Se han hecho pocas alteraciones de importancia al preparar esta segunda edición. No obstante, se ha aprovechado la oportunidad para revisar muy cuidadosamente tanto el lenguaje como la materia del libro.
Habiendo señalado corresponsales y críticos inexactitudes de mayor o menor importancia en la primera edición, se han realizado las correcciones y enmiendas adecuadas.
Estoy en deuda con el Sr. C. J. Monro, M.A., de Barnet, y con el Sr. W. H. Brewer, M.A., uno de los Inspectores de Escuelas de Su Majestad, por numerosas correcciones.
Entre varias adiciones que se han hecho al texto, puedo mencionar el resumen (p. 143) de la notable investigación del profesor Clifford sobre el número de tipos de proposiciones compuestas que implican cuatro clases de objetos.
Esta investigación hace avanzar el problema lógico inverso descrito en las secciones precedentes. Nuevamente, la necesidad de un método lógico mejor que el del viejo Barbara Celarent, etc., se pone de manifiesto de manera llamativa con el problema lógico del señor Venn, descrito en la p. 90. Un gran número de candidatos en lógica y filosofía fueron puestos a prueba por el señor Venn con este problema, el cual, aunque simple en realidad, fue resuelto por muy pocos de aquellos que ignoraban la lógica de Boole.
El señor Venn podría aducir otras pruebas de la necesidad de algún medio mejor de formación lógica. Para permitir que el estudiante de lógica ponga a prueba su destreza en la resolución de problemas lógicos inductivos, he incluido (p. 127) una serie de diez problemas de dificultad graduada.
Para evitar malentendidos, debe mencionarse que, a lo largo de esta edición, he sustituido el nombre de Logical Alphabet por el de Logical Abecedarium, denominación aplicada en la primera edición a la serie exhaustiva de combinaciones lógicas representadas en términos de A, B, C, D (p. 94).
Algunos lectores objetaron que Abecedarium es un nombre largo y poco familiar.
Al capítulo sobre Unidades y Patrones de Medida he añadido dos secciones, una (pág. 325) que contiene una breve exposición de la teoría de dimensiones, y la otra (pág. 319) que analiza la muy original sugerencia del profesor Clerk Maxwell sobre un sistema natural de patrones para la medida del espacio y del tiempo, basada en la longitud y la rapidez de las ondas de luz.
En mi descripción de la Máquina Lógica en los Philosophical Transactions (vol. 160, p. 498), dije: «Es muy raro en verdad que se haga un invento sin que tarde o temprano se descubra alguna anticipación; pero hasta el presente desconozco por completo incluso un solo intento previo de idear o construir una máquina que debiera realizar las operaciones de la inferencia lógica; y creo que solo en los escritos satíricos de Swift se puede encontrar una alusión a una máquina de razonamiento real».
Antes de que el artículo fuera impreso, sin embargo, pude remitir (p. 518) a los ingeniosos diseños del difunto Sr. Alfred Smee como intentos de representar el pensamiento mecánicamente.
Las máquinas del señor Smee en verdad nunca llegaron a construirse y, de haberse construido, no habrían realizado una inferencia lógica real.
Sin embargo, acaba de salir a la luz que el célebre Lord Stanhope sí construyó realmente un dispositivo mecánico capaz de representar inferencias silogísticas de forma concreta. Al parecer, la lógica era uno de los estudios favoritos de este noble verdaderamente original e ingenioso.
Quedan fragmentos de una obra lógica, impresa por el conde en su propia imprenta, que demuestran que había llegado, antes del año 1800, al principio del predicado cuantificado.
Expone este principio de la manera más explícita y propone emplearlo en todo su sistema silogístico. Además, convierte las proposiciones negativas en afirmativas y las representa mediante la cópula «es idéntico a».
De este modo anticipó, probablemente por la fuerza de su propia perspicacia desasistida, los puntos principales del método lógico originado en las obras de George Bentham y George Boole, y desarrollado en esta obra.
Stanhope, en verdad, no tiene derecho a la prioridad del descubrimiento, porque parece que nunca publicó sus escritos lógicos, aunque fueron impresos. No hay rastro de ellos en la Biblioteca del Museo Británico, ni en ninguna otra biblioteca u obra de lógica, hasta donde tengo entendido. Tanto los documentos como el dispositivo lógico han sido depositados por el actual conde Stanhope en manos del reverendo Robert Harley, F.R.S., quien espero que pronto publique una descripción de ellos.1
Por gentileza del señor Harley, he podido examinar el artificio lógico de Stanhope, por él llamado Demostrador. Consiste en una pieza cuadrada de madera de laurel con una depresión cuadrada en el centro, a través de la cual se pueden deslizar dos tablillas, siendo una de ellas de vidrio rojo y consistiendo la otra en madera de color gris.
