CAPÍTULO XII. LA APLICACIÓN INDUCTIVA O INVERSA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD.

Hasta ahora hemos considerado la teoría de la probabilidad únicamente en su empleo deductivo simple, en el cual nos permite determinar a partir de condiciones dadas el carácter probable de los eventos que ocurren bajo esas condiciones.

Pero así como el razonamiento deductivo, cuando se aplica de manera inversa, constituye el proceso de inducción, el cálculo de probabilidades también puede aplicarse de manera inversa; a partir del carácter conocido de ciertos eventos podemos razonar retrospectivamente hacia la probabilidad de una determinada ley o condición que rige dichos eventos. Habiendo cumplido satisfactoriamente con esta tarea, podemos en verdad calcular prospectivamente el carácter probable de futuros eventos que ocurran bajo las mismas condiciones; pero esta parte del proceso es un uso directo del razonamiento deductivo (p. 226).

Ahora bien, resulta altamente instructivo descubrir que, ya sea que la teoría de la probabilidad se aplique deductiva o inductivamente, el cálculo se realiza siempre de acuerdo con los principios y reglas de la deducción. La probabilidad de que un acontecimiento tenga una condición particular depende enteramente de la probabilidad de que, si dicha condición existiera, el acontecimiento se produciría. Si tomamos una baraja de cartas común y observamos que están ordenadas en perfecto orden numérico, concluimos más allá de toda duda razonable que han sido dispuestas intencionadamente de este modo por alguna persona familiarizada con el orden habitual de sucesión. Esta conclusión es totalmente irrebatible, y con razón; pues solo hay dos suposiciones que podemos hacer respecto al motivo por el cual las cartas se encuentran en ese orden particular:—

1. Es posible que hayan sido ordenados intencionadamente por alguien que probablemente preferiría el orden numérico.

2. Pueden haber caído en ese orden por casualidad, es decir, por alguna serie de condiciones que, al sernos desconocidas, no puede saberse que conduzcan preferentemente al orden particular en cuestión.

La última suposición no es en absoluto absurda, pues cualquier orden es tan probable como cualquier otro cuando no hay una tendencia predominante. Pero podemos calcular fácilmente mediante la doctrina de las permutaciones la probabilidad de que cincuenta y dos objetos caigan por azar en un orden particular cualquiera.

Cincuenta y dos objetos pueden disponerse en 52 × 51 × ... × 3 × 2 × 1 o alrededor de 8066 × (10)⁶⁴ ordenaciones posibles, número cuyo desarrollo completo requiere 68 cifras. De ahí que sea sumamente improbable que nadie se encuentre jamás con una baraja de cartas ordenada por accidente a la perfección. Si nos encontramos con una baraja así ordenada, adoptamos inevitablemente la otra suposición: que alguien, con razones para preferir ese orden especial, las ha colocado de este modo.

Sabemos que, de la inmensa cantidad de órdenes posibles, el orden numérico es el más notable; es útil por cuanto prueba la perfecta constitución de la baraja, y es el resultado intencional de ciertos juegos. En cualquier caso, la probabilidad de que la intención produzca ese orden es incomparablemente mayor que la probabilidad de que el azar lo produzca; y puesto que cierta baraja existe en ese orden, preferimos con razón la suposición que con mayor probabilidad conduce al resultado observado.

Por un modo similar de razonamiento llegamos todos los días, y de manera válida, a conclusiones que se aproximan a la certeza.

Siempre que observamos un parecido perfecto entre dos objetos, como, por ejemplo, dos páginas impresas, dos grabados, dos monedas, dos huellas, tenemos el derecho de afirmar que provienen del mismo tipo, de la misma plancha, del mismo par de cuños o de la misma bota.

¿Y por qué? Porque es casi imposible que con diferentes tipos, planchas, cuños o botas no se produzca alguna distinción aparente de forma. Es imposible que la mano del artista más hábil haga dos objetos iguales, de modo que la repetición mecánica es la única explicación probable de una semejanza exacta.

A menudo podemos establecer con extrema probabilidad que un documento ha sido copiado de otro. Supongamos que cada documento contiene 10.000 palabras, y que la misma palabra está mal escrita en ambos. Hay entonces una probabilidad de menos de 1 en 10.000 de que el mismo error se cometa en cada uno. Si nos encontramos con un segundo error presente en ambos documentos, la probabilidad es de menos de 1 en 10.000 × 9.999 de que dos coincidencias de este tipo ocurran por azar, y los números crecen con extrema rapidez en el caso de coincidencias más numerosas.

No podemos hacer ningún cálculo preciso sin tomar en cuenta la índole de los errores cometidos, acerca cuyas condiciones no tenemos medios exactos para estimar probabilidades.

Sin embargo, de este modo se pueden obtener abundantes indicios sobre la derivación de los documentos entre sí. En el examen de muchos juegos de tablas logarítmicas, se descubrió la presencia de seis errores notables en todas menos en dos, y se probó que las tablas impresas en París, Berlín, Florencia, Aviñón e incluso en China, además de trece juegos impresos en Inglaterra entre los años 1633 y 1822, procedían directa o indirectamente de alguna fuente común.‍¹

Con una cierta cantidad de labor, es posible establecer más allá de toda duda razonable la relación o genealogía de cualquier número de copias de un documento, procediendo posiblemente de copias matrices hoy perdidas.

Las relaciones entre los manuscritos del Nuevo Testamento han sido investigadas minuciosamente de esta manera, y la misma labor se ha llevado a cabo para muchos escritos clásicos, especialmente por estudiosos alemanes.

# Principio del Método Inverso.

La aplicación inversa de las reglas de probabilidad depende enteramente de una proposición que puede enunciarse así, casi con las palabras de Laplace.‍²

Si un evento puede ser producido por cualquiera de entre cierto número de causas diferentes, todas igualmente probables à priori, las probabilidades de la existencia de estas causas, inferidas a partir del evento, son proporcionales a las probabilidades del evento derivadas de dichas causas.

En otras palabras, la causa más probable de un acontecimiento que ha sucedido es aquella que con mayor probabilidad habría conducido al acontecimiento suponiendo que la causa existiera; pero todas las demás causas posibles han de ser también tomadas en cuenta con probabilidades proporcionales a la probabilidad de que el acontecimiento hubiera ocurrido si la causa hubiera existido.

Supongamos, para fijar nuestras ideas con claridad, que E es el suceso, y C₁ C₂ C₃ son las tres únicas causas concebibles.

Si C₁ existe, la probabilidad es p₁ de que E se produzca; si C₂ o C₃ existen, las probabilidades respectivas son p₂ y p₃.

Entonces, como p₁ es a p₂, así es la probabilidad de que C₁ sea la causa real a la probabilidad de que lo sea C₂; y, de manera similar, como p₂ es a p₃, así es la probabilidad de que C₂ sea la causa real a la probabilidad de que lo sea C₃.

Mediante un simple proceso matemático llegamos a la conclusión de que la probabilidad real de que C₁ sea la causa es y las probabilidades similares de la existencia de C₂ y C₃ son,

La suma de estas tres fracciones asciende a la unidad, lo cual expresa correctamente la certeza de que una u otra causa debe estar en funcionamiento.

Podemos expresar así el resultado en un lenguaje general.

Si es cierto que existe una u otra de las causas supuestas, la probabilidad de que cualquiera de ellas exista es la probabilidad de que, si existe, ocurra el suceso, dividida por la suma de todas las probabilidades similares.

