hecho de depender cada vez más de los métodos matemáticos, dejamos atrás los métodos lógicos. El número, como he procurado demostrar, es lógico en su origen, y la cantidad no es sino un desarrollo del número, o algo análogo a este.

# División del Asunto.

El tema general de la investigación cuantitativa tendrá que dividirse en varias partes.

Consideraremos en primer lugar los medios de que disponemos para medir los fenómenos y hacerlos así más o menos susceptibles de tratamiento matemático. Esta tarea implicará un análisis de los principios en los que se fundamentan los métodos precisos de medición, lo cual constituirá el tema del resto del presente capítulo.

Sin embargo, como la medición solo arroja razones, en el siguiente capítulo debemos considerar el establecimiento de magnitudes unitarias, en cuyos términos puedan expresarse nuestros resultados.

Como cada fenómeno es por lo general la suma de varias cantidades distintas que dependen de diferentes causas, a continuación debemos investigar en el capítulo XV los métodos mediante los cuales podemos desentrañar efectos complicados y atribuir cada parte del efecto conjunto a su causa independiente.

Aún nos queda por tratar en los capítulos siguientes de la inducción cuantitativa, propiamente dicha. Debemos seguir el método lógico inverso, tal como se presenta en problemas de un grado de dificultad mucho mayor que aquellos que tratan de objetos relacionados de un modo lógicamente simple, e incapaces de fundirse entre sí por adición y sustracción.

Cantidad Continua.

Los fenómenos de la naturaleza se manifiestan en su mayor parte en cantidades que aumentan o disminuyen de forma continua.

Cuando investigamos el significado preciso de cantidad continua, descubrimos que solo puede describirse como aquello que es divisible sin límite. Podemos dividir un milímetro en diez, o cien, o mil, o diez mil partes, y mentalmente al menos podemos continuar la división ad infinitum.

Cualquier espacio finito, por tanto, debe concebirse como compuesto por un número infinito de partes, cada una infinitamente pequeña. No podemos concebir las nociones geométricas más simples sin admitir esto. La concepción de un cuadrado implica la concepción de un lado y una diagonal, los cuales, como demuestra bellamente Euclides en la proposición 117 de su décimo libro, no tienen medida común,‍³ es decir, ninguna medida común finita.

Las cantidades incomensurables son, de hecho, aquellas que tienen por única medida común una cantidad infinitamente pequeña. Resulta asimismo un tanto sorprendente descubrir que, en teoría, las cantidades incomensurables serán infinitamente más frecuentes que las comensurables. Trásense dos líneas cualesquiera al azar; es infinitamente improbable que sean comensurables, de modo que las cantidades comensurables, con las que se supone que tratamos en la práctica, no son sino casos singulares entre un número infinitamente mayor de casos incomensurables.

Prácticamente, sin embargo, tratamos todas las cantidades como compuestas por las cantidades más pequeñas que nuestros sentidos, asistidos por los mejores instrumentos de medición, pueden percibir. Mientras los microscopios no se habían inventado, era suficiente considerar una pulgada como compuesta por mil milésimas de pulgada; ahora debemos tratarla como compuesta por un millón de millonésimas. Aparentemente podríamos evitar toda mención de cantidades infinitamente pequeñas al no llevar nunca nuestras aproximaciones más allá de las cantidades que los sentidos pueden apreciar.

En geometría, así tratada, nunca deberíamos afirmar que dos cantidades son iguales, sino solo que son aparentemente iguales. Legendre adopta realmente este modo de tratamiento en la vigésima proposición del primer libro de su Geometría; y se adopta prácticamente en todas las ciencias físicas, como veremos más adelante.

Pero aunque nuestros dedos, y sentidos, y instrumentos deban detenerse en alguna parte, no hay razón para que la mente no continúe. Podemos ver que una demostración que de hecho solo se lleva a cabo a través de unos pocos pasos, podría continuarse sin límite, y es esta conciencia de la ausencia de un lugar de detención lo que hace que la demostración de Euclides de su 117.ª proposición sea tan impresionante. Por mucho que intentemos soslayar el asunto, no podemos evitar realmente la consideración de lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Los mismos métodos de aproximación que parecen confinados a lo finito, se extienden mentalmente a lo infinito.

Un resultado de estas consideraciones es que nos es totalmente imposible ajustar dos cantidades en absoluta igualdad.

La suspensión del ataúd de Mahoma entre dos imanes con precisión exacta es teóricamente concebible pero prácticamente imposible. La trama de El mercader de Venecia gira en torno a la infinita improbabilidad de que pudiera cortarse una cantidad exacta de carne.

El equilibrio inestable no puede existir en la naturaleza, pues es aquel que queda destruido por un desplazamiento infinitamente pequeño. Podría ser posible equilibrar un huevo sobre su extremo en la práctica, porque ningún huevo tiene una superficie de curvatura perfecta. Supóngase que la cáscara del huevo es perfectamente lisa, y la hazaña se volvería imposible.

# Las indicaciones falaces de los sentidos.

Puedo recordar brevemente al lector cuán poco podemos confiar en nuestros sentidos sin ayuda al estimar el grado o la magnitud de cualquier fenómeno.

El ojo no puede estimar correctamente el brillo comparativo de dos cuerpos luminosos que difieren mucho en brillantez; pues sabemos que el iris se adapta constantemente a la intensidad de la luz recibida, admitiendo así más o menos luz según las circunstancias.

La luna, que brilla con un brillo casi deslumbrante por noche, es pálida y casi imperceptible mientras el ojo aún está afectado por la luz, infinitamente más potente, del día.

Se ha escrito mucho sobre el brillo comparativo de la luz zodiacal en diferentes momentos, pero sería difícil demostrar que estos cambios no se deben a la oscuridad variable del momento o a la diferente agudeza del ojo del observador.

Por una razón similar, es sumamente difícil establecer la existencia de cualquier cambio en la forma o el brillo comparativo de las nebulosas; la apariencia de una nebulosa depende en gran medida de la agudeza visual del observador, o de la condición accidental de frescura o fatiga de su ojo.

Lo mismo ocurre con las observaciones lunares; e incluso el uso del mejor telescopio no logra eliminar esta dificultad.

Al juzgar los colores, además, debemos recordar que la luz de cualquier color dado tiende a embotar la sensibilidad del ojo a la luz del mismo color.

Tampoco es el ojo, cuando carece de la ayuda de instrumentos, un juez mucho mejor de las magnitudes. Nuestras estimaciones sobre el tamaño de los puntos brillantes diminutos, como las estrellas fijas, están completamente falsificadas por los efectos de la irradiación. Tycho calculó, a partir del tamaño aparente de los discos estelares, que ninguna de las principales estrellas fijas cabría dentro del área de la órbita terrestre.

Aparte, sin embargo, de la irradiación o de otras causas distintas de error, nuestras estimaciones visuales de los tamaños y las formas son a menudo sorprendentemente incorrectas. Los artistas casi invariablemente dibujan las montañas distantes en una proporción ridícula respecto a los objetos más cercanos, como demuestra de inmediato la comparación entre un boceto y una fotografía.

La extraordinaria diferencia aparente en el tamaño del sol o de la luna, según se encuentre alto en los cielos o cerca del horizonte, debería ser suficiente para hacernos cautos al aceptar las indicaciones más evidentes de nuestros sentidos, sin la ayuda de la medición instrumental.

En cuanto a las afirmaciones sobre la altura de la aurora boreal y la distancia de los meteoros, hay que desconfiar por completo de ellas. Cuando el capitán Parry afirma que un rayo de la aurora se precipitó repentinamente hacia abajo entre él y la tierra, que se encontraba a tan solo 3000 yardas de distancia, debemos considerar que fue víctima de una ilusión de los sentidos.‍⁴

Es verdad que los errores de observación son más a menudo errores de juicio que de los sentidos. Lo que realmente se ve debe ser verdaderamente visto hasta ese punto; y si interpretamos correctamente el significado del fenómeno, no habría error en absoluto. Pero la debilidad de los sentidos desnudos como instrumentos de medición surge del hecho de que introducen condiciones variables de magnitud desconocida, y no podemos hacer las correcciones y desvíos necesarios como en el caso de un instrumento sólido e invariable.