El grado en que cada una de estas tablillas se introduce está indicado por escalas y cifras a lo largo de los bordes de la abertura, y la sencilla regla de inferencia adoptada por Stanhope es:
«Al gris añádese el rojo y réstese el holon»,
entendiendo por holon (ὅλον) toda la anchura de la abertura. Esta regla de inferencia es una curiosa anticipación del silogismo numéricamente definido de De Morgan (véase más abajo, p. 168) y de las inferencias fundadas en lo que Hamilton llamó «distribución ultratotal».
Otro punto curioso del aparato de Stanhope es que una tablilla deslizante puede extraerse y volver a introducirse en ángulo recto con respecto a la otra, y la parte superpuesta de las tablillas representa entonces la probabilidad de una conclusión, derivada de dos premisas cuyas probabilidades están representadas respectivamente por las partes salientes de las tablillas.
Así pues, parece que Stanhope había estudiado la lógica de la probabilidad tanto como la de la certeza, anticipándose de nuevo aquí, por muy oscuramente que fuere, al reciente progreso de la ciencia lógica.
Se verá, sin embargo, que entre el Demostrador de Stanhope y mi Máquina Lógica no hay más parecido que el hecho de que ambos realizan inferencias lógicas.
En la primera edición introduje una sección (vol. i. p. 25) sobre «Anticipaciones del principio de sustitución», y he reimpreso dicha sección sin cambios en esta edición (p. 21).
Observo en ella que: «En una materia como la lógica, es apenas posible exponer opiniones que no hayan sido ya en cierta medida sostenidas con anterioridad. El germen, al menos, de cada doctrina se encontrará en escritos anteriores, y la novedad debe surgir principalmente en el modo de armonizar y desarrollar las ideas».
Señalo, como el profesor T. M. Lindsay lo había hecho previamente, que Beneke había empleado el nombre y el principio de sustitución, y que doctrinas muy próximas a la sustitución fueron expuestas por los lógicos de Port-Royal hace más de 200 años.
No me ha sorprendido en absoluto enterarme, sin embargo, de que otros lógicos han enunciado más o menos claramente este principio de sustitución durante los últimos dos siglos.
Como mi amigo y sucesor en el Owens College, el profesor Adamson, ha descubierto, este principio puede remontarse ni más ni menos que al filósofo Leibniz.
El notable tratado de Leibniz,2 titulado «Non inelegans Specimen Demonstrandi in Abstractis», comienza de inmediato con una definición correspondiente al principio:—
“Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate.
Si sint A et B, et A ingrediatur aliquam propositionem veram, et ibi in aliquo loco ipsius A pro ipso substituendo B fiat nova propositio æque itidem vera, idque semper succedat in quacunque tali propositione, A et B dicuntur esse eadem; et contra, si eadem sint A et B, procedet substitutio quam dixi.”
Leibniz, pues, adopta explícitamente el principio de substitución, pero lo formula como una definición, diciendo que son lo mismo aquellas cosas que pueden substituirse la una por la otra sin alterar la verdad de la proposición. Solo después de haber comprobado de este modo la mismidad de las cosas podemos volvernos y decir que A y B, al ser lo mismo, pueden substituirse la una por la otra.
Parecería como si estuviéramos aquí ante un círculo vicioso; pues no se nos permite substituir A por B a menos que hayamos constatado mediante prueba que el resultado es una proposición verdadera. La dificultad no parece quedar eliminada por la salvedad de Leibniz: «idque semper succedat in quacunque tali propositione».
¿Cómo podemos saber que, puesto que A y B pueden substituirse mutuamente en algunas proposiciones, pueden por tanto substituirse en otras?; ¿y cuál es el criterio de semejanza de las proposiciones expresado en la palabra «tali»?
Si el principio de substitución debe considerarse como un postulado, un axioma o una definición, es precisamente una de esas cuestiones fundamentales que parece imposible resolver en la situación actual de la filosofía, pero esta incertidumbre no impedirá que demos un paso considerable en la ciencia lógica.
Leibnitz procede a establecer en forma de teorema lo que suele tomarse como un axioma, así (Opera, p. 95):
“Theorema I. Quæ sunt eadem uni tertio, eadem sunt inter se. Si A ∝ B et B ∝ C, erit A ∝ C. Nam si in propositione A ∝ B (vera ea hypothesi) substituitur C in locum B (quod facere licet per Def. I. quia B ∝ C ex hypothesi) fiet A ∝ C. Q. E. Dem.”
De este modo, Leibnitz anticipa con precisión el modo de tratar la inferencia con dos identidades simples descrito en la p. 51 de esta obra.