Puede parecer que hay una complejidad en este tema que resulte desagradable para algunos lectores; pero esta complejidad es esencial para el asunto que nos ocupa. Nadie puede comprender los principios del razonamiento inductivo a menos que se tome la molestia de dominar el significado de esta regla, mediante la cual retrocedemos desde un suceso hasta la probabilidad de cada una de sus causas posibles.

Esta regla o principio del método indirecto es el que el sentido común nos lleva a adoptar casi instintivamente, antes de tener ninguna comprensión del principio en su forma general. Es fácil ver, también, que es la regla que, de entre una gran multitud de casos, nos conducirá más a menudo a la verdad, ya que la causa más probable de un acontecimiento significa en realidad aquella causa que en el mayor número de casos produce el acontecimiento.

Donkin y Boole han dado demostraciones de este principio, pero la más fácil de comprender es la de Poisson. Este imagina que cada causa posible de un acontecimiento está representada por una urna distinta, que contiene bolas negras y blancas, en una proporción tal que la probabilidad de extraer una bola blanca es igual a la de que ocurra el acontecimiento. Supone además que cada urna, como es posible, contiene el mismo número total de bolas, negras y blancas; luego, mezclando todos los contenidos de las urnas, demuestra que si se extrae una bola blanca de la urna agregada así formada, la probabilidad de que proceda de una urna particular está representada por el número de bolas blancas en esa urna particular, dividido por el número total de bolas blancas en todas las urnas. Este resultado corresponde al dado por el principio en cuestión.‍³

Por consiguiente, si hay tres cajas, cada una de las cuales contiene diez bolas en total, y contienen respectivamente siete, cuatro y tres bolas blancas, entonces al mezclar todas las bolas juntas tenemos catorce blancas; y si sacamos una bola blanca, es decir, si el evento sucede, la probabilidad de que haya salido de la primera caja es 7/14;

lo cual es exactamente igual a 7/10/7/10 + 4/10 + 3/10, la fracción dada por la regla del Método Inverso.

# Aplicaciones sencillas del método inverso.

En muchos casos de inducción científica podemos aplicar el principio del método inverso de manera sencilla. Si solo se pueden formular dos hipótesis, o a lo sumo unas pocas, sobre el origen de determinados fenómenos, a veces podemos calcular fácilmente las probabilidades respectivas.

Fue así como Bunsen y Kirchhoff establecieron, con una probabilidad rayana en la certeza, que el hierro existe en el sol. Al comparar los espectros de la luz solar y de la luz procedente del vapor incandescente de hierro, se hizo evidente que al menos sesenta líneas brillantes en el espectro del hierro coincidían con líneas oscuras en el espectro del sol.

Tales coincidencias jamás podrían observarse con certeza, porque, aun cuando las líneas solo se aproximaran estrechamente, las imperfecciones instrumentales del espectroscopio harían que aparentaran coincidir, y si una línea quedara a medio milímetro de otra, en el mapa de los espectros, no se podría afirmar que son distintas.

Ahora bien, la distancia media de las líneas solares en el mapa de Kirchhoff es de 2 mm., y si trazamos una línea, por decirlo así, por puro azar en dicho mapa, la probabilidad es de aproximadamente un medio de que la nueva línea caiga a 1/2 mm. de uno u otro lado de alguna de las líneas solares.

Para decirlo de otro modo, podemos suponer que cada línea solar, ya sea debido a su anchura real o a los defectos del instrumento, posee una anchura de 1/2 mm., y que cada línea del espectro del hierro tiene una anchura similar. La probabilidad es entonces exactamente de un medio de que el centro de cada línea del hierro caiga por azar a menos de 1 mm. del centro de una línea solar, de modo que parezca coincidir con ella.

La probabilidad de coincidencia casual de cada línea del hierro con una línea solar es de igual manera 1/2. La coincidencia en el caso de cada una de las sesenta líneas del hierro es un acontecimiento muy improbable si surge de forma casual, pues tendría una probabilidad de tan solo (1/2)⁶⁰ o menos de 1 entre un billón. En resumen, las probabilidades son de más de un billón de billones a uno en contra de semejante coincidencia casual.‍⁴

Pero según la otra hipótesis, la de que el hierro existe en el sol, es altamente probable que se observen tales coincidencias; es inmensamente más probable que se observen sesenta coincidencias si el hierro existe en el sol que el hecho de que surjan por casualidad. De ahí que, según nuestro principio, sea inmensamente probable que el hierro exista en el sol.

Todos los demás resultados interesantes, dados por la comparación de los espectros, descansan sobre el mismo principio de probabilidad.

La coincidencia casi completa entre los espectros de la luz solar, lunar y planetaria hace prácticamente seguro que la luz es en su totalidad de origen solar, y es reflejada desde las superficies de la luna y los planetas, sufriendo solo una ligera alteración por parte de las atmósferas de algunos de los planetas. Se proporciona así una nueva confirmación de la verdad de la teoría copernicana.

Herschel demostró de este modo la relación entre la dirección de las caras oblicuas de los cristales de cuarzo y la dirección en la que esos mismos cristales rotan el plano de polarización de la luz. Pues si se descubre en un segundo cristal que la relación es la misma que en el primero, la probabilidad de que esto ocurra por azar es de 1/2; la probabilidad de que en otro cristal la dirección también sea la misma es de 1/4, y así sucesivamente. La probabilidad de que en n + 1 cristales se dé una coincidencia fortuita de dirección es la enésima potencia de 1/2. Por lo tanto, si al examinar catorce cristales se descubre en cada uno de ellos la misma relación entre los dos fenómenos, las probabilidades de que esto obedezca a condiciones uniformes son superiores a 8000 a 1.‍⁵

Desde que se realizaron las primeras observaciones sobre este tema en 1820, no se ha observado ninguna excepción, por lo que la probabilidad de una conexión invariable es incalculablemente grande.

Es sumamente probable que los antiguos egipcios hubieran registrado con exactitud los eclipses ocurridos durante largos períodos de tiempo, pues Diógenes Laercio menciona que se habían observado 373 eclipses solares y 832 lunares, y la proporción entre estos números expresa exactamente la que se cumpliría en los eclipses de cualquier período largo, digamos de 1200 o 1300 años, según los cálculos astronómicos.

Es evidente que una coincidencia entre números pequeños, o números habituales, como siete, cien, una miríada, etc., es mucho más probable que ocurra por azar y, por lo tanto, ofrece mucho menos presunción de dependencia.

Si dos escritores antiguos hablaran del sacrificio de bueyes, con toda probabilidad lo describirían como una hecatombe, y no habría nada extraordinario en la coincidencia.

Pero es imposible señalar ninguna razón especial por la cual un escritor antiguo debiera elegir números como el 373 y el 832, a menos que hubieran sido el resultado de la observación.

Por fundamentos similares, debemos creer inevitablemente en el origen humano de las esquirlas de sílex descubiertas tan copiosamente en los últimos años. Pues aunque el golpe accidental de una piedra contra otra pueda producir a menudo esquirlas, como las que ocasionalmente se encuentran en la orilla del mar, cuando varias esquirlas se hallan en estrecha compañía, y cada una muestra evidencia, no de un solo golpe únicamente, sino de varios golpes sucesivos, todos conducentes a formar una forma simétrica semejante a un cuchillo, la probabilidad de un origen natural y accidental se vuelve increíblemente pequeña, y la suposición contraria, la de que son obra de seres inteligentes, aproximadamente cierta.‍⁶

# La teoría de la probabilidad en la astronomía.

La ciencia de la astronomía, ocupada con las sencillas relaciones de distancia, magnitud y movimiento de los cuerpos celestes, admite más fácilmente que casi cualquier otra ciencia conclusiones interesantes basadas en la teoría de la probabilidad.