Bacon has excellently stated the insufficiency of the senses for estimating the magnitudes of objects, or detecting the degrees in which phenomena present themselves.

“Things escape the senses,” he says, “because the object is not sufficient in quantity to strike the sense: as all minute bodies; because the percussion of the object is too great to be endured by the senses: as the form of the sun when looking directly at it in mid-day; because the time is not proportionate to actuate the sense: as the motion of a bullet in the air, or the quick circular motion of a firebrand, which are too fast, or the hour-hand of a common clock, which is too slow; from the distance of the object as to place: as the size of the celestial bodies, and the size and nature of all distant bodies; from prepossession by another object: as one powerful smell renders other smells in the same room imperceptible; from the interruption of interposing bodies: as the internal parts of animals; and because the object is unfit to make an impression upon the sense: as the air or the invisible and untangible spirit which is included in every living body.”

Complejidad de las preguntas cuantitativas.

Una observación que bien podemos hacer al adentrarnos en cuestiones cuantitativas se refiere a la gran variedad y extensión de los fenómenos que se presentan a nuestra atención.

Tan pronto como tratamos únicamente con una cuestión simplemente lógica, esa cuestión se reduce a: ¿Ocurre cierto evento? o ¿Existe cierto objeto?

Apenas consideramos que el evento o el objeto es susceptible de más y menos, la cuestión se ramifica en muchas. Debemos preguntar ahora:

¿Cuánto es en comparación con su causa?
¿Cambia cuando cambia la cantidad de la causa?
Si es así, ¿cambia en la misma dirección o en la opuesta?
¿Es el cambio en proporción simple al de la causa?
Si no, ¿qué ley de conexión más compleja se cumple?

Esta ley, determinada satisfactoriamente en una serie de circunstancias, puede variar bajo nuevas condiciones, y las relaciones más complejas de varias cantidades pueden establecerse en última instancia.

En toda cuestión de ciencia física existe, por tanto, una serie de pasos, de los cuales el primero o los dos primeros suelen darse con facilidad, mientras que los siguientes exigen mediciones cada vez más cuidadosas.

No podemos establecer ninguna serie invariable de preguntas que deban plantearse a la naturaleza. El carácter exacto de las preguntas variará según la naturaleza del caso, pero por lo general serán de una índole evidente, y podremos ilustrarlas fácilmente con ejemplos.

Supongamos que estamos investigando la disolución de cierta sal en agua.

La primera es una cuestión puramente lógica: ¿Hay disolución, o no la hay?

Suponiendo que la respuesta sea afirmativa, nos preguntamos a continuación: ¿Varía la solubilidad con la temperatura, o no?

Con toda probabilidad existirá cierta variación, y debemos tener una respuesta a la siguiente pregunta: ¿Aumenta la cantidad disuelta, o disminuye con la temperatura?

Con mucho, en el mayor número de casos, las salinas y sustancias de todo tipo se disuelven más libremente cuanto más alta es la temperatura del agua; pero hay unas pocas sales, como el sulfato de calcio, que siguen la regla opuesta.
Un número considerable de sales se asemejan al sulfato de sodio en volverse más solubles hasta cierta temperatura, y luego variar en la dirección opuesta.

Necesitamos a continuación asignar la cantidad de variación en comparación con la de la temperatura, suponiendo en primer lugar que el aumento de solubilidad es proporcional al aumento de temperatura.

La sal común es un ejemplo de variación muy ligera, y el nitrato de potasio, de un aumento muy considerable con la temperatura.

Las observaciones precisas probablemente demostrarán, sin embargo, que la ley simple de variación proporcional es solo aproximadamente verdadera, y que en última instancia podrá establecerse alguna ley más complicada que involucre la segunda, tercera u otras potencias superiores de la temperatura.

Todas estas investigaciones tienen que llevarse a cabo para cada sal por separado, ya que aún no se han descubierto principios claros mediante los cuales podamos inferir de una sustancia a otra.

Queda todavía abierto un campo indefinido para futuras investigaciones; pues la solubilidad de las sales variará probablemente con la presión a la que esté sometido el medio; y la presencia de otras sales ya disueltas puede tener efectos aún desconocidos.

Las investigaciones ya realizadas en lo que respecta al poder disolvente del agua deben repetirse con alcohol, éter, bisulfuro de carbono y otros medios, de modo que, a menos que se puedan descubrir leyes generales, este único fenómeno de la solución no podrá ser tratado jamás de manera exhaustiva.

El mismo tipo de preguntas reaparece en lo que concierne a la solución o absorción de gases en líquidos, teniendo entonces tanto la presión como la temperatura un efecto de lo más decidido, y las investigaciones del profesor Roscoe sobre el tema presentan un ejemplo excelente de la determinación sucesiva de varias leyes complicadas.‍⁵

No hay apenas ninguna rama de la ciencia física en la que no se tropiece tarde o temprano con complicaciones similares.

En el caso de la gravedad, en verdad, llegamos a la ley definitiva de que la fuerza es la misma para toda clase de materia y solo varía con la distancia de la acción. Pero en otros temas las leyes, si bien simples en su naturaleza última, se ven disimuladas y complicadas en sus resultados aparentes.

Así, el efecto del calor al dilatar los sólidos, y el efecto inverso de la extensión o compresión forzadas sobre la temperatura de un cuerpo, variarán de una sustancia a otra, variarán según que la temperatura sea ya más alta o más baja, y probablemente seguirán una ley sumamente compleja, que en algunos casos arroja resultados negativos o excepcionales.

En las sustancias cristalinas hay que repetir las mismas investigaciones en cada dirección axial distinta.

En las ciencias de observación pura, como las de la astronomía, la meteorología y el magnetismo terrestre, encontramos muchas series interesantes de determinaciones cuantitativas. Las llamadas estrellas fijas, como adivinó Giordano Bruno, no son verdaderamente fijas, y con mayor exactitud pueden describirse como vastos orbes errantes, cada uno de los cuales sigue su propia trayectoria a través del espacio. Debemos entonces determinar por separado para cada estrella las siguientes cuestiones:—

¿Se mueve?
¿En qué dirección?
¿A qué velocidad?
¿Es esta velocidad variable o uniforme?
Si es variable, ¿según qué ley?
¿Es la dirección uniforme?
Si no lo es, ¿cuál es la forma de la trayectoria aparente?
¿Se acerca o se aleja?
¿Cuál es la forma de la trayectoria real?

Las sucesivas respuestas a tales preguntas, en el caso de ciertas estrellas binarias, han proporcionado una prueba de que los movimientos se deben a una fuerza central que coincide en su ley con la gravedad, y que sin duda es idéntica a ella.

En otros casos, los movimientos son por lo general tan pequeños que resulta sumamente difícil distinguirlos con certeza. Y aún falta mucho tiempo para que puedan establecerse resultados generales en lo que respecta a los movimientos estelares.

La variación en el brillo de las estrellas abre un campo ilimitado para la observación curiosa. No hay una sola estrella en los cielos acerca de la cual no podamos tener que determinar:—

¿Varía en brillo?
¿El brillo está aumentando o disminuyendo?
¿La variación es uniforme?
Si no es así, ¿conforme a qué ley varía?

En la mayoría de los casos probablemente se descubrirá que el cambio tiene un carácter periódico, en cuyo caso surgirán varias otras preguntas, tales como:

¿Cuál es la duración del período?
¿Hay períodos menores?
¿Cuál es la ley de variación dentro del período?
¿Hay algún cambio en la cantidad de variación?
Si es así, ¿se trata de un cambio secular, es decir, un cambio que crece continuamente, o da indicios de un período mayor?

Ya se han determinado con exactitud los cambios periódicos de cierto número de estrellas, y la duración de los periodos varía desde menos de tres días hasta intervalos de tiempo al menos 250 veces mayores.

También se han detectado periodos dentro de periodos.