Aun el axioma matemático de que «si a los iguales se suman iguales, los resultados son iguales» se deduce del principio de sustitución. En la pág. 95 de la edición de Erdmann, encontramos: «Si eidem addantur coincidentia fiunt coincidentia. Si A ∝ B, erit A + C ∝ B + C. Nam si in propositione A + C ∝ A + C (quæ est vera per se) pro A semel substituas B (quod facere licet per Def. I. quia A ∝ B) fiet A + C ∝ B + C Q. E. Dem.» Esta es indudablemente la manera de deducir los diversos axiomas del razonamiento matemático a partir del axioma superior de la sustitución, que se explica en la sección sobre la inferencia matemática (pág. 162) de esta obra, y que ya había sido expuesto en mi Substitution of Similars, pág. 16.
Hay uno o dos otros breves opúsculos en los que Leibniz anticipa las opiniones modernas de la lógica. Así, en el decimoctavo opúsculo de la edición de Erdmann (pág. 92), titulado «Fundamenta Calculi Ratiocinatoris», dice: «Inter ea quorum unum alteri substitui potest, salvis calculi legibus, dicetur esse æquipollentiam». Hay indicios, asimismo, de que había llegado a la cuantificación del predicado, y de que comprendía plenamente la reducción de la proposición afirmativa universal a la forma de una ecuación, que es la clave de una concepción mejorada de la lógica. Así, en el opúsculo titulado «Difficultates Quædam Logicæ»,3 dice: «Omne A est B; id est æquivalent AB et A, seu A non B est non-ens».
Es curioso encontrar también que Leibniz estaba plenamente familiarizado con las leyes de conmutatividad y de «simplicidad» (como he llamado a la segunda ley) asociadas a los símbolos lógicos. En los Addenda ad Specimen Calculi Universalis leemos lo siguiente:4
«Transpositio literarum in eodem termino nihil mutat, ut ab coincidet cum ba, seu animal rationale et rationale animal.»
“Repetitio ejusdem literæ in eodem termino est inutilis, ut b est aa; vel bb est a; homo est animal animal, vel homo homo est animal. Sufficit enim dici a est b, seu homo est animal.”
Comparando esto con lo que se afirma en el Mathematical Analysis of Logic de Boole, págs. 17-18, en sus Laws of Thought, pág. 29, o en esta obra, págs. 32-35, encontramos que Leibniz había llegado hace dos siglos a una clara percepción de las bases de la notación lógica. Cuando Boole señaló que, en lógica, xx = x, esto les pareció a los matemáticos una paradoja, o en cualquier caso un descubrimiento totalmente nuevo; pero aquí lo tenemos expuesto claramente por Leibniz.
El lector no debe suponer, sin embargo, que porque Leibnitz comprendió correctamente los principios fundamentales de la lógica, no dejó nada por hacer a los lógicos modernos. Por el contrario, Leibnitz no obtuvo ningún resultado útil de su definición de sustitución. Cuando procede a explicar el silogismo, como en el artículo sobre «Definitiones Logicæ»,5 renuncia por completo a la sustitución y recurre a la noción de inclusión de clase en clase, diciendo: «Includens includentis est includens inclusi, seu si A includit B et B includit C, etiam A includet C». Procede a establecer ciertas reglas del silogismo que implican la distinción entre sujeto y predicado, y que no son, en ningún aspecto importante, mejores que las viejas reglas del silogismo. Los tratados lógicos de Leibnitz son, de hecho, poco más que breves memorandos de investigaciones que parecen no haber sido nunca desarrolladas. Permanecen como testimonio de su admirable sagacidad, pero sería difícil demostrar que hayan tenido alguna influencia en el progreso de la ciencia lógica en los tiempos recientes.
Me gustaría explicar cómo ocurrió que estos escritos lógicos de Leibniz me fuesen desconocidos hasta hace doce meses. En verdad, soy un lector tan lento de libros en latín que el haber pasado por alto unas pocas páginas de las obras de Leibniz no habría resultado sorprendente en ningún caso.
Pero el hecho es que el ejemplar de las obras de Leibniz del que hacía uso ocasional era uno de la edición de Dutens, que se encuentra en la Biblioteca del Owens College. Los opúsculos lógicos en cuestión no se imprimieron en dicha edición y, con una sola excepción, permanecieron inéditos en la Biblioteca Real de Hannover hasta que Erdmann los editó en 1839-40.
El opúsculo «Difficultates Quædam Logicæ», aunque desconocido para Dutens, fue publicado por Raspe en 1765 en su recopilación titulada Œuvres Philosophiques de feu Mr. Leibnitz; pero esta obra no había llegado a mi conocimiento, ni parece contener el opúsculo en cuestión ninguna declaración explícita del principio de sustitución.
Es, supongo, la publicación comparativamente reciente de los tratados lógicos más notables de Leibniz la que explica la aparente ignorancia de los lógicos en cuanto a su contenido e importancia.
Los lógicos más sabios, tales como Hamilton y Ueberweg, ignoran el principio de sustitución de Leibniz.