Hace más de un siglo, en 1767, Michell demostró la extrema probabilidad de lazos que conectan entre sí sistemas de estrellas. Le llamó la atención el número inesperado de estrellas fijas que tienen compañeras cerca de ellas. Dicha conjunción podría ocurrir fortuitamente al encontrarse una estrella, aunque posiblemente a gran distancia de la otra, en una línea recta que pasa cerca de la tierra.

Pero las probabilidades están tan en contra de que tal unión óptica ocurra a menudo en la extensión de los cielos, que Michell afirmó la existencia de alguna conexión entre la mayoría de las estrellas dobles. Desde entonces, Struve ha calculado que las probabilidades son de 9570 a 1 en contra de que dos estrellas de magnitud no menor a la séptima caigan dentro de la distancia aparente de cuatro segundos la una de la otra por casualidad, y sin embargo se conocían noventa y un casos de este tipo cuando se hizo el cálculo, y desde entonces se han descubierto muchos más.

También se conocían cuatro estrellas triples, y sin embargo las probabilidades en contra de la aparición de una sola conjunción de este tipo son de 173 524 a 1.‍⁷

Las conclusiones de Michell han sido enteramente verificadas por el descubrimiento de que muchas estrellas dobles están conectadas por la gravitación.

Michell también investigó la probabilidad de que las seis estrellas más brillantes de las Pléyades hubieran llegado por casualidad a una proximidad tan llamativa. Estimando en 1500 el número de estrellas de igual o mayor brillo, halló que las probabilidades en contra de una conjunción fortuita eran de casi 500.000 a 1. Extendiendo el mismo tipo de razonamiento a otros cúmulos, como el de Præsepe o la nebulosa de la empuñadura de la espada de Perseo, afirma:‍⁸ «Podemos concluir con la más alta probabilidad, siendo las probabilidades en contra de la opinión contraria de muchos billones a uno, que las estrellas están realmente reunidas en cúmulos en ciertos lugares, donde forman una especie de sistema, mientras que en otros hay pocas o ninguna de ellas, a cualquier causa que esto pueda deberse, ya sea a su gravitación mutua, o a alguna otra ley o designio del Creador».

Los cálculos de Michell han sido puestos en duda por el difunto James D. Forbes,‍⁹ y el Sr. Todhunter respalda vagamente sus objeciones;‍¹⁰ de otro modo no las habría considerado de gran peso. Ciertamente Laplace acepta las opiniones de Michell,‍¹¹ y si Michell está en un error, radica en los métodos de cálculo, no en la validez general de su razonamiento y sus conclusiones.

Cálculos similares podrían aplicarse sin duda a los peculiares movimientos de deriva que han sido detectados por el Sr. R. A. Proctor en algunas de las constelaciones.‍¹² Las probabilidades en contra de que un grupo numeroso de estrellas se mueva junto en una dirección cualquiera por azar son inmensas. Por razones similares, no cabe duda de que el sol posee un movimiento propio considerable, ya que, en promedio, las estrellas fijas muestran una tendencia a moverse aparentemente desde un punto de los cielos hacia el diametralmente opuesto. El movimiento del sol en dirección contraria explicaría esta tendencia; de otro modo, tendríamos que creer que miles de estrellas coinciden accidentalmente en su dirección de movimiento, o son impulsadas por alguna fuerza común de la cual el sol está exento. Podría decirse que la rotación de la tierra se prueba de manera semejante, pues es inmensamente más probable que un solo cuerpo gire antes de que el sol, la luna, los planetas, los cometas y la totalidad de las estrellas del firmamento giren vertiginosamente alrededor de la tierra a diario, con un movimiento uniforme añadido a sus propios movimientos peculiares. Esta parece ser principalmente la razón que llevó a Gilbert, uno de los primeros copernicanos ingleses y en todos los sentidos un físico admirable, a admitir la rotación de la tierra, mientras que Francis Bacon la negó.

Al contemplar el sistema planetario, nos llama la atención la similitud en la dirección de casi todos sus movimientos. Newton observó la regularidad y uniformidad de estos movimientos, y los contrastó con la excentricidad e irregularidad de las órbitas cometarias.‍¹³

Si de hecho pudiéramos observar el sistema desde el lado boreal, veríamos a todos los planetas girando de oeste a este, a los satélites girando alrededor de sus planetas principales, y al Sol, los planetas y los satélites rotando en la misma dirección, con algunas excepciones en los confines del sistema.

En la época de Laplace se conocían once planetas, y se conocían las direcciones de rotación del Sol, seis planetas, los satélites de Júpiter, el anillo de Saturno y uno de sus satélites. Así pues, había en total 43 movimientos coincidentes, a saber:‍—

La probabilidad de que 43 movimientos independientes entre sí coincidieran por casualidad es la 42.ª potencia de 1/2, de modo que las probabilidades son de aproximadamente 4.400.000.000.000 a 1 a favor de alguna causa común para la uniformidad de dirección.

Esta probabilidad, como observa Laplace,‍¹⁴ es mayor que la de muchos acontecimientos históricos en los que creemos sin dudar. En la actualidad, la probabilidad ha aumentado considerablemente con el descubrimiento de planetas adicionales y la rotación de otros satélites, y solo se ve levemente debilitada por el hecho de que algunos de los satélites más alejados son excepcionales en su dirección, existiendo indicios considerables de una perturbación accidental en las partes más distantes del sistema.

Apenas menos notable que la dirección uniforme del movimiento es la aproximación casi exacta de las órbitas de los planetas a un plano común.

Daniel Bernoulli estimó a grandes rasgos la probabilidad de que tal coincidencia surgiera por accidente en 1 ÷ (12)⁶, siendo la mayor inclinación de cualquier órbita respecto al ecuador del sol de la 12ª parte de un cuadrante.

Laplace dedicó a este tema algunas de sus investigaciones más ingeniosas. Encontró que la probabilidad de que la suma de las inclinaciones de las órbitas planetarias no excediera por accidente la cantidad real (·914187 de un ángulo recto para los diez planetas conocidos en 1801) era de 1/10! (·914187)¹⁰ o aproximadamente ·00000011235.

Esta probabilidad puede combinarse con la derivada de la dirección del movimiento, y entonces se vuelve inmensamente probable que la constitución del sistema planetario surgiera de condiciones uniformes, o, como decimos, de alguna causa común.‍¹⁵

Si el mismo tipo de cálculo se aplica a las órbitas de los cometas, el resultado es muy diferente.‍¹⁶ De las órbitas que se han determinado, el 48,9 por ciento únicamente son directas o van en la misma dirección que los movimientos planetarios.‍¹⁷

De aquí se desprende que los cometas no pertenecen propiamente al sistema solar, y es probable que sean porciones errantes de materia nebulosa que se han incorporado accidentalmente al sistema por los poderes atractivos del sol o de Júpiter.

# El problema inverso general.

En los casos descritos en las secciones precedentes, nos hemos ocupado de retroceder desde la ocurrencia de ciertos sucesos similares hasta la probabilidad de que haya debido existir una condición o causa para tales sucesos. Hemos hallado que la teoría de la probabilidad, aunque nunca produce un resultado cierto, a menudo nos permite establecer una hipótesis más allá de toda duda razonable. Existe, sin embargo, otro método de aplicar la teoría, que posee para nosotros un interés aún mayor, porque ilustra, de la manera más completa, la teoría de la inferencia adoptada en esta obra, teoría que, de hecho, sugirió. El problema que debe resolverse es el siguiente:‍—

• Habiéndose verificado un evento un cierto número de veces, y habiendo fallado un cierto número de veces, se requiere la probabilidad de que suceda cualquier número dado de veces en el futuro bajo las mismas circunstancias.