No hay, tal vez, ningún asunto en el que deban determinarse condiciones cuantitativas más complicadas que el magnetismo terrestre. Desde la época en que se advirtió por primera vez la declinación de la brújula, según algunos por Colón, hemos asistido de vez en cuando a descubrimientos sucesivos del cambio progresivo de la declinación de siglo en siglo; del carácter periódico de este cambio; de la diferencia de la declinación en varias partes de la superficie de la tierra; de las leyes variables del cambio de declinación; de la inmersión o inclinación de la aguja, y las leyes correspondientes de sus cambios periódicos; las intensidades horizontal y perpendicular también han sido objeto de medición exacta, y se ha encontrado que varían con el lugar y el tiempo, al igual que las direcciones de la aguja; también se han detectado cambios periódicos diarios y anuales, y se halla que todos los elementos están sujetos a tormentas ocasionales o perturbaciones anormales, en las cuales resulta evidente el período de once años, conocido ahora por ser común a muchas relaciones planetarias.

La solución completa de estos movimientos de la aguja de la brújula implica nada menos que la determinación de su posición y oscilaciones en cada parte del mundo en cualquier época, la determinación similar para otra época, y así sucesivamente, una y otra vez, hasta que se determinen los períodos de todos los cambios.

Este único tema ofrece a los hombres de ciencia un campo casi inagotable para una investigación cuantitativa interesante, en el cual sin duda descubriremos en algún tiempo futuro el funcionamiento de causas ahora de lo más misteriosas e inexplicables.

# Los métodos de medición precisa.

Al estudiar los métodos con los que los físicos han llevado a cabo mediciones muy exactas, hallamos que son muy variados, pero que tal vez puedan reducirse a las tres clases siguientes:—

El aumento o disminución, en alguna proporción determinada, de la cantidad que ha de medirse, con el fin de situarla dentro del alcance de nuestros sentidos y equipararla con la unidad patrón, o con algún múltiplo o submúltiplo determinado de dicha unidad.

El descubrimiento de alguna conjunción natural de acontecimientos que nos permita comparar directamente los múltiplos de la cantidad con los de la unidad, o una cantidad relacionada en una razón definida con dicha unidad.

Medición indirecta, que nos da no la cantidad en sí misma, sino alguna otra cantidad conectada con ella mediante relaciones matemáticas conocidas.

Condiciones para una medición precisa.

Se requieren varias condiciones para que una medición pueda realizarse con gran exactitud y para que los resultados concuerden estrechamente cuando se realizan varias mediciones independientes.

En primer lugar, la magnitud debe ser definida exactamente mediante límites nítidos o marcas precisas de grosor inconsiderable. Cuando un límite es vago y gradual, como la penumbra en un eclipse lunar, es imposible decir dónde está realmente el final, y distintas personas llegarán a resultados diferentes.

A veces podemos superar esta dificultad hasta cierto punto mediante observaciones repetidas de un modo especial, como veremos más adelante; pero, cuando sea posible, debemos elegir ocasiones para la medición en las que la definición precisa sea fácil.

El momento de la ocultación de una estrella por la luna puede observarse con gran exactitud, porque la estrella desaparece con perfecta repentinidad; pero hay otras conjunciones astronómicas, eclipses, tránsitos, etc., que ocupan cierto tiempo en suceder y, por tanto, abren el camino a las divergencias de opinión. Sería imposible observar con precisión los movimientos de un cuerpo que no poseyera puntos de referencia definidos.

Los colores del espectro completo se funden entre sí de forma tan continua que las determinaciones exactas de los índices de refracción habrían sido imposibles si no dispusiéramos de las líneas oscuras del espectro solar como puntos precisos de medición, o de varios tipos de luz homogénea, como la del sodio, que posee una longitud de vibración casi uniforme.

En segundo lugar, no podemos medir con precisión a menos que dispongamos de los medios para multiplicar o dividir una cantidad sin incurrir en un error considerable, de modo que podamos igualar correctamente una magnitud con el múltiplo o submúltiplo de la otra. En algunos casos operamos sobre la cantidad que se va a medir y la hacemos coincidir con precisión con el patrón real, como cuando en fotometría variamos la distancia de nuestro cuerpo luminoso hasta que su poder iluminador en un punto determinado sea igual al de una lámpara patrón. En otros casos repetimos la unidad hasta que iguala al objeto, como al medir terrenos o determinar un peso mediante la balanza. Los requisitos de la precisión ahora son:—(1) Que podamos repetir unidad tras unidad de exactamente igual magnitud; (2) Que estas puedan unirse de modo que el agregado sea realmente la suma de las partes. Las mismas condiciones se aplican a la subdivisión, la cual puede considerarse como una multiplicación de unidades subordinarias. Para medir hasta la milésima de pulgada, debemos ser capaces de sumar milésima tras milésima sin error en la magnitud de estos espacios, ni en su conjunción.

# Instrumentos de medición.

Considerar la construcción mecánica de los instrumentos científicos no forma parte de mi propósito en este libro. Deseo señalar meramente el propósito general de tales instrumentos y los métodos adoptados para llevar a cabo dicho propósito con gran precisión.

En primer lugar, debemos distinguir entre el instrumento que efectúa una comparación entre dos magnitudes y la magnitud estándar que a menudo forma una de las cantidades comparadas.

El reloj del astrónomo, por ejemplo, no es ninguna medida del flujo del tiempo; sirve tan solo para subdividir, con precisión aproximada, el intervalo entre los pasos sucesivos de una estrella por el meridiano, lo cual puede efectuar tal vez hasta la diezmilésima parte de un segundo, o la 1/864000 parte del total.

El propio globo en movimiento es el verdadero reloj patrón, y el instrumento de tránsitos, la manecilla del reloj, mientras que las estrellas son las marcas de las horas, los minutos y los segundos, no por menos exactas debido a que estén dispuestas a intervalos desiguales.

El fotómetro es un instrumento sencillo mediante el cual comparamos la intensidad relativa de los rayos de luz que inciden sobre un punto dado.

El galvanómetro muestra la intensidad comparativa de las corrientes eléctricas que pasan a través de un cable.

El calorímetro mide la cantidad de calor que pasa desde un objeto dado.

Pero ninguno de estos instrumentos proporciona la unidad estándar en términos de la cual deben expresarse nuestros resultados.

En un solo caso peculiar, el mismo instrumento combina la unidad de medida y el medio de comparación.

Un teodolito, un círculo mural, un sextante u otro instrumento para la medición de magnitudes angulares no necesita una unidad física adicional; pues el círculo mismo, o revolución completa, es la unidad natural a la que se remiten todas las cantidades mayores o menores de magnitud angular.

El resultado de toda medición consiste en dar a conocer la razón puramente numérica existente entre la magnitud que ha de medirse y otra magnitud determinada, que debe ser, en la medida de lo posible, una unidad fija o magnitud estándar, o al menos una unidad intermedia cuyo valor pueda determinarse en función del estándar último.

Pero aunque una razón sea el resultado requerido, una ecuación es el modo en que dicha razón se determina y se expresa. En toda medición equiparamos algún múltiplo o submúltiplo de una cantidad con algún múltiplo o submúltiplo de otra, y la igualdad es siempre el hecho que constatamos mediante los sentidos.

Por medio de la vista, el oído o el tacto, juzgamos si existe o no discrepancia entre dos luces, dos sonidos, dos intervalos de tiempo, dos barras de metal. A menudo, de hecho, sustituimos un sentido por otro, como cuando el transcurso del tiempo se juzga por las marcas sobre una tira de papel en movimiento, de modo que intervalos de tiempo iguales quedan representados por longitudes iguales.

Existe una tendencia a reducir todas las comparaciones a la comparación de magnitudes espaciales, pero en cada caso uno de los sentidos ha de ser el juez último de la coincidencia o no coincidencia.

Puesto que la ecuación que ha de establecerse puede existir entre cualesquiera múltiplos o submúltiplos de las cantidades comparadas, surgen naturalmente varios modos diferentes de comparación adaptados a distintos casos.

Sea p la magnitud que ha de medirse, y q aquella en función de la cual debe expresarse. Deseamos entonces hallar tales números x e y para que la ecuación p = x/yq sea verdadera. Esta ecuación puede presentarse en cuatro formas, a saber:—

Primera Forma.	Segunda Forma.	Tercer curso.	Cuarto curso.
p = x / y q	p y / x = q	py = qx	p / x = q / y

Cada uno de estos modos de expresar la misma ecuación corresponde a un modo de efectuar una medición.

Cuando la cantidad estándar es mayor que la que se ha de medir, a menudo adoptamos el primer modo, y subdividimos la unidad hasta obtener una magnitud igual a la medida.