En el Apéndice del cuarto volumen de las Lectures on Metaphysics and Logic de Hamilton, se ofrece un minucioso compendio de las opiniones de los autores lógicos relativas al fundamento último del razonamiento deductivo. Se menciona brevemente a Leibniz en la pág. 319, pero sin el menor indicio de sustitución. Se le cita aquí diciendo: «Lo que es lo mismo que un mismo tercero, es lo mismo entre sí; es decir, si A es lo mismo que B, y C es lo mismo que B, es necesario que A y C sean también lo mismo el uno con el otro. Pues este principio se deriva inmediatamente del principio de contradicción, y es el cimiento y base de toda lógica; si este falla, ya no hay modo alguno de razonar con certeza».
Este punto de vista sobre el asunto parece ser incompatible con el que adoptó en su tratado póstumo.
El Dr. Thomson, en efecto, conocía los opúsculos de Leibniz y se refiere a ellos en su obra Outline of the Necessary Laws of Thought. Los califica de valiosos; sin embargo, parece haber pasado por alto el punto verdaderamente valioso, pues al hacer dos breves citas,6 omite toda mención del principio de sustitución.
Ueberweg es considerado probablemente la máxima autoridad en lo que respecta a la historia de la lógica, y en su conocido Sistema de lógica e historia de las doctrinas lógicas,7 ofrece cierta explicación del principio de sustitución, especialmente tal como se enuncia implícitamente en la Lógica de Port-Royal. Pero omite toda referencia a Leibniz en este contexto, ni tampoco subsana la omisión en ninguna otra parte, hasta donde alcanzo a ver.
Su editor inglés, el profesor T. M. Lindsay, al referirse a mi obra Substitution of Similars, señala cómo se me adelantó Beneke; pero también pasa por alto a Leibniz. Resulta así evidente que los lógicos más cultos, incluso cuando escriben específicamente sobre la historia de la lógica, mostraron ignorancia acerca de los escritos lógicos más valiosos de Leibniz.
Sin embargo, se me ha señalado recientemente que el reverdeble Robert Harley llamó la atención, en la Reunión de Nottingham de la Asociación Británica, en 1866, sobre las anticipaciones de Leibniz respecto a las leyes de la notación lógica de Boole,8 y se me informa que Boole, aproximadamente un año después de la publicación de sus Laws of Thought, fue puesto al corriente de estas anticipaciones por R. Leslie Ellis.
Parece haber habido al menos otro lógico alemán que descubrió, o adoptó, el principio de sustitución.
Reusch, en su Systema Logicum, publicado en 1734, se esmeró en dotar de una base más amplia al Dictum de Omni et Nullo. Sostiene que «todo el asunto del razonamiento ordinario se lleva a cabo mediante la sustitución de ideas en lugar del sujeto o del predicado de la proposición fundamental. A esto algunos lo llaman la ecuación de los pensamientos».
Pero, en manos de Reusch, la sustitución no parece conducir a la simplicidad, puesto que debe llevarse a cabo según las reglas de la Equipolencia, la Reciprocación, la Subordinación y la Coordinación.9
En otra parte se habla de Reusch10 como el «célebre Reusch»; sin embargo, no me ha sido posible encontrar un ejemplar de su libro en Londres, ni siquiera en la Biblioteca del Museo Británico; no se menciona en el catálogo impreso de la Biblioteca Bodleiana; los señores Asher no han conseguido obtenérmelo mediante un anuncio en Alemania; y el profesor Adamson tampoco ha tenido éxito.
Por la forma en que Reusch menciona el principio de sustitución, parecería probable que otros lógicos de principios del siglo XVIII estuvieran familiarizados con él; pero, de ser así, resulta aún más curioso que los historiadores recientes de la ciencia lógica hayan pasado por alto esta doctrina.
Es un hecho extraño y desalentador que las verdaderas opiniones sobre la lógica hayan sido descubiertas y discutidas hace uno o dos siglos y, sin embargo, hayan permanecido, como la obra de George Bentham en este siglo, sin influencia en el progreso posterior de la ciencia. Puede considerarse como seguro que ninguno de los descubridores de la cuantificación del predicado, Bentham, Hamilton, Thomson, De Morgan y Boole, recibió ayuda alguna de los indicios del principio contenidos en escritores anteriores.
En cuanto a mis propias opiniones sobre la lógica, fueron moldeadas originalmente por un estudio cuidadoso de las obras de Boole, tal como se expone detalladamente en mi primer ensayo lógico.11
En cuanto al proceso de sustitución, no se aprendió de ninguna obra de lógica, sino que es simplemente el proceso de sustitución perfectamente familiar para los matemáticos, y con el que necesariamente me familiaricé en el curso de mi prolongado estudio de las matemáticas bajo la tutela del difunto profesor De Morgan.