Todos los más grandes planetas hasta ahora descubiertos se mueven en una dirección alrededor del sol; ¿cuál es la probabilidad de que, si se descubre un nuevo planeta exterior a Neptuno, este se mueva en la misma dirección?

Todos los gases permanentes conocidos, excepto el cloro, son incoloros; ¿cuál es la probabilidad de que, si se descubre algún nuevo gas permanente, este sea incoloro?

En la solución general de este problema, deseamos inferir el acontecimiento futuro de cualquier evento a partir del número de veces que ya se ha observado que ocurre. Ahora bien, es muy instructivo descubrir que no existe ningún proceso conocido mediante el cual podamos pasar directamente de los datos a la conclusión. Siempre es necesario retroceder desde los datos hasta la probabilidad de alguna hipótesis, y hacer de esa hipótesis la base de nuestra inferencia sobre los acontecimientos futuros.

Los matemáticos, de hecho, hacen todas las hipótesis que son aplicables a la cuestión en curso; luego calculan, por el método inverso, la probabilidad de cada una de tales hipótesis según los datos, y la probabilidad de que, si cada hipótesis es verdadera, ocurra el evento futuro requerido. La probabilidad total de que el evento ocurra es la suma de las probabilidades separadas aportadas por cada hipótesis distinta.

Para ilustrar con mayor precisión el método de resolución del problema, es conveniente adoptar algún modo concreto de representación, y la urna electoral, tan a menudo empleada por los matemáticos, servirá mejor a nuestro propósito.

• Representemos la ocurrencia de cualquier evento mediante la extracción de una bola blanca de una urna electoral, mientras que el fallo de un evento se representa mediante la extracción de una bola negra.

Ahora bien, en el problema inductivo se supone que ignoramos el contenido de la urna y se nos exige fundamentar todas nuestras deducciones en nuestra experiencia sobre dicho contenido, tal como se muestra en sucesivas extracciones. El bruto sentido común nos guiaría casi hasta una conclusión verdadera.

Así, si hubiéramos extraído veinte bolas una tras otra, reemplazando la bola después de cada extracción, y la bola hubiera resultado ser blanca en cada caso, creeríamos que hay un predominio considerable de bolas blancas en la urna, y una probabilidad a favor de extraer una bola blanca en la siguiente ocasión.

Aunque hubiéramos extraído bolas blancas durante miles de veces sin fallo, seguiría siendo posible que algunas bolas negras se ocultaran en la urna y aparecieran al fin, de modo que nuestras deducciones nunca podrían ser ciertas. Por otro lado, si las bolas negras salieran a intervalos, esperaríamos que tras un cierto número de pruebas las bolas negras volvieran a aparecer de vez en cuando con una frecuencia más o menos similar.

La solución matemática de la cuestión consiste en poco más que en un análisis riguroso del modo en que procede nuestro sentido común.

Si se han extraído veinte bolas blancas y ninguna bola negra, mi sentido común me dice que cualquier hipótesis que convierta a las bolas negras de la urna en considerables en comparación con las blancas es improbable; un predominio de bolas blancas es una hipótesis más probable y, como deducción de esta hipótesis más probable, espero una recurrencia de bolas blancas.

El matemático se limita a reducir este proceso de pensamiento a números exactos.

Tomando, por ejemplo, la hipótesis de que hay 99 bolas blancas y una negra en la urna, puede calcular la probabilidad de que se extraigan 20 bolas blancas consecutivas en esas circunstancias; forma así una estimación definida de la probabilidad de esta hipótesis y, conociendo al mismo tiempo la probabilidad de que vuelva a salir una bola blanca si tales son los contenidos de la urna, combina estas probabilidades y obtiene una estimación exacta de que una bola blanca volverá a salir como consecuencia de esta hipótesis.

Pero como esta hipótesis es solo una entre muchas posibles, dado que la proporción de bolas blancas y negras puede ser de 98 a 2, o de 97 a 3, o de 96 a 4, y así sucesivamente, tiene que repetir la estimación para cada una de esas hipótesis posibles.

Para hacer que el método de resolución del problema resulte perfectamente evidente, describiré en la siguiente sección un caso muy simple del problema, ideado originalmente con ese propósito por Condorcet, que también fue adoptado por Lacroix,‍¹⁸ y que ha pasado a las obras de De Morgan, Lubbock y otros.

Ilustración sencilla del problema inverso.

Supóngase que se sabe que una urna contiene únicamente cuatro bolas negras o blancas, siendo desconocida la proporción de bolas negras y blancas. Habiéndose hecho cuatro extracciones con reemplazamiento, y habiendo aparecido una bola blanca en todas las ocasiones menos una, se requiere determinar la probabilidad de que aparezca una bola blanca la próxima vez. Ahora bien, las hipótesis que pueden formularse sobre el contenido de la urna son muy limitadas en número, y son como máximo las cinco siguientes:—

La aparición real de bolas blancas y negras en las extracciones descarta la primera y la última hipótesis, de modo que solo nos quedan tres por considerar.

Si la caja contiene tres bolas blancas y una negra, la probabilidad de extraer una blanca cada vez es de 3/4, y una negra de 1/4; de modo que el suceso compuesto observado, a saber, tres blancas y una negra, tiene la probabilidad de 3/4 × 3/4 × 3/4 × 1/4, según la regla ya dada (p. 204). Pero como es indiferente en qué orden se extraigan las bolas, y la bola negra podría salir primera, segunda, tercera o cuarta, debemos multiplicar por cuatro para obtener la probabilidad de tres blancas y una negra en cualquier orden, obteniendo así 27/64.

Tomando la siguiente hipótesis de dos bolas blancas y dos negras en la urna, obtenemos para la misma probabilidad la cantidad de $1/2\times 1/2\times 1/2\times 1/2\times 4$, o $16/64$, y de la tercera hipótesis de una blanca y tres negras deducimos asimismo $1/4\times 1/4\times 1/4\times 3/4\times 4$, o $3/64$.

Por consiguiente, según adoptemos la primera, la segunda o la tercera hipótesis, la probabilidad de que se produjera el resultado efectivamente observado es de $27/64$, $16/64$ y $3/64$.

Ahora bien, es seguro que una u otra de estas hipótesis debe ser la verdadera, y sus probabilidades absolutas son proporcionales a las probabilidades de que los acontecimientos observados se siguieran de ellas (págs. 242, 243). Todo lo que tenemos que hacer entonces, para obtener la probabilidad absoluta de cada hipótesis, es alterar estas fracciones en una proporción uniforme, de modo que su suma sea la unidad, la expresión de la certeza.

Ahora bien, dado que $27+16+3=46$, esto se efectúa dividiendo cada fracción por $46$ y multiplicándola por $64$. Así, las probabilidades de la primera, la segunda y la tercera hipótesis son respectivamente:

La parte inductiva del problema está completa, ya que hemos descubierto que lo más probable es que la urna contenga tres bolas blancas y una negra, y hemos asignado la probabilidad exacta de cada suposición posible. Pero ahora estamos en condiciones de reanudar el razonamiento deductivo y deducir la probabilidad de que la próxima extracción produzca, digamos, una bola blanca. Pues si la caja contiene tres bolas blancas y una negra, la probabilidad de extraer una blanca es ciertamente 3/4; y como la probabilidad de que la caja esté constituida de ese modo es 27/46, la probabilidad compuesta de que la caja esté llena de tal forma y dé una bola blanca en la siguiente prueba es

Nuevamente, la probabilidad es 16/46 de que la caja contenga dos blancas y dos negras, y bajo esas condiciones la probabilidad es 1/2 de que aparezca una bola blanca; por lo tanto, la probabilidad de que aparezca una bola blanca como consecuencia de esa condición es

De la tercera suposición obtenemos del mismo modo la probabilidad

Puesto que una y no más de una hipótesis puede ser verdadera, podemos sumar estas probabilidades separadas, y hallamos que esa es la probabilidad completa de que la siguiente bola extraída sea blanca bajo las condiciones y los datos supuestos.

