LIBRO II.

NÚMERO, VARIEDAD Y PROBABILIDAD.

No sin razón representó Pitágoras al mundo como regido por el número. En casi todos nuestros actos de pensamiento entra el número, y en la medida en que podemos definir numéricamente disfrutamos de un conocimiento exacto y útil del Universo.

La ciencia de los números, también, ha presentado hasta ahora el entrenamiento más amplio y practicable en lógica. Tan libre y enérgico ha sido el estudio de las formas matemáticas, en comparación con las formas de la lógica, que los matemáticos se han adelantado con creces a los lógicos puros.

Ocasionalmente, en tiempos recientes, se han dignado a aplicar su instrumento algebraico a un tratamiento reflejo de la ciencia lógica primaria. Es así como debemos a profundos matemáticos, tales como John Herschel, Whewell, De Morgan o Boole, la regeneración de la lógica en el presente siglo.

No abrigo duda alguna de que es manteniendo una estrecha alianza con el razonamiento cuantitativo donde debemos buscar un mayor progreso en nuestra comprensión de la inferencia cualitativa.

No puedo asentir, en verdad, a la noción común de que la certeza empieza y termina con la determinación numérica.

Nada es más cierto que la verdad lógica. Las leyes de la identidad y de la diferencia son las pruebas de todo lo que es cierto en el ámbito del pensamiento, y el razonamiento matemático solo es convincente cuando se conforma a estas condiciones, de las cuales la lógica es el primer desarrollo.

Y si es erróneo suponer que toda certeza es matemática, es igualmente un error imaginar que todo lo matemático es cierto. Muchos procesos de razonamiento matemático son de una validez muy dudosa. Hay puntos de la doctrina matemática que deben seguir siendo durante mucho tiempo cuestión de opinión; por ejemplo, la mejor forma de la definición y del axioma sobre las líneas paralelas, o la verdadera naturaleza de un límite.

En el uso del razonamiento simbólico surgen cuestiones en las que los mejores matemáticos pueden discrepar, tal como Bernoulli y Leibniz discreparon irreconciliablemente acerca de la existencia de los logaritmos de cantidades negativas.‍¹

De hecho, no bien abandonamos las condiciones lógicas simples del número, cuando nos hallamos envueltos en una ciencia de símbolos laberíntica y misteriosa.

La ciencia matemática no goza de monopolio alguno, ni siquiera de una supremacía, en la certeza de sus resultados. Es la ilimitada extensión y variedad de las preguntas cuantitativas lo que delega el deleite del estudiante de matemáticas.

Cuando la simple lógica solo puede dar una escueta respuesta de Sí o No, el algebrista plantea una veintena de preguntas sutiles y extrae una multitud de resultados curiosos. La flor y el fruto, todo lo que resulta atractivo y delicioso, recaen en el matemático, quien con demasiada frecuencia desprecia el tallo, simple pero necesario, de donde todo ha surgido.

En ninguna región del pensamiento puede un razonador liberarse de las condiciones previas de la corrección lógica. El matemático solo es fuerte y veraz mientras sea lógico, y si el número rige el mundo, es la lógica la que rige el número.

Casi todos los escritores se han conformado hasta ahora, de manera extraña, con considerar el razonamiento numérico como algo ajeno a la inferencia lógica.

Ha existido un largo divorcio entre la cualidad y la cantidad, y no ha sido raro tratarlas como de naturaleza opuesta y restringidas a ramas del pensamiento independientes.

Por mi parte, creo que todas las ciencias convergen en algún punto. Ninguna parte del conocimiento puede permanecer totalmente desconectada de las demás partes del universo del pensamiento; es increíble, sobre todo, que las dos grandes ramas de la ciencia abstracta, que se entrelazan y cooperen en todo discurso, descansen sobre fundamentos totalmente distintos.

Asumo que existe una conexión y solo me importa indagar: ¿Cuál es su naturaleza? ¿Descansa la ciencia de la cantidad sobre la de la cualidad; o, vice versâ, descansa la ciencia de la cualidad sobre la de la cantidad? Podría concebiblemente haber un tercer punto de vista, a saber, que ambas descansen sobre un conjunto de principios aún más profundo.

Por lo general se supone que Boole adoptó el segundo punto de vista y trató la lógica como una aplicación del álgebra, un caso especial de razonamiento analítico que admite solo dos cantidades, la unidad y el cero.

No es fácil determinar con claridad cuál de estos puntos de vista fue realmente aceptado por Boole.

En su interesante semblanza biográfica de Boole,‍² el reverendo R. Harley protesta contra la afirmación de que el cálculo lógico de Boole introdujo las condiciones de número y cantidad en la lógica. Dice:

«La lógica nunca se identifica ni se confunde con las matemáticas; los dos sistemas de pensamiento se mantienen perfectamente distintos, estando cada uno sujeto a sus propias leyes y condiciones. Los símbolos son los mismos para ambos sistemas, pero no tienen la misma interpretación».