Los ángulos observados en geodesia, en astronomía o en goniometría son generalmente menores que una revolución completa, y el círculo de medición se divide mediante el uso del tornillo y el microscopio, hasta que obtenemos un ángulo indistinguible del observado.

Las dimensiones de los objetos diminutos se determinan subdividiendo la pulgada o el centímetro, siendo el micrómetro de tornillo el medio de subdivisión más preciso.

Las temperaturas ordinarias se estiman mediante la división del intervalo estándar entre los puntos de congelación y ebullición del agua, tal como están marcados en el tubo de un termómetro.

En un número quizá aún mayor de casos, multiplicamos la unidad estándar hasta obtener una magnitud igual a la que se ha de medir.

La medición ordinaria con un pie de rey, una cadena de agrimensor o las mediciones sumamente cuidadosas de la línea de base de un levantamiento trigonométrico mediante barras estándar, son ejemplos suficientes de este procedimiento.

En el segundo caso, en el que p y/x = q, multiplicamos o dividimos una magnitud hasta obtener lo que equivale a la unidad, o a alguna magnitud fácilmente comparable con ella.

Como regla general, las cantidades que deseamos medir en las ciencias físicas son demasiado pequeñas antes que demasiado grandes para su fácil determinación, y el problema consiste en multiplicarlas sin introducir errores.

Así, la dilatación de una barra metálica al calentarla de 0 °C a 100 ° puede multiplicarse mediante un tren de palancas o ruedas dentadas. En el termómetro común, la dilatación del mercurio, aunque leve, se hace muy aparente y fácilmente mesurable debido a la finura del tubo, y podrían citarse muchos otros casos.

Hay algunos fenómenos, por el contrario, que son demasiado grandes o rápidos para entrar en el ámbito accesible de nuestros sentidos, y nuestra tarea es entonces la opuesta: la disminución.

A Galileo le resultó difícil medir la velocidad de un cuerpo en caída, debido a la considerable velocidad adquirida en un solo segundo. Adoptó el elegante recurso, por lo tanto, de disminuir la rapidez haciendo rodar el cuerpo por un plano inclinado, lo que nos permite reducir la fuerza aceleradora en cualquier proporción requerida.

El mismo propósito se logra en los conocidos experimentos realizados en la máquina de Atwood, y la medición de la gravedad mediante el péndulo depende en realidad del mismo principio aplicado de un modo mucho más ventajoso.

Wheatstone inventó un hermoso método de galvanometría para corrientes intensas, que consiste en derivar de la corriente principal una cierta porción determinada, la cual es igualada por el galvanómetro a una corriente estándar. En resumen, no mide la corriente misma, sino una fracción conocida de ella.

En muchos experimentos eléctricos y de otra índole, deseamos medir los movimientos de una aguja u otro cuerpo, que no solo son muy leves en sí mismos, sino que constituyen las manifestaciones de fuerzas sumamente pequeñas.

Ni siquiera podemos acercarnos a una aguja delicadamente equilibrada sin perturbarla. En tales circunstancias, el único modo de proceder con exactitud consiste en fijar un espejo muy pequeño al cuerpo en movimiento, y emplear un rayo de luz reflejado por el espejo como índice de sus movimientos.

Puede considerarse que el rayo es totalmente incapaz de afectar al cuerpo y, sin embargo, al permitir que el rayo recorra una distancia suficiente, los movimientos del espejo pueden amplificarse casi indefinidamente.

Un rayo de luz es, de hecho, un dedo o índice perfectamente ingrávido y de longitud indefinida, con la ventaja adicional de que la desviación angular, según la ley de la reflexión, es el doble que la del espejo.

Este método fue introducido por Gauss y es hoy de gran importancia;
pero en el goniómetro de reflexión de Wollaston ya se había empleado anteriormente un rayo de luz como índice.
Lavoisier y Laplace también habían utilizado un telescopio en relación con el pirómetro.

Constituye una gran ventaja en algunos instrumentos el que puedan hacerse manifestar fácilmente un fenómeno en mayor o menor grado, mediante un cambio muy ligero en la construcción.

Así, ya sea agrandando el bulbo o contrayendo el tubo del termómetro, podemos hacer que este dé indicaciones más conspicuas de los cambios de temperatura. El barómetro ordinario, por otra parte, siempre da las variaciones de presión en una sola escala.

La balanza de torsión destaca por la extrema delicadeza que puede alcanzarse aumentando la longitud y ligereza de la varilla, y la longitud y delgadez del hilo de sujeción. Fuerzas tan diminutas como la atracción gravitatoria entre dos esferas, o la atracción magnética y diamagnética de líquidos y gases comunes, pueden hacerse patentes de este modo, e incluso medirse.

La balanza química común, también, es capaz en teoría de una sensibilidad ilimitada.

El tercer modo de medición, que puede llamarse el Método de Repetición, es de tanta importancia e interés que debemos considerarlo en una sección separada. Consiste en multiplicar ambas magnitudes a comparar hasta que algún múltiplo de la primera coincida casi exactamente con algún múltiplo de la segunda. Si la multiplicación puede efectuarse hasta un punto ilimitado, sin la introducción de errores compensatorios, la precisión con la que se puede determinar la razón requerida es ilimitada, y así explicamos la extraordinaria precisión con la que se comparan entre sí los intervalos de tiempo en astronomía.

El cuarto modo de medición, en el cual igualamos submúltiplos de dos magnitudes, se emplea comparativamente raras veces, porque no conduce a la exactitud.

En el fotómetro, tal vez, pueda decirse que lo usamos; comparamos la intensidad de dos fuentes de luz colocándolas ambas a tales distancias de una superficie dada, que la luz que incide sobre la superficie es tolerable para el ojo e igualmente intensa en ambas fuentes.

Puesto que la intensidad de la luz varía inversamente al cuadrado de la distancia, las intensidades relativas de los cuerpos luminosos son proporcionales a los cuadrados de sus distancias.

La intensidad igual de dos rayos de luz de colores similares puede determinarse con la máxima exactitud en el modo sugerido por Arago, a saber, haciendo que los rayos pasen en direcciones opuestas a través de dos lentes casi planas presionadas juntas. Hay una ecuación exacta entre las intensidades de los haces cuando los anillos de Newton desaparecen, siendo el anillo creado por un rayo exactamente el complementario del creado por el otro.

# El Método de Repetición.

La razón de dos cantidades puede determinarse con precisión ilimitada, si podemos multiplicar tanto el objeto de medición como la unidad estándar sin error, y luego observar qué múltiplo del primero coincide o casi coincide con algún múltiplo de la segunda.

Aunque nunca se puede alcanzar verdaderamente la coincidencia perfecta, el error así surgido puede reducirse indefinidamente. Pues si la ecuación py = qx es incierta en una cantidad e, de modo que py = qx ± e, entonces tenemos p = q x/y ± e/y , y como se supone que podemos hacer que y sea tan grande como queramos sin aumentar el error e, se sigue que podemos hacer que e ÷ y sea tan pequeño como queramos, y así aproximarnos dentro de una cantidad insignificante a la razón requerida x ÷ y.

Este método de repetición se emplea de forma natural siempre que las cantidades puedan repetirse, o repetirse a sí mismas sin error de yuxtaposición, lo que ocurre especialmente con los movimientos de la tierra y de los cuerpos celestes.

Al determinar la duración del día sidéreo, determinamos la relación entre la revolución de la tierra alrededor del sol y su rotación sobre su propio eje.

Podríamos determinar esta relación observando los pasos sucesivos de una estrella por el cenit, y comparando el intervalo mediante un buen reloj con el que media entre dos pasos del sol, debiéndose la diferencia al movimiento angular de la tierra alrededor del sol.

En tales observaciones tendríamos un error de una parte considerable de segundo en cada observación, además de las irregularidades del reloj.

Pero las revoluciones de la tierra se repiten día tras día, y año tras año, sin el más mínimo intervalo entre el fin de un período y el principio de otro.

La operación de multiplicación es realizada perfectamente por la naturaleza. Si, por lo tanto, podemos encontrar una observación del paso de una estrella por el meridiano hace cien años, es decir, del intervalo de tiempo entre el paso del sol y el de la estrella, los errores instrumentales al medir este intervalo mediante un reloj y un telescopio podrán ser mayores que en la actualidad, pero quedarán divididos por unos 36.524 días, volviéndose excesivamente pequeños.