Encuentro que la Teoría de los Números, que expliqué en el octavo capítulo de esta obra, también se anticipa parcialmente en un solo escolio de Leibniz. Primero enuncia como axioma la hoy bien conocida ley de Boole, de la siguiente manera:—
“Axioma I. Si idem secum ipso sumatur, nihil constituitur novum, seu A + A ∝ A.”
Luego sigue este notable escolio:
“Equidem in numeris 4 + 4 facit 8, seu bini nummi binis additi faciunt quatuor nummos, sed tunc bini additi sunt alii a prioribus; si iidem essent nihil novi prodiret et perinde esset ac si joco ex tribus ovis facere vellemus sex numerando, primum 3 ova, deinde uno sublato residua 2, ac denique uno rursus sublato residuum.”
Traducido, esto se leería de la siguiente manera:—
“Axioma I. Si una misma cosa se toma junto con sí misma, no surge nada nuevo, o A + A = A.
“Scholium. En los números, ciertamente, 4 + 4 son 8, o dos monedas sumadas a dos monedas hacen cuatro monedas, pero las dos sumadas son distintas de las anteriores; si fueran las mismas, no se produciría nada nuevo, y sería exactamente igual que si en broma tratáramos de hacer seis huevos de tres, contando primero los tres huevos, después, retirado uno, contando los dos restantes, y por último, retirado de nuevo uno, contando el huevo restante”.
Compare lo anterior con las págs. 156 a 162 de la presente obra.
M. Littré ha señalado hace muy poco tiempo12 lo que considera una analogía entre el sistema de lógica formal, expuesto en las páginas siguientes, y los artificios lógicos del célebre Ramon Llull.
El método de invención de Llull fue descrito en un gran número de libros medievales, pero se expone de la mejor manera en su Ars Compendiosa Inveniendi Veritatem, seu Ars Magna et Major.
Este método consistía en colocar varios nombres de cosas en los sectores de círculos concéntricos, de modo que, al girar los círculos, toda combinación posible de las cosas se producía fácilmente por medios mecánicos. Podría ser posible, tal vez, descubrir en este método una vaga y burda anticipación de la lógica combinatoria; pero es bien sabido que los resultados del método de Llull solían ser de un carácter fantasioso, cuando no absurdo.
Un análogo mucho más cercano del Alfabeto Lógico se encuentra probablemente en el Cuadrado Lógico, inventado por John Christian Lange y descrito en una obra suya, rara e inadvertida, que he descubierto recientemente en el Museo Británico.13
Este cuadrado implicaba el principio de la clasificación bifurcada, y era una forma mejorada del árbol ramista y porfiriano (véase más adelante, p. 702). Lange parece, en efecto, haber desarrollado su Cuadrado Lógico hasta darle una forma mecánica, y sugiere que podría emplearse de algún modo a la manera de los huesos de Napier (p. 65). Hay mucha analogía entre su Cuadrado y mi Ábaco, pero Lange no había llegado a un sistema lógico que le permitiera usar su invención para la inferencia lógica a la manera del Ábaco Lógico.
Se dice que otra obra de Lange contiene la primera publicación de los bien conocidos diagramas eulerianos de proposición y silogismo.14
Desde que se publicó la primera edición, ha aparecido una obra importante del señor George Lewes, a saber, sus Problems of Life and Mind [Problemas de vida y mente], que en gran medida trata sobre el método científico y formula las reglas de la filosofía.
Me habría gustado debatir la relación entre las opiniones del señor Lewes y las aquí expuestas, pero he considerado imposible, en un libro que ya ocupa casi 800 páginas, adentrarme en el debate de una obra aún más extensa. Por la misma razón, no me ha sido posible comparar mi propio tratamiento del tema de la probabilidad con las opiniones expresadas por el señor Venn en su Logic of Chance [Lógica del azar].
Las profundas y notables obras del señor J. J. Murphy sobre Habit and Intelligence [Hábito e inteligencia], y sobre The Scientific Basis of Faith [Las bases científicas de la fe], me eran desgraciadamente desconocidas cuando escribí las páginas siguientes. No pueden ser ignoradas sin riesgo por nadie que desee comprender la tendencia de la filosofía y del método científico en la actualidad.
Parece conveniente que procure responder a algunos de los críticos que han señalado lo que consideran defectos en las doctrinas de este libro, especialmente en la primera parte, que trata de la deducción.
Algunas de las recensiones de la obra fueron en verdad más bien exposiciones de su contenido que críticas. Así, estoy muy endeudado con M. Louis Liard, profesor de filosofía en Burdeos, por la muy cuidadosa exposición15 de la concepción substitutional de la lógica que ofreció en la excelente Revue Philosophique, dirigida por M. Ribot. (Mars, 1877, tom. iii. p. 277.)
Una descripción igualmente cuidadosa del sistema fue ofrecida por M. Riehl, profesor de filosofía en Graz, en su artículo sobre «Die Englische Logik der Gegenwart», publicado en la Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie. (1 Heft, Leipzig, 1876.)