El Rvdo. J. Venn, por su parte, en su reseña del sistema lógico de Boole,‍³ sostiene que los procedimientos de Boole son en el fondo lógicos, no matemáticos, aunque estén expresados de una forma sumamente generalizada y con un atuendo matemático.

Pero es muy probable que los lectores de Boole se vean inducidos a error. No solo sus obras lógicas tienen una apariencia enteramente matemática, sino que en la pág. 12 de sus Laws of Thought encuentro la siguiente afirmación inequívoca:

«Se admite que la lógica, como ciencia, es susceptible de aplicaciones muy amplias; pero es igualmente seguro que sus formas y procesos últimos son matemáticos».

Unas líneas más abajo añade: «No es de la esencia de las matemáticas tratar con las ideas de número y cantidad».

La solución de la dificultad radica en que Boole utilizó el término matemáticas en un sentido más amplio que el que se le suele atribuir. Probablemente adoptó el tercer punto de vista, de modo que sus Leyes del pensamiento, de carácter matemático, constituyen la base común tanto de la lógica como de las matemáticas cuantitativas.

Pero no me interesa profundizar en el asunto porque creo que, en cualquiera de los casos, Boole se equivocaba. En mi opinión, la lógica es la ciencia superior, la base general de las matemáticas así como de todas las demás ciencias. El número no es más que una discriminación lógica, y el álgebra, una lógica altamente desarrollada.

Así es fácil comprender la profunda analogía que Boole señaló entre las formas de la deducción algebraica y la lógica. La lógica se parece al álgebra como el molde se parece a lo que se funde en él. Boole confundió la fundición con el molde. Dado que la lógica impone sus propias leyes a toda rama de la ciencia matemática, no es de extrañar que encontremos constantemente rastros de las leyes lógicas en los procesos matemáticos.

# La naturaleza del número.

El número no es sino otro nombre de la diversidad. La identidad exacta es la unidad, y con la diferencia surge la pluralidad.

Una noción abstracta, como se señaló (p. 28), posee una cierta unicidad. La cualidad de la justicia, por ejemplo, es una e idéntica en cualesquiera actos justos en que se manifieste. En la justicia misma no hay marcas de diferencia por las cuales discriminar la justicia de la justicia.

Pero un acto justo puede ser discriminado de otro acto justo por las circunstancias de tiempo y lugar, y podemos contar muchos actos así discriminados los unos de los otros.

De igual manera, el oro puro es simplemente oro puro, y es por tanto uno e idéntico en todas partes. Pero además de sus cualidades intrínsecas, el oro ocupa espacio y debe tener forma y tamaño. Las porciones de oro son siempre mutuamente excluyentes y susceptibles de discriminación, en el sentido de que deben estar cada una fuera de la otra. De ahí que puedan ser numeradas.

La pluralidad surge si y solo si detectamos diferencia.

Por ejemplo, al contar una cantidad de monedas de oro debo contar cada moneda una vez, y no más de una vez.

Sea C una moneda, y la marca sobre ella el orden del conteo. Entonces debo contar las monedas

Si tuviera que contarlos de la siguiente manera

Debo hacer de la tercera moneda dos, y debo implicar la existencia de diferencia donde no hay diferencia.‍⁴

C‴ y C‴ no son más que los nombres de una moneda nombrada dos veces. Pero de acuerdo con una de las condiciones de los símbolos lógicos, que he llamado la Ley de la Unidad (p. 72), el mismo nombre repetido no tiene efecto, y

Debemos aplicar la Ley de la Unidad, y debemos reducir todas las alternativas idénticas antes de poder contar con certeza y utilizar los procesos del cálculo numérico. Las alternativas idénticas son inofensivas en la lógica, pero son totalmente inadmisibles en el número. Así, la ciencia lógica determina la naturaleza de la unidad matemática, y la definición puede darse en estos términos: Una unidad es cualquier objeto de pensamiento que pueda distinguirse de cualquier otro objeto tratado como unidad en el mismo problema.

Se ha dicho a menudo que las unidades son unidades respecto a ser perfectamente similares entre sí; pero aunque puedan ser perfectamente similares en algunos aspectos, deben ser diferentes en al menos un punto, de lo contrario serían incapaces de pluralidad.

Si tres monedas fueran tan similares que ocuparan el mismo espacio al mismo tiempo, no serían tres monedas, sino una sola. Es una propiedad del espacio que cada punto sea distinguible de cualquier otro punto, y en el tiempo cada momento es necesariamente distinto de cualquier otro momento anterior o posterior. De ahí que contemos frecuentemente en el espacio o en el tiempo, y Locke, junto con otros filósofos, ha sostenido que el número surge de la repetición en el tiempo.

Los latidos de un péndulo pueden ser tan perfectamente similares que no podemos descubrir otra diferencia que el hecho de que un latido es anterior y otro posterior. El tiempo por sí solo es aquí el fundamento de la diferencia y constituye una base suficiente para la discriminación de la pluralidad; pero no es en absoluto la única base.