Es así como los astrónomos han podido determinar la relación entre el día solar medio y el día sidéreo hasta el octavo decimal (1,00273791 a 1), o hasta la cienmillonésima parte, probablemente el resultado de medición más preciso de toda la ciencia.

La antigüedad de este modo de comparación es casi tan grande como la de la astronomía misma.

Hiparco hizo la primera aplicación clara de él cuando comparó sus propias observaciones con las de Aristarco, realizadas 145 años antes, y determinó así la duración del año. Este cálculo puede considerarse de hecho como el primer intento de una determinación exacta de las constantes de la naturaleza.

El método es el principal recurso de los astrónomos; Tycho, por ejemplo, detectó la lenta disminución de la oblicuidad del eje terrestre mediante la comparación de observaciones a grandes intervalos.

Los astrónomos actuales utilizan el método tanto como los anteriores; pero las observaciones realizadas durante los últimos cien años son tan superiores en precisión a todas las anteriores, que a menudo se prefiere tomar un intervalo más corto antes que correr el riesgo de mayores errores instrumentales en las observaciones más antiguas.

Es evidente que muchos de los cambios más lentos de los cuerpos celestes deben requerir el transcurso de grandes intervalos de tiempo para que su magnitud sea perceptible.

Hiparco no podría haber descubierto las menores desigualdades de los movimientos celestes, porque no existían observaciones anteriores de suficiente antigüedad o exactitud como para revelarlas.

Y así como las observaciones de Hiparco constituyeron el punto de partida para comparaciones posteriores, una gran parte de la labor de los astrónomos actuales se dirige a registrar el estado actual de los cielos con tanta exactitud que las futuras generaciones de astrónomos puedan detectar cambios que no pueden llegar a conocerse en la época actual.

El principio de repetición fue empleado con gran ingenio en un instrumento propuesto por primera vez por Mayer en 1767, y llevado a la práctica en el Círculo Repetidor de Borda.

La medida exacta de los ángulos es indispensable, no solo en astronomía, sino también en los levantamientos trigonométricos, y la máxima destreza en la ejecución mecánica del círculo graduado y del telescopio no evitará errores terminales de consideración.

Si en lugar de un telescopio, el círculo cuenta con dos telescopios similares, estos pueden dirigirse alternativamente a dos puntos distantes, por ejemplo, las señales en un levantamiento trigonométrico, de modo que el círculo gire un múltiplo cualquiera del ángulo subtendido por dichas señales, antes de leer la magnitud de la revolución angular en el círculo graduado.

Teóricamente hablando, todo error derivado de una graduación imperfecta podría reducirse así indefinidamente, al ser dividido por el número de repeticiones. En la práctica, no se observa que la ventaja del invento sea muy grande, probablemente debido a que se introduce un cierto error en cada observación al cambiar y fijar los telescopios. Además, resulta inaplicable a objetos en movimiento como los cuerpos celestes, por lo que su uso se limita a importantes levantamientos trigonométricos.

El péndulo es el más perfecto de todos los instrumentos, principalmente porque admite una repetición casi interminable.

Como la fuerza de la gravedad nunca cesa, una oscilación del péndulo no bien termina cuando la otra comienza, de modo que la yuxtaposición de unidades sucesivas es absolutamente perfecta. Siempre que las oscilaciones sean iguales, mil oscilaciones ocuparán un intervalo de tiempo exactamente mil veces mayor que una oscilación.

No sólo la subdivisión del tiempo depende enteramente de este hecho, sino que en la medición exacta de la gravedad y en muchas otras determinaciones importantes, resulta de la mayor utilidad. En la mina más profunda, no podríamos observar la rapidez de caída de un cuerpo durante más de un cuarto de minuto, y la medición de su velocidad sería difícil y estaría sujeta a errores inciertos debido a la resistencia del aire, etc.

En el péndulo tenemos un cuerpo que puede mantenerse subiendo y bajando durante muchas horas, en un medio enteramente bajo nuestro control o, si es conveniente, en el vacío. Además, la fuerza comparativa de la gravedad en diferentes puntos, en la parte superior e inferior de una mina por ejemplo, puede determinarse con maravillosa precisión comparando las oscilaciones de dos péndulos exactamente iguales, con la ayuda de señales de relojes eléctricos.

Para averiguar los tiempos comparativos de vibración de dos péndulos, solo es necesario hacerlos oscilar uno delante del otro, registrar mediante un reloj el momento en que coinciden en la oscilación, de modo que uno oculte al otro, y luego contar el número de vibraciones hasta que vuelvan a coincidir.

Si un péndulo realiza m vibraciones y el otro n, obtenemos de inmediato nuestra ecuación pn = qm; la cual da la duración de la vibración de cualquiera de los péndulos en función del otro. Este método de coincidencia, que encarna el principio de repetición a la perfección, fue empleado con maravillosa habilidad por Sir George Airy en sus experimentos sobre la densidad de la Tierra en la mina de carbón de Harton, comparando los péndulos de arriba y de abajo con relojes, los cuales a su vez se comparaban entre sí mediante señales eléctricas.

Tan sumamente exacto fue este método de observación, tal como lo llevó a cabo Sir George Airy, que pudo medir una diferencia total en las vibraciones en la parte superior y en la parte inferior del pozo, que ascendía a tan solo 2,24 segundos en las veinticuatro horas, con un margen de error inferior a la centésima parte de un segundo, o una parte en 8.640.000 del día entero.‍⁶

El principio de repetición se ha aplicado con elegancia para observar el movimiento de las olas en el agua. Si el canal en el que se realizan los experimentos es corto, digamos de veinte pies de largo, las olas lo atravesarán con tanta rapidez que la observación de una sola longitud, tal como lo practicaba Walker, estará sujeta a un gran error terminal, incluso cuando el observador sea muy hábil.

Pero es un resultado de la teoría ondulatoria que una ola no se altera y no pierde tiempo al reflejarse por completo, de modo que se le puede permitir viajar de ida y vuelta en el mismo canal, y su movimiento, digamos a través de sesenta longitudes, o 1200 pies, puede observarse con la misma precisión que en un canal de 1200 pies de largo, con la ventaja de una mayor uniformidad en las condiciones del canal y del agua.‍⁷

Siempre es deseable, de ser posible, reducir un experimento a dimensiones reducidas para poder controlarlo bien y, sin embargo, a menudo podemos disfrutar mediante la repetición de la ventaja de una prueba extensa.

Una razón de la gran exactitud de la pesada con una buena balanza es el hecho de que los pesos colocados en el mismo plato se suman naturalmente sin el menor error.

No hay dificultad en la yuxtaposición precisa de dos gramos, pero la yuxtaposición de dos medidas de un metro solo puede efectuarse con una precisión tolerable mediante el uso de microscopios y muchas precauciones.

De ahí el extremo trabajo y coste que conlleva la medida exacta de una línea de base para un levantamiento topográfico, el riesgo de que se introduzca un error en cada yuxtaposición de las barras de medida, y la necesidad de una atención indefatigable a todas las precauciones requeridas durante toda la operación.

Mediciones por coincidencia natural.

En ciertos casos, una singular conjunción de circunstancias nos permite prescindir más o menos de los auxilios instrumentales, y obtener resultados numéricos muy exactos de la manera más sencilla. El mero hecho, por ejemplo, de que ningún ser humano haya visto jamás una cara de la luna diferente de la que nos es familiar, demuestra de manera concluyente que el período de rotación de la luna sobre su propio eje es igual al de su revolución alrededor de la tierra. No solo tenemos la repetición de estos movimientos durante 1000 o 2000 años al menos, sino que contamos con observaciones realizadas en períodos muy remotos, libres de error instrumental, al no ser necesario instrumento alguno. Sabemos que el séptimo satélite de Saturno está sujeto a una ley similar, porque su luz experimenta una variación en cada revolución, debido a la existencia de algún sector oscuro de su superficie; ahora bien, esta disminución de la luz ocurre siempre mientras se encuentra en la misma posición relativa a Saturno, lo que demuestra claramente la igualdad entre los períodos axial y de revolución, tal como advirtió Huygens.‍⁸ Una peculiaridad semejante en los movimientos del cuarto satélite de Júpiter fue detectada de manera análoga por Maraldi en 1713.