Quisiera reconocer también la manera cuidadosa y competente en que mi libro fue reseñado por el New York Daily Tribune y el New York Times.
Las objeciones más serias que se han formulado contra mi tratamiento de la lógica se refieren a mi omisión de analizar la naturaleza última y el origen de las Leyes del Pensamiento. El Spectator,16 por ejemplo, en el curso de una atenta reseña, dice del principio de sustitución: «Ciertamente, es una gran omisión no debatir de dónde obtenemos este gran principio mismo; si es una ley pura de la mente o tan solo una lección aproximada de la experiencia; y, si es un producto puro de la mente, si hay cualesquiera otros productos del mismo tipo, proporcionados por nuestra propia facultad cognoscitiva».
El profesor Robertson, en su muy aguda reseña,17 objeta asimismo la falta de análisis psicológico y filosófico. «Si el libro realmente correspondiera a su título, el señor Jevons difícilmente habría pasado tan por alto la cuestión, que no deja de plantear, acerca de aquellos indudables principios del conocimiento comúnmente llamados las Leyes del Pensamiento... En todas partes, de hecho, se muestra menos cómodo cuando aborda cuestiones propiamente filosóficas; ni resulta satisfactorio en sus referencias psicológicas, como en las págs. 4, 5, donde no puede comprometerse con una afirmación sin el acompañamiento de "probablemente", "casi" o "apenas". Las reservas suelen ser muy oportunas, pero hay cuestiones fundamentales sobre las cuales es propio formarse un criterio».
Estas observaciones me parecen bien fundadas, y debo explicar la razón por la que me he atrevido a publicar una obra extensa sobre lógica, sin haberme formado un juicio adecuado sobre la naturaleza fundamental del proceso de razonamiento.
El defecto, al fin y al cabo, es más de omisión que de comisión. Tengo la oportunidad de subsanar esta deficiencia en una ocasión futura, si alguna vez me siento capaz de emprender la tarea. Pero no considero que sea una parte esencial de ningún tratado profundizar en un análisis último de su materia de estudio.
Los análisis siempre deben terminar en alguna parte.
Hubo buenos tratados sobre la luz que describían las leyes del fenómeno correctamente antes de que se supiera si la luz consistía en ondulaciones o en partículas proyectadas.
Ahora tenemos tratados sobre la teoría ondulatoria que son muy valiosos y satisfactorios, aunque nos dejan en casi completa duda acerca de qué sea realmente el medio vibratorio.
Así pues, pienso que, en la actualidad, necesitamos una exposición correcta y científica de las leyes formales del pensamiento, y de las formas de razonamiento basadas en ellas, aunque no seamos capaces de adentrarnos en ningún análisis completo de la naturaleza de dichas leyes.
¿Cómo sería hoy la ciencia de la geometría si los geómetras griegos hubieran decidido que era indebido publicar proposiciones antes de haberse decidido sobre la naturaleza de un axioma?
¿Dónde estaría hoy la ciencia de la aritmética si un análisis de la naturaleza del número mismo fuera un preliminar necesario para el desarrollo de los resultados de sus leyes?
En los tiempos recientes ha habido enormes adiciones a las ciencias matemáticas, pero muy pocos intentos de análisis psicológico.
En las escuelas de filosofía alejandrinas y de la temprana Edad Media, se prestó mucha atención a la naturaleza de la unidad y la pluralidad, suscitada principalmente por la cuestión de la Trinidad.
En los últimos dos siglos se han creado ciencias enteras a partir de la noción de pluralidad y, sin embargo, la especulación sobre la naturaleza de la pluralidad se ha ido desvaneciendo.
Este presente tratado contiene, en el octavo capítulo, uno de los pocos intentos recientes de analizar la noción misma de número.
Si se necesita más ilustración, puedo remitirme al cálculo diferencial. Nadie pone en duda la verdad formal de los resultados de dicho cálculo. Las partes más exactas y exitosas de la ciencia física dependen de su uso, y sin embargo los matemáticos que han creado tan inmenso cuerpo de verdades exactas nunca se han puesto de acuerdo sobre la base del cálculo.
¿Cuál es la naturaleza de un límite o la naturaleza de un infinitesimal? Plantéese la cuestión entre un grupo de matemáticos, y se verá que difícilmente dos coinciden, a menos que sea en considerar la cuestión misma como insignificante.
Algunos sostienen que no existen tales cosas como los infinitesimales, y que todo es una cuestión de límites. Otros argüirían que el infinitesimal es el resultado necesario del límite, pero surgen diversos matices de opinión intermedia.