Tres monedas son tres monedas, ya las contemos sucesivamente o las consideremos a todas simultáneamente. En muchos casos, ni el tiempo ni el espacio son el fundamento de la diferencia, sino que interviene únicamente la cualidad pura. Podemos discriminar el peso, la inercia y la dureza del oro como tres cualidades, aunque ninguna de ellas sea anterior ni posterior a la otra, ni en el espacio ni en el tiempo.

Todo medio de discriminación puede ser una fuente de pluralidad.

Nuestra notación lógica puede utilizarse para expresar el origen del número. El símbolo A representa una cosa o una clase, y en sí mismo debe considerarse como una unidad, puesto que no se especifica ninguna diferencia. Pero las combinaciones AB y Ab son necesariamente dos, porque no pueden fundirse lógicamente, y existe una marca B que distingue a una de la otra. Una definición lógica del número cuatro viene dada en las combinaciones ABC, ABc, AbC, Abc, donde hay una doble diferencia. Como dice Puck —

Concibo que todos los números podrían representarse como surgidos de las combinaciones del Alfabeto Lógico, tachándose mayor o menor número de elementos de cada serie mediante diversas condiciones lógicas.

El número tres, por ejemplo, surge de la condición de que A debe ser B o C, de modo que las combinaciones son ABC, ABc, AbC.

# De la abstracción numérica.

Ahora habrá poca dificultad en formarse una noción clara de la naturaleza de la abstracción numérica. Consiste en abstraer el carácter de la diferencia de la cual surge la pluralidad, conservando meramente el hecho.

Cuando hablo de tres hombres, no necesito especificar de inmediato las marcas por las cuales cada uno puede ser distinguido de los demás. Esas marcas deben existir si son realmente tres hombres y no uno y el mismo, y al hablar de ellos como varios, implico la existencia de las diferencias requeridas.

El número abstracto, por tanto, es la forma vacía de la diferencia; el número abstracto tres afirma la existencia de marcas sin especificar su tipo.

Se ve así que la abstracción numérica es un proceso diferente de la abstracción lógica (p. 27), pues en este último proceso dejamos de lado la propia existencia de la diferencia y la pluralidad.

Al formar la noción abstracta dureza, ignoramos por completo las diversas circunstancias en las que la cualidad puede aparecer. Es la noción concreta tres objetos duros la que afirma la existencia de la dureza junto con otras cualidades indefinidas suficientes para señalar tres objetos de ese tipo.

El pensamiento numérico está, en efecto, íntimamente entrelazado con el pensamiento lógico. No podemos usar un término concreto en plural, como hombres, sin dar a entender que existen marcas de diferencia. Pero cuando usamos un término abstracto, tratamos con la unidad.

El origen de la gran generalidad del número resulta ahora evidente. Tres sonidos difieren de tres colores, o tres jinetes de tres caballos; pero coinciden respecto a la variedad de marcas mediante las cuales pueden ser distinguidos. Los símbolos 1 + 1 + 1 son así las marcas vacías que afirman la existencia de distinción. Pero al perder de vista el carácter de las diferencias, damos lugar a nuevos acuerdos sobre los cuales se fundamenta el razonamiento matemático.

La abstracción numérica está tan lejos de ser incompatible con la abstracción lógica que es el origen de nuestros actos más amplios de generalización.

# Número concreto y abstracto.

La distinción común entre número concreto y abstracto puede formularse ahora fácilmente. A medida que especificamos los caracteres lógicos de las cosas numeradas, las hacemos concretas.

En el número abstracto tres no hay ninguna mención de los puntos en los que los tres objetos coinciden; pero en tres monedas, tres hombres o tres caballos, no solo se numeran los objetos, sino que su naturaleza está restringida.

El número concreto implica así la misma conciencia de diferencia que el número abstracto, pero está mezclado con una base de similitud expresada en los términos lógicos. Hay identidad en la medida en que entran los términos lógicos; diferencia en la medida en que los términos son meramente numéricos.

La razón de la importante Ley de Homogeneidad resultará ahora evidente. Esta ley afirma que en todo cálculo aritmético la naturaleza lógica de las cosas contadas debe permanecer inalterada. La concordancia lógica especificada de las cosas no debe verse afectada por las diferencias numéricas no especificadas.

Sería palpablemente absurdo un cálculo que, tras comenzar con longitud, diera un resultado en horas. Es igualmente absurdo, desde un punto de vista puramente aritmético, deducir áreas a partir del cálculo de longitudes, masas a partir de la combinación de volumen y densidad, o momentos a partir de masa y velocidad.

Quedará para su posterior consideración decidir en qué sentido podemos decir verdaderamente que dos pies lineales multiplicados por dos pies lineales dan cuatro pies superficiales; aritméticamente es absurdo, porque hay un cambio de unidad.