Notable conjunciones de los planetas pueden permitirnos a veces comparar sus periodos de revolución, a través de grandes intervalos de tiempo, con mucha exactitud.

Laplace, al explicar la gran desigualdad en los movimientos de Júpiter y Saturno, contó con la ayuda de una conjunción de estos planetas, observada en El Cairo hacia finales del siglo XI. Laplace calculó que tal conjunción debió de haber ocurrido el 31 de octubre de 1087 d. C., y la discordancia entre las distancias de los planetas tal como se registraron y tal como las asignaba la teoría fue menor que la quinta parte del diámetro aparente del sol.

Al ser esta diferencia menor que el error probable del registro antiguo, la teoría quedó confirmada hasta donde los hechos estuvieron disponibles.‍⁹

Los antiguos astrónomos mostraron a menudo el mayor ingenio para aprovechar cualquier oportunidad de medición que se les presentara.

Eratóstenes, ya en el año 250 a. C., al enterarse por casualidad de que el sol en Siena, en el Alto Egipto, era visible en el solsticio de verano en el fondo de un pozo, lo que demostraba que se encontraba en el cenit, se propuso determinar las dimensiones de la Tierra midiendo la longitud de la sombra de una vara en Alejandría el mismo día del año.

Así conoció de manera rudimentaria la diferencia de latitud entre Alejandría y Siena y, al encontrar que era aproximadamente la cincuentava parte de toda la circunferencia, determinó las dimensiones de la Tierra con un margen de error de aproximadamente una sexta parte respecto a la realidad.

El uso de pozos en la observación astronómica parece haber sido practicado ocasionalmente en tiempos comparativamente recientes, como hizo Flamsteed en 1679.‍¹⁰

Los astrónomos alejandrinos emplearon la luna como instrumento de medición de varias formas sagaces.

Cuando la luna está exactamente en cuarto creciente, la luna, el sol y la tierra se encuentran en los vértices de un triángulo rectángulo. Aristarco midió en tal momento la elongación de la luna respecto al sol, lo cual le proporcionó los otros dos ángulos del triángulo y le permitió estimar las distancias comparativas de la luna y el sol a la tierra.

Su resultado, aunque muy rudimentario, fue mucho más preciso que cualquier noción preconcebida y le permitió formarse una idea aproximada de las magnitudes comparativas de los cuerpos.

Los eclipses de la luna fueron muy útiles a Hiparco para determinar la longitud de las estrellas, las cuales son invisibles cuando el sol está sobre el horizonte.

Pues la luna, al eclipsarse, debe encontrarse a 180° de distancia del sol; de ahí que solo sea necesario medir la distancia en longitud de una estrella fija respecto a la luna eclipsada para obtener con facilidad su distancia angular respecto al sol.

En tiempos posteriores, los eclipses de Júpiter han servido para medir un ángulo; pues en el momento central del eclipse el satélite debe encontrarse en la misma línea recta con el planeta y el sol, de modo que a partir de las leyes de movimiento conocidas del satélite podemos deducir la longitud de Júpiter visto desde el sol.

Si al mismo tiempo medimos la elongación o distancia angular aparente de Júpiter respecto al sol, visto desde la tierra, tenemos todos los ángulos del triángulo formado por Júpiter, el sol y la tierra, y podemos calcular las magnitudes comparativas de los lados del triángulo mediante trigonometría.

Los tránsitos de Venus por la faz del sol son otros acontecimientos naturales que proporcionan las mediciones más precisas de la paralaje solar, o diferencia aparente de posición vista desde puntos distantes de la superficie terrestre. El sol forma una especie de fondo sobre el cual se marca el lugar del planeta, y sirve como un instrumento de medición libre de todos los errores de construcción que afectan a los instrumentos humanos.

La rotación de la tierra también, al afectar de diversas maneras la velocidad aparente de entrada o salida de Venus, vista desde diferentes lugares, revela la magnitud de la paralaje. Se ha demostrado suficientemente que, eligiendo adecuadamente los momentos de observación, a menudo se puede lograr que los cuerpos planetarios revelen su distancia relativa, midan su propia posición y registren sus propios movimientos con un alto grado de precisión.

Con el perfeccionamiento de los instrumentos astronómicos, tales conjunciones se vuelven menos necesarias para el progreso de la ciencia, pero siempre será ventajoso elegir aquellos momentos para la observación en los que los errores instrumentales incidan con el menor efecto.

En otras ciencias, a veces pueden obtenerse leyes cuantitativas exactas sin medición instrumental, como cuando conocemos la velocidad exactamente igual de sonidos de distinta altura, al observar que un repique de campanas o una interpretación musical se escucha con armonía a cualquier distancia a la que penetre el sonido; esto no podría ser así, como señaló Newton, si un sonido alcanzara al otro.

Uno de los principios más importantes de la teoría atómica se demostró de forma implícita antes de que se introdujera el uso de la balanza en la química. Wenzel observó, antes de 1777, que cuando dos sustancias neutras se descomponen mutuamente, las sales resultantes también son neutras.

Al mezclar sulfato de sodio y nitrato de bario, obtenemos sulfato de bario insoluble y nitrato de sodio neutro. Este resultado no podría producirse a menos que el ácido nítrico, necesario para saturar un átomo de sodio, fuera exactamente igual al requerido por un átomo de bario, de modo que pudiera tener lugar un intercambio sin dejar ácido ni base en exceso.

Un principio importante de la mecánica puede establecerse también mediante una simple observación acústica. Cuando una varilla o lengüeta metálica fijada por un extremo se pone en vibración, puede observarse que la altura del sonido es exactamente la misma, ya sean las vibraciones pequeñas o grandes; de ahí que las oscilaciones sean isócronas, o igualmente rápidas, independientemente de su magnitud. Sobre la base de la teoría, puede demostrarse que tal resultado solo ocurre cuando la flexión es proporcional a la fuerza deflectora. Así, la simple observación de que la altura del sonido de un armonio, por ejemplo, no cambia con su volumen establece una ley exacta de la naturaleza.‍¹¹

Un caso muy similar se encuentra en la demostración de que la intensidad de los rayos de luz o de calor varía en razón inversa al cuadrado de la distancia. Pues la magnitud aparente ciertamente varía según esta ley; por lo tanto, si la intensidad de la luz variara según cualquier otra ley, el brillo de un objeto sería diferente a distintas distancias, lo cual no se observa que sea el caso. Melloni aplicó el mismo tipo de razonamiento, de un modo algo diferente, a la radiación de los rayos caloríficos.

# Modos de medición indirecta.

Algunos de los experimentos más notablemente bellos de toda la ciencia han sido ideados con el propósito de medir indirectamente cantidades que, en su extrema grandeza o pequeñez, superan las facultades de los sentidos.

Todo lo que necesitamos hacer es descubrir algún otro fenómeno convenientemente mensurable que esté relacionado en una proporción conocida o según una ley conocida, por complicada que sea, con aquello que ha de medirse.

Una vez obtenidos los datos experimentales, no hay más dificultad que la del cálculo aritmético o algebraico.

El oro es reducido por el batidor de oro a hojas tan delgadas que el microscopio más potente no detectaría ningún espesor mensurable.

Si colocáramos varios cientos de hojas una sobre otra para multiplicar el grosor, seguiríamos sin tener más de 1/100 de pulgada como máximo para medir, y los errores derivados de la superposición y la medición serían considerables.

Pero podemos obtener fácilmente un resultado exacto a través de la cantidad de peso relacionada. Faraday pesó 2000 hojas de oro, de 3 3/8 pulgadas cuadradas cada una, y halló que equivalían a 384 granos. A partir de la gravedad específica conocida del oro, fue fácil calcular que el grosor promedio de las hojas era de 1/282 000 de pulgada.‍¹²

Debemos atribuir a Newton el honor de haber abierto el camino en los métodos de medición minuciosa. No llamó a las ondas de luz por su nombre correcto, ni comprendió su naturaleza; sin embargo, midió su longitud, a pesar de que no excedía la dosmillonésima parte de un metro o la cincuentemilésima parte de una pulgada.