Solución general del problema inverso.

En el caso del método inverso descrito en la última sección, las bolas supuestas en la urna eran pocas, con el propósito de simplificar el cálculo.

Para que nuestra solución pueda aplicarse a los fenómenos naturales, debemos hacer que nuestras hipótesis sean lo menos arbitrarias posible. Al no tener ningún conocimiento a priori de las condiciones de los fenómenos en cuestión, no hay límite para la variedad de hipótesis que podrían sugerirse.

Los matemáticos han recurrido, por tanto, a las suposiciones más amplias que pueden hacerse, a saber, que la urna contiene un número infinito de bolas; han variado entonces la proporción de bolas blancas y negras de manera continua, desde la menor hasta la mayor proporción posible, y han estimado la probabilidad total que resulta de esta suposición exhaustiva.

Para explicar su procedimiento, imaginemos que, en lugar de un número infinito, la urna contiene un número finito grande de bolas, digamos 1000. Entonces el número de bolas blancas podría ser 1 o 2 o 3 o 4, y así sucesivamente, hasta 999. Suponiendo que se hayan extraído tres bolas blancas y una negra de la urna como antes, existe una cierta probabilidad muy pequeña de que esto hubiera ocurrido en el caso de una caja que contuviera una bola blanca y 999 negras; también existe una pequeña probabilidad de que de una caja así la siguiente bola fuera blanca. Compárense estas probabilidades, y tendremos la probabilidad de que la siguiente bola sea realmente blanca, como consecuencia de la existencia de esa proporción de bolas. Si hay dos bolas blancas y 998 negras en la caja, la probabilidad es mayor y aumentará hasta que se suponga que las bolas están en la proporción de las extraídas. Ahora bien, 999 hipótesis diferentes son posibles, y el cálculo debe hacerse para cada una de ellas, tomando su agregado como resultado final. Es evidente que a medida que aumenta el número de bolas en la caja, la probabilidad absoluta de cualquier hipótesis acerca de la proporción exacta de bolas disminuye, pero los resultados agregados de todas las hipótesis adquirirán el carácter de un promedio más amplio.

Cuando damos el paso de suponer que las bolas dentro de la urna son infinitas en número, las proporciones posibles de bolas blancas y negras también se vuelven infinitas, y la probabilidad de que una proporción cualquiera exista en realidad es infinitamente pequeña.

De ahí que el resultado final de que la próxima bola extraída sea blanca sea en realidad la suma de un número infinito de cantidades infinitamente pequeñas.

Podría parecer imposible calcular un problema que tiene un número infinito de hipótesis, pero los maravillosos recursos del cálculo integral permiten hacerlo con mucha mayor facilidad que si supusiéramos un número finito grande de bolas, y luego calculáramos efectivamente los resultados.

No intentaré describir los procesos mediante los cuales Laplace logró finalmente la solución completa del problema. Estos se pueden encontrar descritos en varias obras en inglés, especialmente en el Treatise on Probabilities de De Morgan, en la Encyclopædia Metropolitana y en la History of the Theory of Probability del Sr. Todhunter. El poder abreviador del análisis matemático jamás se ha mostrado de manera más llamativa.

Pero puedo añadir que, aunque el cálculo integral se emplea como un medio para sumar resultados infinitamente numerosos, de ningún modo abandonamos los principios de las combinaciones ya tratados. Calculamos los valores de factoriales infinitamente numerosos, no obteniendo sin embargo sus productos reales, lo que llevaría a un número infinito de cifras, sino obteniendo la respuesta final al problema mediante artificios que solo pueden comprenderse tras el estudio del cálculo integral.

Debe admitirse que la hipótesis adoptada por Laplace es en cierto grado arbitraria, por lo que hubo cierto margen para la duda que Boole ha arrojado sobre ella.‍¹⁹ Pero puede replicarse: (1) que la suposición de un número infinito de bolas tratadas a la manera de Laplace es menos arbitraria y más abarcadora que cualquier otra que pueda sugerirse; (2) que el resultado no difiere gran cosa del que se obtendría bajo la hipótesis de cualquier número finito grande de bolas; y (3) que la suposición conduce a una serie de fórmulas sencillas que pueden aplicarse con facilidad en muchos casos, y que presentan toda la apariencia de la verdad en la medida en que esta puede ser juzgada de manera independiente por un entendimiento sano y experimentado.

Reglas del Método Inverso.

Mediante la solución del problema, tal como se describió en la última sección, obtenemos la siguiente serie de reglas simples.

1. Para hallar la probabilidad de que un suceso que hasta ahora no se ha observado que falle vuelva a suceder una vez más, divídase el número de veces que se ha observado el suceso incrementado en uno por el mismo número incrementado en dos.

Si ha habido m ocasiones en las que se podría haber observado que un determinado evento sucedía, y ha sucedido en todas esas ocasiones, entonces la probabilidad de que suceda en la próxima ocasión del mismo tipo es m + 1/m + 2.

Por ejemplo, podemos decir que hay nueve lugares en el sistema planetario donde podrían existir planetas que obedecieran la ley de distancias de Bode, y en cada lugar hay un planeta que obedece la ley de manera más o menos exacta, aunque no se conozca ninguna razón para dicha coincidencia. De ahí que la probabilidad de que el siguiente planeta más allá de Neptuno se ajuste a la ley sea 10/11.

2. Para hallar la probabilidad de que un suceso que hasta ahora no ha fallado no falle durante un cierto número de nuevas ocasiones, divídase el número de veces que el suceso ha ocurrido incrementado en uno, por ese mismo número incrementado en uno y el número de veces que ha de ocurrir.

Habiendo ocurrido un suceso m veces sin falta, la probabilidad de que ocurra n veces más es m + 1/m + n + 1.

De este modo, la probabilidad de que tres nuevos planetas obedecieran la ley de Bode es de 10/13; pero hay que admitir que este resultado, al igual que el anterior, se vería muy debilitado por el hecho de que apenas puede decirse que Neptuno obedezca dicha ley.

3. Habiendo sucedido un acontecimiento y fracasado un cierto número de veces, para hallar la probabilidad de que suceda la vez próxima, divídase el número de veces que el acontecimiento ha sucedido incrementado en uno, por el número total de veces que el acontecimiento ha sucedido o fracasado incrementado en dos.

Si un acontecimiento ha ocurrido m veces y ha fallado n veces, la probabilidad de que ocurra en la próxima ocasión es m + 1/m + n + 2.

Así, si asumimos que de los elementos descubiertos hasta el año 1873, 50 son metálicos y 14 no metálicos, entonces la probabilidad de que el próximo elemento descubierto sea metálico es 51/66. De igual modo, puesto que de 37 metales que han sido suficientemente examinados solo cuatro, a saber, sodio, potasio, lantano y litio, tienen una densidad menor que la del agua, la probabilidad de que el próximo metal examinado o descubierto sea menos denso que el agua es 4 + 1/37 + 2 o 5/39.