Como regla general, tratamos en cada cálculo únicamente objetos de una misma naturaleza. No sumamos, y propiamente no podemos sumar en una misma operación yardas de tela y libras de azúcar. Ni siquiera podemos concebir el resultado de sumar área a velocidad, o longitud a densidad, o peso a valor. Las unidades sumadas deben tener una base de homogeneidad, o deben ser reducibles a algún denominador común.

Sin embargo, es posible, y de hecho común, tratar en un cálculo complejo las cantidades más heterogéneas, con la condición de que cada tipo de objeto se mantenga diferenciado, y se trate numéricamente solo en conjunción con su propia especie.

Las diferentes unidades, en la medida en que se especifican sus diferencias lógicas, no deben sustituirse jamás unas por otras. Los químicos utilizan continuamente ecuaciones que afirman la equivalencia de grupos de átomos. La fermentación ordinaria está representada por la fórmula

Tres clases de unidades, los átomos de carbono, hidrógeno y oxígeno respectivamente, se entremezclan aquí, pero en realidad existe una ecuación separada con respecto a cada clase.

Los matemáticos también emplean ecuaciones compuestas de la misma clase; pues en a + b √ - 1 = c + d √ - 1, es imposible mediante la adición ordinaria sumar a a b √ -1. De ahí que en realidad tengamos las ecuaciones separadas a = b, y c √ - 1 = d √ - 1.

Del mismo modo, una ecuación entre dos cuaterniones es equivalente a cuatro ecuaciones entre cantidades ordinarias, de donde en verdad proviene el nombre cuaternión.

Analogía de los términos lógicos y numéricos.

Si mi afirmación de que el número surge de condiciones lógicas es correcta, deberíamos encontrar que el número obedece a todas las leyes de la lógica. Es casi superfluo señalar que este es el caso con las leyes fundamentales de la identidad y la diferencia, y solo queda por mostrar que los símbolos matemáticos realmente obedecen a las condiciones especiales de los símbolos lógicos que se señalaron anteriormente (p. 32).

Así, la Ley de Conmutatividad es igualmente verdadera para la cualidad y la cantidad. Como en la lógica tenemos, así en las matemáticas es bien sabido que

Las propiedades del espacio son tan indiferentes en la multiplicación como las encontramos en el pensamiento lógico puro.

Del mismo modo, como en la lógica

El símbolo ꖌ no es idéntico al +, pero es hasta cierto punto análogo.

¿Hasta qué punto, ahora, es verdad que los símbolos matemáticos obedecen a la Ley de la Simplicidad expresada en la forma o en el ejemplo

Aparentemente no hay más que dos números que obedecen a esta ley; pues es seguro que solo es verdad en los dos casos en que x = 1, o x = 0.

En realidad todos los números obedecen a la ley, pues 2 × 2 = 2 no es verdaderamente análogo a AA = A. De acuerdo con la definición de unidad ya dada, cada unidad se distingue de cada una de las demás en el mismo problema, de modo que en 2′ × 2″, el primer dos implica una discriminación diferente a la del segundo dos. Obtengo cuatro clases de cosas, por ejemplo, si primero discrimino entre «pesado y ligero» y luego entre «cúbico y esférico», ya que ahora tenemos las siguientes clases:

Pero supóngase que mis dos clases están en ambos casos distinguidas por la misma diferencia de ligero y pesado, entonces tenemos

Por lo tanto, (pesado o ligero) × (pesado o ligero) = (pesado o ligero).

En suma, dos por dos es dos a menos que cuidemos que el segundo dos tenga un significado diferente del primero. Pero bajo circunstancias similares, los términos lógicos dan un resultado semejante, y no es verdad que A′A″ = A′, cuando A″ tiene un significado diferente de A′.

De manera semejante puede demostrarse que la Ley de la Unidad se cumple por igual en los términos lógicos y matemáticos. Resulta en verdad absurdo decir que, salvo en el único caso en que x = cero absoluto. Pero esta contradicción x + x = x surge del hecho de que ya hemos definido las unidades de una x como diferentes de las de la otra. En tales circunstancias, la Ley de la Unidad no se aplica. Pues si en queremos decir que A″ es de algún modo diferente de A′, la aserción de identidad es evidentemente falsa.

El contraste que entonces parece existir entre los símbolos lógicos y los matemáticos es meramente aparente. Es porque las leyes de la simplicidad y la unidad deben observarse siempre en la operación de contar que dichas leyes parecen no aplicarse más allá. Esta es la condición tácita bajo la cual empleamos todos los símbolos numéricos. Siempre que escribo el símbolo 5, en realidad quiero decir —y se entiende perfectamente— que cada una de estas unidades es distinta de las demás. Si fuera necesario, podría señalarlas así

Si este no fuera el caso y las unidades fueran realmente la Ley de Unidad se aplicaría, como se señaló anteriormente, y

Los símbolos matemáticos obedecen entonces a todas las leyes de los símbolos lógicos, pero dos de estas leyes parecen ser inaplicables simplemente porque están presupuestas en la definición de la unidad matemática.