Juntó a presión dos lentes de radios grandes pero conocidos. Era fácil calcular el intervalo entre las lentes en cualquier punto, midiendo la distancia desde el punto central de contacto.

Ahora bien, con rayos homogéneos, los anillos sucesivos de luz y oscuridad marcan los puntos en los cuales el intervalo entre las lentes es igual a la mitad, o a cualquier múltiplo de la mitad, de una vibración de la luz, de modo que la longitud de la vibración pasó a ser conocida.

De manera similar, muchos fenómenos de interferencia de los rayos de luz permiten la medición de las longitudes de onda. Las franjas de interferencia surgen de los rayos de luz que se cruzan en un ángulo pequeño, y una diferencia excesivamente minuciosa en las longitudes de las ondas produce una diferencia muy perceptible en la posición del punto en el cual dos rayos interferirán y producirán oscuridad.

Fizeau ha empleado recientemente los anillos de Newton para medir pequeñas cantidades de movimiento. Mediante el simple recuento del número de anillos de luz monocromática de sodio que pasan por un determinado punto donde dos placas de vidrio se encuentran en estrecha proximidad, es capaz de determinar con la mayor precisión y facilidad el cambio de distancia entre dichos vidrios, producido, por ejemplo, por la expansión de una barra metálica conectada a una de las placas de vidrio.‍¹³

Nada despierta mayor admiración que el modo en que los observadores científicos consiguen a veces medir cantidades que parecen estar más allá de los límites de la observación humana.

Sabemos que la profundidad media del océano Pacífico es de 14.190 pies, no mediante sondeos reales, lo cual sería impracticable con el detalle suficiente, sino observando la velocidad de transmisión de las ondas sísmicas desde las costas sudamericanas hasta las opuestas, estando dicha velocidad de movimiento relacionada teóricamente con la profundidad del agua.‍¹⁴

Del mismo modo, se deduce que la profundidad media del océano Atlántico no es inferior a 22.157 pies, a partir de la velocidad de las ondas de marea ordinarias. Una onda de marea ofrece, a su vez, una hermosa prueba de un efecto de la ley de la gravedad que jamás podríamos detectar de ningún otro modo. Newton calculó que la fuerza de la luna al mover el océano es de tan solo una parte en 2.871.400 de la fuerza total de la gravedad, de modo que incluso el péndulo, utilizado con la máxima destreza, no lograría hacerla perceptible. Sin embargo, la inmensa extensión del océano permite que el efecto se acumule hasta alcanzar una magnitud muy palpable; y a partir de las alturas comparativas de las mareas lunares y solares, Newton calculó de forma aproximada las fuerzas comparativas de la gravedad de la luna y del sol en la Tierra.‍¹⁵

Hace unos años habría parecido imposible que llegáramos a medir la velocidad con la que una estrella se acerca o se aleja de la tierra, ya que la posición aparente de la estrella no se ve alterada por ello. Pero el espectroscopio nos permite ahora detectar e incluso medir tales movimientos con considerable precisión, mediante la alteración que provoca en la rapidez aparente de vibración y, consecuentemente, en la refrangibilidad de los rayos de luz de un color determinado.

Y mientras que nuestras estimaciones sobre los movimientos laterales de las estrellas dependen de nuestro conocimiento, muy incierto, de sus distancias, el espectroscopio proporciona los movimientos de acercamiento y alejamiento independientemente de otros movimientos, salvo el de la tierra. Proporciona, en resumen, los movimientos de acercamiento y alejamiento de las estrellas en relación con la tierra.‍¹⁶

Habiéndose determinado con precisión la rapidez de vibración de cada tono musical mediante la comparación con la Sirena (p. 10), podemos utilizar los sonidos como indicaciones indirectas de vibraciones rápidas.

Ahora se sabe que la contracción de un músculo surge de las contracciones periódicas de cada fibra separada, y a partir de un sonido débil o susurro que acompaña a la acción de un músculo, se infiere que cada contracción dura aproximadamente la trescentésima parte de un segundo.

Las cantidades infinitesimales de calor radiante se miden hoy siempre de forma indirecta mediante la electricidad que producen al incidir sobre una termopila.

La extrema delicadeza del método parece deberse al poder de multiplicación en varios puntos del aparato. El número de elementos o uniones de diferentes metales en la termopila puede aumentarse de modo que la tensión de la corriente eléctrica derivada de la misma intensidad de radiación se multiplique; el efecto de la corriente sobre la aguja imantada puede multiplicarse dentro de ciertos límites, haciendo que la corriente circule a su alrededor muchas veces en una bobina; las excursiones de la aguja pueden incrementarse haciéndola astática y aumentando la finura de su suspensión; por último, la divergencia angular puede observarse, con cualquier precisión requerida, mediante el uso de un espejo adjunto y una escala distante observada a través de un telescopio (p. 287).

Tal es la delicadeza de este método para medir el calor, que el Dr. Joule logró construir una pila termoeléctrica capaz de indicar una diferencia de 0°·000114 C.‍¹⁷

Un caso notable de medición indirecta lo proporciona el espejo giratorio de Wheatstone y Foucault, mediante el cual se calcula un intervalo ínfimo de tiempo en forma de desviación angular.

Wheatstone observó una chispa eléctrica en un espejo que giraba tan rápidamente que, si la duración de la chispa hubiera sido superior a la setenta y dos milésima parte de un segundo, el punto de luz se habría percibido alargado en una extensión angular de medio grado. En la chispa, tal como se obtenía directamente de una botella de Leyden, no se apreciaba alargamiento alguno, de modo que la duración de la chispa era inconmensurablemente pequeña; pero cuando la descarga se producía a través de un mal conductor, el alargamiento de la chispa denotaba una duración perceptible.‍¹⁸

En manos de Foucault, el espejo giratorio dio una medida del tiempo que emplea la luz en recorrer unos pocos metros de espacio.

# Uso comparativo de instrumentos de medición.

En casi todos los casos, un instrumento de medición sirve, y debe servir únicamente, como medio de comparación entre dos o más magnitudes.

Como regla general, no debemos intentar hacer que las divisiones de la escala de medición sean múltiplos o submúltiplos exactos de la unidad, sino que, considerándolas como marcas arbitrarias, debemos determinar sus valores mediante la comparación con el patrón mismo.

Los hilos perpendiculares en el campo de un anteojo cenital se fijan a distancias casi iguales pero arbitrarias, y esas distancias se determinan posteriormente, como sugirió por primera vez Malvasia, observando el tránsito de estrella tras estrella a través de ellos y anotando los intervalos de tiempo con el reloj.

Debido al movimiento perfectamente regular de la tierra, estos intervalos de tiempo proporcionan determinaciones exactas de los intervalos angulares. De la misma manera, el valor angular de cada vuelta del tornillo micrométrico acoplado a un telescopio puede determinarse de forma fácil y precisa.

Cuando se emplea una pila termoeléctrica para observar el calor radiante, sería casi imposible calcular sobre bases à priori cuál es el valor de cada división del círculo del galvanómetro, y aún más difícil construir un galvanómetro de modo que cada división tuviese un valor determinado.

Pero esto es totalmente innecesario, porque al colocar la pila termoeléctrica frente a un cuerpo de dimensiones conocidas, a una distancia conocida, con una temperatura y un poder radiante conocidos, medimos una cantidad conocida de calor radiante e inferimos inversamente el valor de las indicaciones de la pila termoeléctrica.

De manera similar, el Dr. Joule averiguó la temperatura real producida por la compresión de barras de metal. Pues habiendo introducido una pequeña pila termoeléctrica compuesta por una sola unión de alambre de cobre y hierro, y habiendo anotado las desviaciones del galvanómetro, solo tuvo que sumergir las barras en agua a diferentes temperaturas, hasta producir una desviación semejante, para averiguar la temperatura desarrollada por la presión.‍¹⁹

En algunos casos estamos obligados a aceptar un instrumento muy cuidadosamente construido como patrón, como en el caso de un barómetro o termómetro patrón. Pero entonces es mejor tratar todos los instrumentos inferiores de manera estrictamente comparativa, y determinar los valores de sus escalas por comparación con el patrón asumido.

Realización Sistemática de Mediciones.