Podemos enunciar los resultados del método de un modo más general así,‍²⁰—Si bajo circunstancias dadas ciertos eventos A, B, C, etc., han ocurrido respectivamente m, n, p, etc., veces, y debe suceder uno u otro de estos eventos, entonces las probabilidades de estos eventos son proporcionales a m + 1, n + 1, p + 1, etc., de modo que la probabilidad de A será m + 1/m + 1 + n + 1 + p + 1 + etc. Pero si pueden ocurrir nuevos eventos además de aquellos que se han observado, debemos asignar la unidad a la probabilidad de dicho nuevo evento. Las probabilidades a favor pasan a ser entonces de 1 para un nuevo evento, m + 1 para A, n + 1 para B, y así sucesivamente, y la probabilidad absoluta de A es m + 1/1 + m + 1 + n + 1 + etc.

Es interesante seguir las variaciones de la probabilidad según estas reglas.

• La primera vez que ocurre un suceso fortuito, la probabilidad de que vuelva a suceder es de 2 a 1;
• si vuelve a ocurrir, es de 3 a 1 que suceda por tercera vez;
• y en ocasiones sucesivas de la misma índole, las probabilidades pasan a ser de 4, 5, 6, etc., a 1.

Las probabilidades en contra, por supuesto, se distinguirán de las probabilidades matemáticas, que son sucesivamente 2/3, 3/4, 4/5, etc.

Así, en la primera ocasión en que una persona ve un tiburón y advierte que va acompañado de un pequeño pez piloto, las probabilidades son de 2 a 1 (o lo que es lo mismo, una probabilidad de 2/3) de que el próximo tiburón esté acompañado de igual manera.

Cuando un acontecimiento ha ocurrido un número muy grande de veces, su repetición una vez más se acerca casi a la certeza.

Si suponemos que el sol ha salido mil millones de veces, la probabilidad de que vuelva a salir, basándonos únicamente en este conocimiento, es 1.000.000.000 + 1/1.000.000.000 + 1 + 1.

Pero entonces la probabilidad de que continúe saliendo durante un periodo igual en el futuro es de tan solo 1.000.000.000 + 1/2.000.000.000 + 1, o casi exactamente 1/2. La probabilidad de que continúe saliendo así mil veces más tiempo es solo de aproximadamente 1/1001.

La lección que podemos extraer de estas cifras es exactamente la misma que adoptaríamos basándonos en otros fundamentos, a saber, que la experiencia nunca proporciona un conocimiento cierto y que es sumamente improbable que los acontecimientos ocurran siempre tal como los observamos. Las inferencias llevadas mucho más allá de sus datos pierden pronto cualquier probabilidad considerable.

De Morgan ha dicho,‍²¹ «Ninguna experiencia finita de ningún tipo puede justificarnos para afirmar que el futuro coincidirá con el pasado en todo el tiempo venidero, ni que existe probabilidad alguna para tal conclusión».

Por otra parte, obtenemos la seguridad de que una experiencia suficientemente extendida y prolongada nos otorgará el conocimiento de futuros acontecimientos con un grado ilimitado de probabilidad, siempre y cuando, en verdad, dichos acontecimientos no estén sujetos a una interferencia arbitraria.

Debe comprenderse claramente que estas probabilidades son únicamente aquellas que surgen del mero acaecimiento de los acontecimientos, con independencia de cualquier conocimiento derivado de otras fuentes sobre dichos acontecimientos o sobre las leyes generales de la naturaleza.

Todo nuestro conocimiento de la naturaleza se funda, en efecto, de manera semejante en la observación, y por lo tanto es únicamente probable. La ley de la gravedad misma es solo probablemente verdadera. Pero cuando una serie de hechos diferentes, observados bajo las circunstancias más diversas, se hallan armonizados bajo una supuesta ley de la naturaleza, la probabilidad de la ley se aproxima estrechamente a la certeza.

Cada ciencia descansa sobre tantos hechos observados, y deriva tanto apoyo de las analogías o conexiones con otras ciencias, que son comparativamente pocos los casos en los que nuestro juicio sobre la probabilidad de un acontecimiento depende enteramente de unos pocos acontecimientos antecedentes, desconectados del cuerpo general de la ciencia física.

Los acontecimientos, por otra parte, pueden exhibir a menudo una regularidad de sucesión o una preponderancia de carácter que la simple fórmula no tendrá en cuenta. Por ejemplo, la mayoría de los elementos descubiertos recientemente son metales, por lo que la probabilidad de que el próximo descubrimiento sea el de un metal es, sin duda, mayor de lo que calculamos (p. 258).

En las regiones más distantes del sistema planetario hay indicios de perturbación que nos impedirían confiar demasiado en cualquier inferencia basada en el orden predominante de los planetas conocidos respecto a aquellos otros no descubiertos que posiblemente existan a grandes distancias. Estas y todas las complicaciones semejantes no invalidan en absoluto la verdad teórica de las fórmulas, pero dificultan mucho su correcta aplicación.

Se han planteado objeciones erróneas a la teoría de la probabilidad, bajo el argumento de que no debemos fiarnos de nuestras concepciones a priori sobre lo que es probable que ocurra, sino que siempre debemos esforzarnos por obtener datos experimentales precisos que nos sirvan de guía.‍²²

Este proceder, sin embargo, es perfectamente coherente con la teoría, que es nuestra mejor y única guía, cualesquiera que sean los datos de que dispongamos. Debemos aplicar siempre el método inverso de las probabilidades para tener en cuenta toda información adicional.

Cuando lanzamos una moneda al aire por primera vez, probablemente ignoramos por completo si tiende más a caer con la cara o con la cruz hacia arriba, y por tanto debemos asumir que la probabilidad de cada suceso es 1/2. Pero si sale cara en el primer lanzamiento, ahora tenemos una evidencia experimental muy leve a favor de una tendencia a mostrar cara. La probabilidad de que salgan dos caras es ahora ligeramente mayor que 1/4, que es lo que parecía ser al principio,‍²³ y a medida que seguimos lanzando la moneda una y otra vez, la probabilidad de que salga cara la próxima vez varía constantemente en un grado leve según la naturaleza de nuestra experiencia previa.

Como señala Laplace, siempre debemos tener en cuenta tales consideraciones en la vida ordinaria. Los acontecimientos, cuando se examinan de cerca, casi nunca resultan ser totalmente independientes, y el más mínimo predominio en un sentido u otro constituye cierta prueba de conexión y, a falta de mejor evidencia, debe tenerse en cuenta.

El gran propósito de intentar estimar la probabilidad de futuros acontecimientos a partir de la experiencia pasada, parece haber sido abrigado por James Bernoulli y De Moivre, al menos tal era la opinión de Condorcet; y puede decirse que Bernoulli resolvió un caso del problema.‍²⁴ Sin embargo, los escritores ingleses Bayes y Price son indudablemente los primeros que formularon reglas precisas sobre la materia.‍²⁵ Condorcet y otros varios matemáticos eminentes hicieron avanzar la teoría matemática del asunto; mas estaba reservado al inmortal Laplace aportar al tema toda la fuerza de su genio y llevar la solución del problema casi a la perfección. Es instructivo observar que una teoría surgida de pequeños juegos de azar, cuyas reglas y cuyos nombres mismos están olvidados, avanzó gradualmente hasta abarcar los problemas más sublimes de la ciencia, y finalmente emprendió la tarea de medir el valor y la certeza de todas nuestras inducciones.

# Coincidencias fortuitas.

Habríamos estudiado muy infructuosamente la teoría de la probabilidad si pensáramos que ha de proporcionarnos una guía infalible.