La lógica sienta así las condiciones del número, y la ciencia de la aritmética, desarrollada tal como está en todas las ramas maravillosas del cálculo matemático, no es más que una ramificación de la discriminación lógica.

# Principle of Mathematical Inference.

El principio universal de todo razonamiento, como he afirmado, es aquel que nos permite sustituir lo semejante por lo semejante.

He de señalar ahora cómo en las ciencias matemáticas este principio interviene en cada paso del razonamiento. Es en estas ciencias, en efecto, donde encontramos los casos más claros de sustitución, y es la simplicidad con la que se puede aplicar el principio lo que probablemente condujo a la perfección comparativamente temprana de las ciencias de la geometría y la aritmética.

Euclides, y los matemáticos griegos desde un principio, reconocieron la igualdad como la relación fundamental del pensamiento cuantitativo, pero Aristóteles rechazó la relación de identidad, exactamente análoga pero mucho más general, y con ello paralizó la ciencia formal de la lógica tal como ha llegado hasta nuestros días.

El razonamiento geométrico parte del axioma de que

“las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí”.

Dos igualdades nos permiten inferir una tercera igualdad; y esto es verdad no solo para líneas y ángulos, sino también para áreas, volúmenes, números, intervalos de tiempo, fuerzas, velocidades, grados de intensidad o, en resumen, cualquier cosa que sea capaz de ser igual o desigual.

• Dos estrellas igualmente brillantes que una misma estrella deben ser igualmente brillantes entre sí, y
• dos fuerzas igualmente intensas que una tercera fuerza son igualmente intensas entre sí.

Es notable que Euclides no haya enunciado explícitamente otros dos axiomas, cuya verdad está implícitamente necesaria.

El segundo axioma debería ser que «Dos cosas de las cuales una es igual y la otra desigual a una tercera cosa común, son desiguales entre sí».

Una igualdad y una desigualdad, en resumen, dan una desigualdad, y esto es igualmente cierto con el primer axioma para todo tipo de cantidad. Si Venus, por ejemplo, coincide con Marte en densidad, pero Marte difiere de Júpiter, entonces Venus difiere de Júpiter.

Debe existir un tercer axioma en el sentido de que «Las cosas desiguales a una misma cosa pueden o no ser iguales entre sí». Dos desigualdades no ofrecen ninguna base para la deducción.

Si solo sabemos, por ejemplo, que Mercurio y Júpiter difieren en densidad de Marte, no podemos afirmar si coinciden o no entre ellos. De hecho, no coinciden; pero Venus y Marte, por otra parte, ambos difieren de Júpiter y sin embargo coinciden estrechamente entre sí.

La fuerza de los axiomas puede ilustrarse con mayor claridad trazando líneas iguales y desiguales.‍⁵

La conclusión general debe ser entonces que donde hay igualdad puede haber inferencia, pero donde no hay igualdad no puede haber inferencia. Una simple inducción nos llevará a creer que la condición de la inferencia relativa a la cantidad es la igualdad. De hecho, los tres axiomas pueden resumirse en uno solo, a saber, que «cualquiera que sea la relación en que una cantidad se encuentre respecto a otra, se encuentra en la misma relación respecto al igual de esa otra».

El poder activo es siempre la sustitución de iguales, y es un accidente que en un par de igualdades podamos hacer la sustitución de dos maneras.

De a = b = c podemos inferir a = c, ya sea sustituyendo en a = b el valor de b tal como se da en b = c, o bien sustituyendo en b = c el valor de b tal como se da en a = b.

En a = b ~ d solo podemos hacer una sustitución de a por b.

En e ~ f ~ g no podemos hacer ninguna sustitución ni obtener ninguna inferencia.

En las matemáticas, las relaciones en las que los términos pueden encontrarse entre sí son mucho más variadas que en la lógica pura, pero nuestro principio de sustitución siempre se cumple. Podemos decir de la manera más general que Cualquiera que sea la relación en la que una cantidad se encuentre con respecto a otra, se encuentra en la misma relación con respecto a la igual de esa otra.

En este axioma resumimos una serie de axiomas que han sido enunciados con mayor o menor detalle por los algebristas. Así, «Si se suman cantidades iguales a cantidades iguales, las sumas serán iguales». Para explicar esto, que

Ahora a + c, sea lo que sea lo que signifique, debe ser idéntico a sí mismo, de modo que

En uno de los miembros de esta ecuación, sustitúyanse las cantidades por sus equivalentes, y tendremos demostrado el axioma

El axioma similar relativo a la sustracción es igualmente evidente, pues sea lo que fuere lo que a - c pueda significar, es igual a a - c, y por consiguiente, mediante sustitución, a b - d. De nuevo: «si cantidades iguales son multiplicadas por las mismas o iguales cantidades, los productos serán iguales». Pues evidentemente y si por c en un miembro sustituimos su igual d, tenemos y una segunda sustitución similar nos da

Podríamos demostrar un axioma semejante respecto a la división de un modo exactamente igual. Podría incluso ampliar la lista de axiomas y decir que «Las potencias iguales de números iguales son iguales». Pues ciertamente, sea lo que fuere lo que a × a × a pueda significar, es igual a a × a × a; por consiguiente, según nuestra habitual sustitución, es igual a b × b × b. Lo mismo será aplicable a las raíces de los números y ^c√a = ^d√b siempre que las raíces se tomen de tal modo que la raíz de a esté verdaderamente relacionada con a como la raíz de b lo está con b.