Ahora bien, ocurre exactamente lo mismo con la lógica. Si las formas de razonamiento deductivo e inductivo expuestas en la primera parte de este tratado son correctas, constituyen una aportación definitiva a la ciencia lógica, y habría sido absurdo negarse a publicar tales resultados por no poder decidir al mismo tiempo, en mi propia mente, acerca de la psicología y la filosofía de la materia.
En resumen, se reduce a esto: que mi libro es un libro de Lógica Formal y Método Científico, y no un libro de psicología y filosofía.
Puede objetarse, en efecto, como objeta el Spectator, que el System of Logic de Mill es particularmente sólido en la discusión de los fundamentos psicológicos del razonamiento, de modo que parecería que Mill ha tratado con éxito aquello que siento no ser capaz de intentar por el momento. Si el análisis del conocimiento de Mill es correcto, entonces no tengo nada que decir en disculpa de mis propias deficiencias. Pero es bueno hacer una cosa a la vez y, por lo tanto, no he ocupado ninguna parte considerable de este libro con polémicas y refutaciones. Lo que tengo que decir sobre la lógica de Mill se dirá en una obra separada, en la cual su análisis del conocimiento será examinado de manera un tanto minuciosa. Se demostrará entonces, según creo, que el tratamiento psicológico y filosófico que Mill hace de la lógica no ha producido resultados tan satisfactorios como algunos escritores parecen creer.18
Varios reparos menores pero no por ello menos importantes fueron formulados por el profesor Robertson, algunos de los cuales se han señalado en el texto (págs. 27, 101). En otros casos, sus objeciones apenas admiten otra respuesta que no sea pedir al lector que juzgue entre la obra y la crítica.
Así, el Sr. Robertson afirma19 que los problemas lógicos más complejos resueltos en este libro (hasta la pág. 102 de esta edición) podrían abordarse de manera más fácil y breve basándose en los principios y con los métodos reconocidos de la lógica tradicional. El peso de la prueba recae aquí sobre el Sr. Robertson, y su única prueba consiste en un único caso en el que logra, según me parece que por casualidad, obtener una conclusión especial mediante la antigua forma de dilema.
Sería una ardua tarea poner a prueba la lógica antigua con cada uno de los resultados obtenidos mediante mi notación, y debo dejar que aquellos lectores bien familiarizados con la lógica silogística se pronuncien sobre la sencillez y el poder comparativos de los sistemas nuevo y antiguo. En cuanto a otras agudas objeciones planteadas por el Sr. Robertson, debo remitir al lector al artículo en cuestión.
Un punto de mi último capítulo, el relativo a los resultados y límites del método científico, ha sido criticado por el profesor W. K. Clifford en su conferencia20 sobre «La primera y la última catástrofe». En el vol. ii, p. 438 de la primera edición (p. 744 de esta edición) me referí a ciertas inferencias hechas por físicos eminentes en cuanto a un límite para la antigüedad del actual orden de cosas.
«De acuerdo con las deducciones de Sir W. Thomson a partir de la teoría del calor de Fourier, podemos rastrear la disipación del calor por conducción y radiación hasta un tiempo infinitamente distante en el que todas las cosas estarán uniformemente frías. Pero no podemos rastrear de igual manera la historia térmica del Universo hasta una distancia infinita en el pasado. Para un cierto valor negativo del tiempo, las fórmulas dan valores imposibles, lo cual indica que hubo alguna distribución inicial de calor que no podría haber resultado, según las leyes conocidas de la naturaleza, de ninguna distribución previa».
Ahora bien, según el profesor Clifford, aquí he expuesto mal los resultados de Thomson.
«No es según las leyes conocidas de la naturaleza, es según las leyes conocidas de la conducción del calor, que habla sir William Thomson. [...] Todos estos escritores de física, sabiendo de qué estaban escribiendo, simplemente extrajeron de los hechos que tenían ante sí aquellas conclusiones que podían extraerse razonablemente. Dicen: aquí hay un estado de cosas que no podría haber sido producido por las circunstancias que estamos investigando actualmente. Entonces llega vuestro especulador, lee una frase y dice: "Aquí tengo una oportunidad para dar rienda suelta". Y da rienda suelta, y elabora una teoría totalmente infundada sobre el origen necesario del presente orden de la naturaleza en algún punto determinado del tiempo, que podría calcularse».
El profesor Clifford pasa a explicar que las fórmulas de Thomson solo ofrecen un límite para la historia térmica de, digamos, la corteza terrestre en estado sólido. Se nos remonta al momento en que se solidificó a partir de su condición fluida.
Hay discontinuidad en la historia de la materia sólida, pero aun así es una discontinuidad que entra dentro de nuestra comprensión. Más atrás todavía llegaríamos de nuevo a la discontinuidad, cuando el líquido se formó por la condensación de materia gaseosa calentada. Más allá de ese acontecimiento, sin embargo, no hay necesidad de suponer una mayor discontinuidad de la ley, pues la materia gaseosa podría consistir en moléculas que habían estado confluyendo desde distintas partes del espacio a través de un pasado infinito.