La teoría misma señala la certeza aproximada de que a veces seremos engañados por extraordinarias coincidencias fortuitas. No hay racha de suerte tan extrema que no pueda suceder, y puede sucedernos a nosotros, o en nuestro tiempo, al igual que a otras personas o en otros tiempos.

Podríamos vernos obligados por un cálculo correcto a atribuir tales coincidencias a una causa necesaria, y aun así podríamos ser engañados. Todo lo que el cálculo de probabilidades pretende dar es el resultado a la larga, como suele llamarse, y esto significa en realidad en una infinidad de casos.

Durante cualquier experiencia finita, por larga que sea, las probabilidades pueden ir en nuestra contra. Sin embargo, la teoría es la mejor guía que podemos tener. Si siempre pensamos y actuamos de acuerdo con sus indicaciones bien interpretadas, tendremos la mejor oportunidad de escapar al error; y si todas las personas, a lo largo de todo el tiempo venidero, obedecen la teoría de la misma manera, indudablemente cosecharán con ello la mayor ventaja.

No rule can be given for discriminating between coincidences which are casual and those which are the effects of law.

By a fortuitous or casual coincidence, we mean an agreement between events, which nevertheless arise from wholly independent and different causes or conditions, and which will not always so agree.

It is a fortuitous coincidence, if a penny thrown up repeatedly in various ways always falls on the same side; but it would not be fortuitous if there were any similarity in the motions of the hand, and the height of the throw, so as to cause or tend to cause a uniform result.

Now among the infinitely numerous events, objects, or relations in the universe, it is quite likely that we shall occasionally notice casual coincidences. There are seven intervals in the octave, and there is nothing very improbable in the colours of the spectrum happening to be apparently divisible into the same or similar series of seven intervals.

It is hardly yet decided whether this apparent coincidence, with which Newton was much struck, is well founded or not,‍²⁶ but the question will probably be decided in the negative.

Es sin duda una casualidad fortuita que los antiguos notaron entre las siete vocales, las siete cuerdas de la lira, las siete Pléyades y los siete jefes en Tebas.‍²⁷ Los accidentes relacionados con el número siete han extraviado al intelecto humano a lo largo del período histórico. Pitágoras imaginó una conexión entre los siete planetas y los siete intervalos del monocordio. Los alquimistas nunca se cansaron de sacar deducciones de la coincidencia numérica entre los siete planetas y los siete metales, por no hablar de los siete días de la semana.

Se señaló una circunstancia singular acerca de las dimensiones de la tierra, el sol y la luna: el diámetro del sol era casi exactamente 110 veces mayor que el diámetro de la tierra, mientras que en casi exactamente la misma proporción la distancia media de la tierra era mayor que el diámetro del sol, y la distancia media de la luna a la tierra era mayor que el diámetro de la luna. La coincidencia era tan estrecha que podría haber resultado ser algo más que casual, pero su carácter fortuito se muestra ahora con suficiente claridad por el hecho de que la coincidencia deja de ser notable cuando adoptamos las dimensiones corregidas del sistema planetario.

Un número considerable de los elementos tienen pesos atómicos que son aparentemente múltiplos exactos del del hidrógeno. Si esto no ha de ser una ley que finalmente se extienda a todos los elementos, como suponía Prout, es una coincidencia de lo más notable.

Pero, como he observado, no tenemos medios para discriminar absolutamente las coincidencias accidentales de aquellas que implican una causa profunda que las produce. Una coincidencia debe ser muy fuerte en sí misma, o bien debe estar corroborada por alguna explicación o conexión con otras leyes de la naturaleza.

Jamás se prestó gran atención a la coincidencia relativa a las dimensiones del sol, la tierra y la luna, porque no era muy fuerte en sí misma y no tenía una conexión aparente con los principios de la astronomía física. La ley de Prout reviste mayor probabilidad porque pondría la constitución de los elementos mismos en estrecha relación con la teoría atómica, representándolos como formados a partir de una sustancia más simple.

En las cuestiones históricas y sociales se señalan con frecuencia coincidencias que se deben al azar, aunque siempre existe una fuerte tendencia popular a considerarlas obra del diseño o a suponer que encierran algún significado oculto.

Si a 1794, el número del año en que cayó Robespierre, le sumamos la suma de sus dígitos, el resultado es 1815, el año en que cayó Napoleón; la repetición del proceso da 1830, el año en que abdicó Carlos X.

Asimismo, la Cámara de Diputados francesa, en 1830, constaba de 402 miembros, de los cuales 221 formaban el partido llamado «La queue de Robespierre», mientras que los restantes, en número de 181, se denominaban «Les honnêtes gens». Si asignamos a cada letra un valor numérico correspondiente a su lugar en el alfabeto, se descubrirá que la suma de los valores de las letras de cada nombre indica exactamente el número de integrantes de dicho partido.

Podrían aducirse muchas coincidencias de este tipo, a menudo de carácter muy curioso, y la probabilidad en contra de que ocurra cada una de ellas es enormemente grande. Deben atribuirse al azar, porque no puede demostrarse que tengan la más mínima conexión con las leyes generales de la naturaleza; sin embargo, a menudo se observa que las personas se ven muy influenciadas por tales coincidencias, considerándolas como evidencia de fatalidad, es decir, de un sistema de causalidad que rige los asuntos humanos independientemente de las leyes ordinarias de la naturaleza.

Recuérdese que en la vida hay un número infinito de oportunidades para que se presente alguna extraña coincidencia, por lo que es de esperar que a veces ocurran conjunciones notables.

En todos los asuntos de prueba judicial, debemos tener presente la ocurrencia probable de vez en cuando de coincidencias inexplicables.

Los juristas romanos se negaron por esta razón a invalidar un testamento cuyos testigos lo habían sellado con el mismo sello. Pues cabía la posibilidad de que testigos que usaban independientemente sus propios sellos poseyeran unos idénticos por accidente.‍²⁸

Es bien sabido que la prueba circunstancial de una completitud aparentemente abrumadora conducirá a veces a un juicio erróneo y, como la certeza absoluta nunca es realmente alcanzable, todo tribunal debe actuar sobre la base de probabilidades de gran magnitud y, en una pequeña proporción determinada de casos, casi por necesidad condenarán a las víctimas inocentes de una conjunción notable de circunstancias.‍²⁹

Los juicios populares suelen basarse en probabilidades de una magnitud mucho menor, como cuando, habiéndose incendiado el palacio de Nicomedia, e incluso la alcoba de Diocletian, dos veces en el espacio de quince días, el pueblo se negó por completo a creer que pudiera ser el resultado de un accidente. Los romanos creían que había una fatalidad asociada al nombre de Sexto.

“Semper sub Sextis perdita Roma fuit.”

Las máximas precauciones no previenen contra todas las contingencias. Para evitar errores en cálculos importantes, es habitual hacer que diferentes calculistas los repitan; pero se conoce un caso en el que tres calculistas hicieron exactamente los mismos cálculos sobre la posición de una estrella, y sin embargo todos los hicieron mal de manera idéntica, sin motivo aparente.‍³⁰

# Resumen de la teoría de la inferencia inductiva.

La teoría de la inferencia inductiva expuesta en este y en los capítulos anteriores fue sugerida por el estudio del Método Inverso de la Probabilidad, pero también guarda un gran parecido con el llamado Método Deductivo descrito por Mill en su célebre Sistema de lógica.

Las opiniones de Mill sobre el Método Deductivo constituyen probablemente la parte más original y valiosa de su tratado, y le habría atribuido la doctrina enteramente a él de no haber hallado que las opiniones expuestas en otras partes de su obra son del todo incompatibles con la teoría aquí sostenida.