La ambigüedad de significado de una operación fracasa así en modo alguno a la hora de quebrantar la universalidad del principio. Podemos ir más allá y afirmar que, no solo las relaciones comunes anteriores, sino todas las demás relaciones matemáticas conocidas o concebibles obedecen al mismo principio.

Sea Qa la denotación, de la manera más general, de que hacemos algo con la cantidad a; entonces, si a = b, se sigue que

El lector recordará también que una de las operaciones más frecuentes en el razonamiento matemático es sustituir una cantidad por su igual, según se conozca por condiciones asumidas, naturales o evidentes por sí mismas.

Siempre que una cantidad aparezca dos veces en un problema, podemos aplicar lo que aprendemos de sus relaciones en un lugar a sus relaciones en el otro.

Todo razonamiento en matemáticas, al igual que en otras ramas de la ciencia, implica así el principio de tratar a los iguales por igual, o a los similares de manera similar.

De cualquier modo que empleemos el razonamiento cuantitativo en las partes restantes de esta obra, nunca podremos abandonar el principio simple con el que comenzamos.

# Razonamiento por desigualdades.

He afirmado que todos los procesos del razonamiento matemático pueden deducirse del principio de sustitución.

Parecen existir excepciones a esta afirmación en el uso de las desigualdades. El mayor de un mayor es indudablemente mayor, y lo que es menor que un menor es ciertamente menor. Snowdon es más alto que Wrekin, y Ben Nevis que Snowdon; por lo tanto, Ben Nevis es más alto que Wrekin.

Pero una breve reflexión revela razones suficientes para creer que incluso en tales casos, donde la igualdad aparentemente no interviene, la fuerza del razonamiento depende enteramente de igualdades subyacentes e implícitas.

En primer lugar, dos afirmaciones de mera diferencia no dan pie a ninguna inferencia. No aprendemos nada acerca de las alturas comparativas de la catedral de San Pablo y la abadía de Westminster a partir de las afirmaciones de que ambas difieren en altura respecto a San Pedro de Roma. Necesitamos algo más que desigualdad; requerimos una identidad adicional, a saber, la identidad en la dirección de las dos diferencias.

Así, no podemos emplear desigualdades del modo simple en que lo hacemos con las igualdades y, cuando intentamos expresar qué otras condiciones son necesarias, nos encontramos cayendo en el uso de igualdades o identidades.

En segundo lugar, todo razonamiento por desigualdades puede representarse bajo la forma de igualdades. Expresamos que a es mayor que b mediante la ecuación en la que p es una cantidad intrínsecamente positiva, que denota la diferencia entre a y b. De manera similar, expresamos que b es mayor que c mediante la ecuación y, al sustituir b en (1) por su valor en (2), obtenemos

Ahora bien, siendo p y q ambos positivos, se deduce que a es mayor que c, y tenemos la cantidad exacta del exceso especificada. Se verá fácilmente que el razonamiento relativo a aquello que es menor que un menor dará como resultado una ecuación de la forma

Todo argumento por desigualdades puede entonces reducirse a la forma de una igualdad; pero el recíproco no es cierto.

No podemos de ningún modo demostrar que dos cantidades son iguales meramente afirmando que ambas son mayores o ambas menores que otra cantidad. A partir de e > f y g > f, o e < f y g < f, no podemos inferir ninguna relación entre e y g. Y si el lector toma las ecuaciones x = y = 3 e intenta demostrar que, por lo tanto, x = 3, convirtiéndolas en desigualdades, descubrirá que le es imposible hacerlo.

De estas consideraciones deduzco que el razonamiento en aritmética o álgebra mediante las llamadas desigualdades no es más que un razonamiento expresado de manera imperfecta mediante igualdades, y cuando queremos exponer exacta y claramente las condiciones del razonamiento, nos vemos obligados a utilizar las igualdades explícitamente.

Del mismo modo que en lógica pura una proposición negativa, al expresar una mera diferencia, no puede ser el medio de inferencia, la desigualdad tampoco puede ser nunca verdaderamente el fundamento de la inferencia. No niego que la afirmación y la negación, el acuerdo y la diferencia, la igualdad y la desigualdad, sean pares de relaciones igualmente fundamentales, pero afirmo que la inferencia solo es posible allí donde la afirmación, el acuerdo o la igualdad —alguna especie de identidad, de hecho— están presentes, explícita o implícitamente.