Como dice el profesor Clifford (p. 481) acerca de los cuerpos del universo:
“Lo que realmente han hecho es unirse y volverse sólidos. Si tuviéramos que invertir el proceso, los veríamos separándose y enfriándose, y como límite de ello, descubriríamos que todos estos cuerpos se disolverían en moléculas, y todas estas se alejarían volando unas de otras. No habría límite para ese proceso, y podríamos rastrearlo tan atrás en el tiempo como nos plazca.”
Asumiendo que he errado, me gustaría señalar que he errado en la mejor compañía, o más estrictamente, al ser un especulador, he sido conducido al error por los mejores escritores en física. El profesor Tait, en su Sketch of Thermodynamics, al hablar de las leyes descubiertas por Fourier sobre el movimiento del calor en un sólido, dice: «Sus expresiones matemáticas señalan también el hecho de que una distribución uniforme de calor, o una distribución que tiende a volverse uniforme, debe haber surgido de cierta distribución primitiva de calor de un tipo que no puede ser producido por leyes conocidas a partir de ninguna distribución previa». En estas últimas palabras se verá que no hay limitación a las leyes de conducción y, aunque yo me había remitido cuidadosamente al artículo original de Sir W. Thomson, no es antinatural que tomase la interpretación de su significado dada por el profesor Tait.21
En su nueva obra On some Recent Advances in Physical Science, el profesor Tait ha vuelto a tratar el tema de la siguiente manera:22 «Puede extraerse una profunda lección de uno de los primeros y pequeños artículos de Sir W. Thomson, publicado mientras era estudiante universitario en Cambridge, donde muestra que el magnífico tratamiento que hace Fourier de la conducción del calor [en un cuerpo sólido] conduce a fórmulas para su distribución que son comprensibles (y por supuesto capaces de ser plenamente verificadas mediante experimentos) para todo tiempo futuro, pero que, excepto en casos particulares, cuando se extienden al tiempo pasado, siguen siendo comprensibles solo durante un período finito, y entonces indican un estado de cosas que no podría haber resultado bajo leyes conocidas de ninguna distribución previa concebible [del calor en el cuerpo].
Por lo que al calor se refiere, las investigaciones modernas han demostrado que una distribución previa de la materia en cuestión puede ser capaz, mediante su energía potencial, de producir tal estado de cosas en el momento de su agregación; pero el ejemplo se aduce ahora no por su relación con el calor exclusivamente, sino como una simple ilustración del hecho de que todas las partes de nuestra Ciencia, especialmente esa hermosa rama que es la Disipación de la Energía, apuntan unánimemente hacia un principio, hacia un estado de cosas imposible de derivar —mediante las leyes actuales [de la materia tangible y su energía]— de ningún arreglo previo concebible».
Como esto se publicó casi un año después de la conferencia del profesor Clifford, puede inferirse que el profesor Tait mantiene su opinión original de que la teoría del calor sí ofrece evidencia de «un principio».
Puedo añadir que las palabras del profesor Clerk Maxwell parecen aprobar el mismo punto de vista, pues dice:23 “Este es solo uno de los casos en los que la consideración de la disipación de la energía conduce a la determinación de un límite superior para la antigüedad del orden de cosas observado”. La expresión “orden de cosas observado” se presta a mucha ambigüedad, pero a falta de matices yo la interpretaría de modo que incluye el conjunto de las leyes de la naturaleza que conocemos. Interpretaría al profesor Maxwell en el sentido de que la teoría del calor indica la ocurrencia de algún acontecimiento del cual nuestra ciencia no puede dar ninguna explicación adicional. Los escritores de física parecen, por tanto, no tener las ideas tan claras al respecto como supone el profesor Clifford.
En la medida en que me atrevo a formarme una opinión independiente sobre el asunto, esta es que el profesor Clifford tiene razón, y que las leyes conocidas de la naturaleza no nos permiten señalar un «principio».
La ciencia nos conduce hacia atrás en una duración pasada infinita. Pero que el profesor Clifford tenga razón en este punto no es motivo para que debamos suponer que la tiene en sus otras opiniones, algunas de las cuales estoy seguro de que son erróneas. Tampoco es motivo para que otras partes de mi último capítulo deban ser erróneas.
La cuestión solo afecta al único párrafo de las págs. 744-5 de este libro, el cual, creo, podría suprimirse sin necesidad de alterar el resto del texto.
Hay que recordar siempre que el fracaso de un argumento a favor de una proposición no añade, por lo general, gran probabilidad, si es que añade alguna, a la proposición contradictoria.
No puedo concluir sin expresar mi agradecimiento al profesor Clifford por sus amables expresiones respecto a mi obra en su conjunto.
2, The Chestnuts,
West Heath,
Hampstead, N. W.
15 de agosto de 1877.