Cuando hay que efectuar un gran número de mediciones precisas, suele ser conveniente realizar un cierto número de determinaciones con escrupuloso cuidado y utilizarlas después como puntos de referencia para las determinaciones restantes.

En la medida trigonométrica de un país, la triangulación principal fija las posiciones relativas y las distancias de unos pocos puntos con rigurosa precisión. Una triangulación secundaria relaciona cada colina o pueblo prominente con uno de los puntos principales, y después se rellenan los detalles tomando como referencia los puntos secundarios.

La exploración de los cielos se efectúa de manera semejante. Los antiguos astrónomos compararon las ascensiones rectas de unas pocas estrellas principales con la luna, determinando así sus posiciones con respecto al sol; las estrellas menores fueron referidas posteriormente a las estrellas principales. Tycho siguió el mismo método, excepto que utilizó el planeta Venus, de movimiento más lento, en lugar de la luna. Flamsteed solía utilizar unas siete estrellas, situadas favorablemente en puntos de todo el cielo. En sus primeras observaciones, las distancias de las demás estrellas a estos puntos estándar se determinaban mediante el uso del cuadrante.‍²⁰

Aun desde la introducción del telescopio de tránsito y del círculo mural, se elaboran tablas de estrellas estándar en Greenwich cuyas posiciones se determinan con toda la precisión posible, de modo que los astrónomos puedan emplearlas con fines de referencia.

Al determinar las gravedades específicas de las sustancias, todos los gases se refieren al aire atmosférico a una temperatura y presión dadas; todos los líquidos y sólidos se refieren al agua. Necesitamos comparar las densidades del agua y del aire con gran cuidado, y las densidades comparativas de dos sustancias cualesquiera podrán determinarse entonces.

Al comparar una magnitud muy grande con otra muy pequeña, suele ser conveniente dividir el proceso en varios pasos, utilizando términos intermedios de comparación.

Jamás se no ocurriría medir la distancia de Londres a Edimburgo colocando varas de medir a lo largo de toda su extensión. Se selecciona una base de varias millas en un terreno llano y se compara, por un lado, con la yarda patrón y, por el otro, con la distancia entre Londres y Edimburgo, o cualquier otros dos puntos, mediante un levantamiento trigonométrico.

Por otra parte, resultaría sumamente difícil comparar la luz de una estrella con la del sol, la cual sería unas treinta mil millones de veces mayor; pero Herschel‍²¹ efectuó la comparación utilizando la luna llena como unidad intermedia. Wollaston determinó que el sol emitía 801.072 veces más luz que la luna llena, y Herschel estableció que la luz de esta última superaba a la de α Centauri 27.408 veces, de modo que hallamos que la proporción entre la luz del sol y la de la estrella es de aproximadamente 22.000.000.000 a 1.

# El Péndulo.

De mucho, el más perfecto y hermoso de todos los instrumentos de medida es el péndulo. Consistiendo meramente en un cuerpo pesado suspendido libremente a una distancia invariable de un punto fijo, es de lo más simple en su construcción; sin embargo, todos los más altos problemas de la medición física dependen de su uso cuidadoso. Su valor excesivo surge de dos circunstancias.

(1) El método de repetición es eminentemente aplicable a él, tal como ya se ha descrito (p. 290).

(2) A diferencia de otros instrumentos, conecta entre sí tres magnitudes diferentes: las de espacio, tiempo y fuerza.

En la mayor parte de las obras de filosofía natural se demuestra que, cuando las oscilaciones del péndulo son infinitamente pequeñas, el cuadrado del tiempo empleado en una oscilación es directamente proporcional a la longitud del péndulo e inversamente proporcional a la fuerza que lo afecta, sea esta del tipo que fuere.

Toda la teoría del péndulo está contenida en la fórmula dada por primera vez por Huygens en su Horologium Oscillatorium.

La cantidad 3·14159 es la razón constante entre la circunferencia y el radio de un círculo, y es por supuesto conocida con exactitud. Por lo tanto, dadas dos cualesquiera de las tres cantidades en cuestión, la tercera puede hallarse; o manteniéndose dos cualesquiera invariables, la tercera será invariable.

Así, un péndulo de longitud invariable suspendido en el mismo lugar, donde la fuerza de gravedad puede considerarse constante, proporciona una medida del tiempo. Si se hace vibrar ese mismo péndulo invariable en diferentes puntos de la superficie de la tierra, y los tiempos de vibración se determinan astronómicamente, la fuerza de gravedad pasa a ser conocida con exactitud. Finalmente, con una fuerza de gravedad conocida y el tiempo de vibración determinado por referencia a las estrellas, la longitud queda determinada.

Todas las observaciones astronómicas dependen del primer modo de usar el péndulo, a saber, en el reloj astronómico.

En el segundo uso ha sido casi igualmente indispensable.

El principio fundamental de que la gravedad es igual en toda la materia fue demostrado por los experimentos con péndulo de Newton y Gauss.
El péndulo de torsión de Michell, Cavendish y Baily, que depende exactamente de los mismos principios que el péndulo ordinario, dio la densidad de la tierra, una de las constantes naturales más importantes.
Kater y Sabine, mediante observaciones con el péndulo en diferentes partes de la tierra, determinaron la variación de la gravedad, de donde proviene la determinación de la elipticidad de la tierra.
Las leyes de la atracción eléctrica y magnética también han sido determinadas por el método de las vibraciones, el cual se usa constantemente en la medición de la fuerza horizontal del magnetismo terrestre.

No debemos confundir con el uso ordinario del péndulo su aplicación por parte de Newton, para mostrar la ausencia de fricción interna contra el espacio,‍²² o para determinar las leyes del movimiento y la elasticidad.‍²³ En estos casos, la amplitud de la vibración es la magnitud medida, y los principios del instrumento son diferentes.

# Precisión alcanzable de la medición.

Es cuestión de cierto interés comparar los grados de precisión que pueden alcanzarse en la medición de diferentes clases de magnitud.

Pocas mediciones de cualquier tipo son exactas a más de seis cifras significativas,‍²⁴ pero rara vez puede esperarse tal precisión. El tiempo es la magnitud que parece ser susceptible de la estimación más exacta, debido a las propiedades del péndulo y al principio de repetición descrito en secciones anteriores.

En cuanto a los cortos intervalos de tiempo, ya se ha afirmado que Sir George Airy fue capaz de estimar una parte en 8.640.000, una exactitud que, como él mismo señala con verdad, «se halla casi fuera de toda concepción».‍²⁵ La razón entre el día solar medio y el día sidéreo se sabe que es de aproximadamente una parte en cien millones, o hasta el octavo lugar de los decimales, (p. 289).

Las determinaciones del peso parecen ocupar el siguiente lugar en cuanto a exactitud, debido a que la repetición sin error es aplicable a ellas. Una balanza ordinaria de buena calidad debería mostrar alrededor de una parte en 500.000 de la carga. La balanza más fina empleada por el Sr. Stas se desviaba con una parte en 825.000 de la carga.‍²⁶ Pero sin duda se han construido balanzas capaces de mostrar una parte en un millón,‍²⁷ y se dice que Ramsden construyó una balanza para la Real Sociedad capaz de indicar una parte en siete millones, aunque esto resulta apenas creíble. El profesor Clerk Maxwell da por sentado que se puede detectar una parte en cinco millones, pero debemos discriminar entre lo que una balanza puede hacer cuando es recién construida y cuando está en uso continuo.

Las determinaciones de longitud, a menos que se realicen con un cuidado extraordinario, son propensas a muchos errores en la unión de las barras de medición.

Aun al medir la línea de base de un levantamiento trigonométrico, la precisión que se alcanza por lo general es de solo una parte en 60.000, o una pulgada en la milla; pero se dice que en cuatro mediciones de una línea de base llevadas a cabo muy recientemente en el cabo Comorín, el mayor error fue de 0,077 pulgadas en 1,68 millas, o una parte en 1.382.400, un grado de precisión casi increíble.

Sir J. Whitworth ha demostrado que el tacto es un modo aún más delicado de medir longitudes que la vista, y mediante un tornillo ejecutado magistralmente y un pequeño cubo de hierro colocado entre dos barras de hierro de extremos planos, de modo que quede suspendido al tocarlas, puede detectar un cambio de dimensión en una barra que no asciende a más de una millonésima de pulgada.‍²⁸