# Razonamiento Aritmético.

Puede parecer algo inconsistente que sostenga que el número surge de la diferencia o la discriminación, y que, sin embargo, mantenga que ningún razonamiento puede fundamentarse en la diferencia.

El número, por supuesto, abre un amplísimo ámbito para la inferencia, y una breve reflexión muestra que esto se debe a la serie ilimitada de identidades que brotan de la abstracción numérica.

Si seis personas están sentadas en seis sillas, no hay parecido alguno entre las sillas y las personas en su carácter lógico. Pero si pasamos por alto todas las cualidades tanto de una silla como de una persona y simplemente recordamos que existen marcas mediante las cuales cada una de las seis sillas puede distinguirse de las demás, y de igual manera con las personas, entonces surge un parecido entre las sillas y las personas, y este parecido en número puede ser el fundamento de la inferencia.

Si en otra ocasión las sillas vuelven a ser ocupadas por personas, podemos inferir que estas personas se parecen a las anteriores en número, aunque no es necesario que se parezcan a ellas en ningún otro aspecto.

Los grupos de unidades son lo que realmente tratamos en aritmética.

El número cinco es en realidad 1 + 1 + 1 + 1 + 1, pero por aras de la concisión sustituimos el signo más compacto 5, o el nombre cinco. Al imponerse estos nombres de manera arbitraria, surge entre ellos una variedad infinita de relaciones que no tienen nada de arbitrarias.

Si definimos cuatro como 1 + 1 + 1 + 1, y cinco como 1 + 1 + 1 + 1 + 1, entonces por supuesto se deduce que cinco = cuatro + 1; pero sería igualmente posible tomar esta última igualdad como definición, caso en el cual una de las igualdades anteriores se convertiría en una deducción.

Apenas es necesario decidir cómo definimos los nombres de los números, siempre que recordemos que, de entre las relaciones infinitamente numerosas de un número con los demás, cierta relación expresada en una igualdad ha de ser una definición del número en cuestión y las demás relaciones se convierten inmediatamente en deducciones necesarias.

En la ciencia de los números, la variedad de clases que pueden formarse es absolutamente infinita, y se pueden formular afirmaciones de perfecta generalidad sujetas únicamente a dificultad o excepción en el extremo inferior de la escala.

Todo número existente, por ejemplo, pertenece a la clase m + 7; es decir, todo número debe ser la suma de otro número y siete, salvo por supuesto los primeros seis o siete números, sin tomar aquí en cuenta las cantidades negativas.

Todo número es la mitad de algún otro, y así sucesivamente. El tema de la generalización, tal como se manifiesta en las verdades matemáticas, es infinitamente amplio. En el número nos encontramos apenas en el primer peldaño de una extensa serie de generalizaciones.

Así como el número es general en comparación con las cosas particulares enumeradas, tenemos símbolos generales para los números y símbolos generales para las relaciones entre números indeterminados. Existe una jerarquía ilimitada de generalizaciones sucesivas.

# Razonamiento Numéricamente Definito.

Fue descubierto por primera vez por De Morgan que muchos argumentos son válidos combinando el razonamiento lógico y el numérico, a pesar de que no pueden incluirse en las antiguas fórmulas lógicas. Él desarrolló la doctrina del «Silogismo Numéricamente Definido», explicada detalladamente en su obra Formal Logic (págs. 141–170).

Boole también dedicó considerable atención a la determinación de lo que llamó «Condiciones Estadísticas», refiriéndose a las condiciones numéricas de las clases lógicas.

En un artículo publicado entre las Memoirs of the Manchester Literary and Philosophical Society, tercera serie, vol. IV, pág. 330 (Sesión 1869–70), he señalado que podemos aplicar el cálculo aritmético al Alfabeto Lógico. Dadas ciertas condiciones lógicas y los números de objetos en determinadas clases, podemos ya sea determinar los números de objetos en otras clases gobernadas por dichas condiciones, o bien mostrar qué datos adicionales se requieren para determinarlos.

Como ejemplo del tipo de cuestiones tratadas en la lógica numérica, y del modo de tratamiento, presento el siguiente problema sugerido por De Morgan, junto con mi modo de representar su solución.

“Por cada hombre en la casa hay una persona que es anciana; algunos de los hombres no son ancianos. De ello se sigue que algunas personas en la casa no son hombres.”‍⁶

Encerrando un símbolo lógico entre corchetes, denotemos el número de objetos pertenecientes a la clase indicada por el símbolo. Sea así

y así sucesivamente. Ahora bien, si empleamos w y w′ para denotar números desconocidos, las condiciones del problema pueden enunciarse así, según mi interpretación de las palabras:

es decir, que el número de personas en la casa que son ancianas es al menos igual a, y puede exceder, el número de personas de sexo masculino en la casa;

es decir, el número de personas de sexo masculino en la casa que no son de edad avanzada es alguna cantidad positiva desconocida.

Si desarrollamos los términos en (1) según la Ley de Dualidad (págs. 74, 81, 89), obtenemos

Restando el término común (ABC) de cada miembro y sustituyendo (ABc) por su valor dado en (2), obtenemos inmediatamente y, sumando (Abc) a cada miembro, tenemos

El significado de este resultado es que el número de personas en la casa que no son hombres es al menos igual a w + w′, y lo supera en el número de personas en la casa que no son ni hombres ni de edad avanzada (Abc).

Debe entenderse que esta solución se aplica únicamente a los términos del ejemplo citado anteriormente, y no al problema general para el cual De Morgan pretendía que sirviera de ilustración.

Como segundo ejemplo, tomemos la siguiente cuestión:—El número total de votantes en un distrito electoral es a; el número de aquellos contra quienes los liberales han presentado objeciones es b; y el número de aquellos contra quienes los conservadores han presentado objeciones es c; se requiere el número, si lo hay, de los objetados por ambas partes. Tomando entonces, requerimos el valor de (ABC). Ahora bien, la siguiente ecuación es idénticamente verdadera—

Porque si desarrollamos todos los términos del segundo miembro obtenemos

(ABC) = (ABC) + (ABc) + (ABC) + (AbC) + (Abc)

• (ABC) - (ABc) - (AbC) - (Abc);

y tachando los términos positivos y negativos correspondientes, nos queda únicamente (ABC) = (ABC). Puesto que entonces (1) es necesariamente verdadera, solo tenemos que insertar los valores conocidos, y tenemos

Por tanto, el número de los que han recibido objeciones de ambos lados es igual al exceso, si lo hay, del número total de objeciones sobre el número de votantes, sumado al número de votantes que no han recibido ninguna objeción (Abc*).

El siguiente problema ilustra la expresión para la parte común de tres clases cualesquiera:—El número de pobres que son varones ciegos es igual al exceso, si lo hay, de la suma del número total de personas ciegas, más el número total de personas de sexo masculino, más el número de aquellos que, siendo pobres, no son ni ciegos ni varones, por encima de la suma del número total de pobres, más el número de aquellos que, sin ser pobres, son ciegos, y el número de aquellos que, sin ser pobres, son varones.

Se ruega al lector que compruebe la verdad de la afirmación anterior (1) mediante su propio sentido común sin ayuda externa; (2) mediante la lógica aristotelifuncional; (3) mediante el método de la lógica numérica recién expuesto; y que luego decida cuál método es el más satisfactorio.

Significado numérico de las Condiciones Lógicas.

En muchos casos, las clases de objetos pueden existir bajo condiciones lógicas especiales, y debemos considerar cómo pueden interpretarse numéricamente estas condiciones. Toda proposición lógica da lugar a una ecuación numérica correspondiente. La igualdad de cualidades ocasiona la igualdad de números.

Por lo tanto, si denota la identidad de las cualidades de A y B, podemos concluir que

Es evidente que exactamente aquellos objetos, y solo aquellos objetos, que están comprendidos en A deben estar comprendidos en B. De ello se sigue que siempre que podamos trazar una ecuación de cualidades, podemos trazar una ecuación similar de números.

Así, de inferimos y de manera similar de que significa que los números de A y de C son iguales al número de B, podemos inferir

Pero, curiosamente, esto no se aplica a las proposiciones negativas y a las desigualdades. Pues si significa que A es idéntico a B, que difiere de D, no se sigue que

Dos clases de objetos pueden diferir en sus cualidades y, sin embargo, coincidir en número. Este punto me confirma firmemente en la opinión que ya he expresado de que toda inferencia depende en realidad de ecuaciones, no de diferencias.

El Alfabeto Lógico nos permite así realizar un análisis completo de cualquier problema numérico, y aunque la exposición simbólica pueda parecer a veces prolija, considero que representa realmente el curso que la mente debe seguir para resolver la cuestión.

Aunque el pensamiento pueda superar la rapidez con la que se pueden escribir los símbolos, la mente no sigue en realidad un curso diferente al indicado por los símbolos.

Para una explicación más detallada de este sistema natural de Razonamiento Numéricamente Definido, con ilustraciones más abundantes y un análisis del Silogismo Numéricamente Definido de De Morgan, debo remitir al lector al artículo‍⁷ en las Memoirs of the Manchester Literary and Philosophical Society, ya mencionado, porciones del cual, sin embargo, han sido incorporadas en la presente sección.

También puede remitirse al lector a los escritos de Boole sobre el tema en Laws of Thought, cap. xix, p. 295, y en un ensayo sobre «Proposiciones numéricamente definidas», comunicado por De Morgan, en 1868, a la Sociedad Filosófica de Cambridge, e impreso en sus Transactions, vol. xi, parte ii.