Como este tema es el más importante y difícil con el que hemos de lidiar, intentaré remediar el modo imperfecto en que lo he tratado ofreciendo una recapitulación de los puntos de vista adoptados.

Todo razonamiento inductivo no es más que la aplicación inversa del razonamiento deductivo. Estando en posesión de ciertos hechos o eventos particulares expresados en proposiciones, imaginamos alguna proposición más general que exprese la existencia de una ley o causa; y, deduciendo los resultados particulares de esa supuesta proposición general, observamos si concuerdan con los hechos en cuestión. La hipótesis se emplea así siempre, consciente o inconscientemente. Las únicas condiciones a las que debemos ajustarnos al formular cualquier hipótesis son que poseamos y ejerzamos la facultad de inferir deductivamente de la hipótesis a los resultados particulares, los cuales deben compararse con los hechos conocidos. Así, no hay más que tres pasos en el proceso de la inducción:—

(1) Formulando alguna hipótesis sobre el carácter de la ley general.

(2) Deducir consecuencias de dicha ley.

(3) Observar si las consecuencias coinciden con los hechos particulares bajo consideración.

En los casos muy sencillos de razonamiento inverso, la hipótesis puede parecer totalmente innecesaria. Para tomar de nuevo los números como una ilustración conveniente, me basta con mirar la serie para saber de inmediato que la ley general es la de la progresión geométrica; no necesito la prueba sucesiva de varias hipótesis, porque conozco bien la serie y hace mucho que aprendí de qué fórmula general procede.

Del mismo modo, un matemático se familiariza con las integrales de una serie de fórmulas comunes, de modo que no necesita pasar por ningún proceso de descubrimiento.

Pero no es menos cierto que, siempre que el razonamiento previo no proporcione el conocimiento, se deben formular y probar hipótesis (p. 124).

Naturalmente surgen dos casos, según que la naturaleza del sujeto admita un razonamiento deductivo cierto o meramente probable. La certeza, en verdad, no es sino un caso singular de probabilidad, y los principios generales del procedimiento son siempre los mismos. Sin embargo, cuando la certeza de la inferencia es posible, el proceso se simplifica.

De varias hipótesis mutuamente incompatibles cuyos resultados pueden compararse con certeza con los hechos, en última instancia solo se puede mantener una hipótesis. Así, en el problema lógico inverso, dos condiciones lógicamente distintas no podrían arrojar la misma serie de combinaciones posibles.

En consecuencia, en el caso de dos términos tuvimos que elegir una de seis clases diferentes de proposiciones (p. 136), y en el caso de tres términos, nuestra elección se redujo a 192 hipótesis distintas posibles (p. 140). Las leyes naturales, sin embargo, suelen ser de carácter cuantitativo, y las hipótesis posibles son entonces de una variedad infinita.

Cuando la deducción es cierta, la comparación con los hechos solo es necesaria para asegurarnos de que hemos seleccionado correctamente las condiciones hipotéticas. La ley se establece por sí misma, y ningún número de verificaciones particulares puede añadir nada a su probabilidad.

Una vez deducido de los principios del álgebra que la diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma y su diferencia, ningún número de ensayos particulares de su veracidad la hará más cierta.

Por otra parte, ningún número finito de verificaciones particulares de una supuesta ley hará que dicha ley sea cierta. En resumen, la certeza pertenece únicamente al proceso deductivo y a las enseñanzas de la intuición directa; y como las condiciones de la naturaleza no nos son dadas por la intuición, solo podemos estar seguros de haber obtenido una hipótesis correcta cuando, de un número limitado de ellas concebiblemente posibles, seleccionamos aquella que por sí sola concuerda con los hechos que deben explicarse.

En la geometría y en las ramas afines de las matemáticas, el razonamiento deductivo posee una certeza conspicua, y a menudo parecería como si la contemplación de un solo diagrama nos proporcionara un conocimiento cierto de una proposición general.

Pero en realidad toda esta certeza tiene un carácter puramente hipotético. Sin duda, si pudiéramos cerciorarnos de que un círculo supuesto fuera un círculo verdadero y perfecto, podríamos estar seguros acerca de una multitud de sus propiedades geométricas.

Pero las figuras geométricas son objetos físicos, y los sentidos nunca pueden asegurarnos sobre sus formas exactas. Las figuras de las que realmente se trata en los Elementos de Euclides son imaginarias, y jamás podemos verificar en la práctica las conclusiones que extraemos con certeza en la inferencia; entran en juego cuestiones de grado y probabilidad.

Pasando ahora a los asuntos en los que la deducción es solo probable, deja de ser posible adoptar una hipótesis con exclusión de las demás. Debemos albergar al mismo tiempo todas las hipótesis concebibles y mirar cada una con el grado de estima proporcional a su probabilidad. Recorremos los mismos pasos que antes.

(1) Formulamos una hipótesis.

(2) Deducimos la probabilidad de varias series de posibles consecuencias.

(3) Comparamos las consecuencias con los hechos particulares, y observamos la probabilidad de que tales hechos sucedieran bajo la hipótesis.

Los procesos anteriores deben realizarse para cada hipótesis concebible, y luego la probabilidad absoluta de cada una se obtendrá mediante el principio del método inverso (p. 242). Así como en el caso de la certeza aceptamos aquella hipótesis que ciertamente da los resultados requeridos, ahora aceptamos como más probable aquella hipótesis que con mayor probabilidad da los resultados; pero estamos obligados a considerar al mismo tiempo todas las demás hipótesis con grados de probabilidad proporcionales a las probabilidades de que darían los mismos resultados.

Hasta ahora nos hemos ocupado únicamente del proceso por el cual pasamos de hechos especiales a leyes generales, esa aplicación inversa de la deducción que constituye la inducción.

Pero el empleo directo de la deducción se combina a menudo con el inverso. Tan pronto como hemos establecido una ley general, la mente extrae rápidamente consecuencias particulares de ella.

En geometría casi puede parecer que inferimos que, porque un triángulo equilátero es equiángulo, por lo tanto otro también lo es. En realidad, no es porque uno lo sea que otro lo es, sino porque lo son todos. Las condiciones geométricas son perfectamente generales y, por lo que a veces se denomina igualdad de razonamiento, todo lo que es verdad para un triángulo equilátero, en la medida en que es equilátero, lo es para todos los triángulos equiláteros.

Del mismo modo, en todos los demás casos de inferencia inductiva, en los que parecemos pasar de algunos casos particulares a un nuevo caso, pasamos por el mismo proceso. Formamos una hipótesis sobre las condiciones lógicas bajo las cuales podrían ocurrir los dados casos; calculamos inversamente la probabilidad de esa hipótesis y, combinando esto con la probabilidad de que un nuevo caso proceda de las mismas condiciones, obtenemos la probabilidad absoluta de ocurrencia del nuevo caso en virtud de esta hipótesis.

Pero como varias, muchas o incluso un número infinito de hipótesis mutuamente incompatibles pueden ser posibles, debemos repetir el cálculo para cada una de esas hipótesis concebibles, y entonces la probabilidad completa del caso futuro será la suma de las probabilidades separadas.

La complejidad de este proceso se reduce a menudo mucho en la práctica, debido al hecho de que una hipótesis puede ser casi con certeza verdadera, y otras hipótesis, aunque concebibles, pueden ser tan improbables como para ser desdeñadas sin un error apreciable.

Cuando no poseemos conocimiento alguno de las condiciones de las que proceden los acontecimientos, podemos ser incapaces de formular hipótesis probables sobre su modo de origen.

Tenemos que recurrir ahora a la solución general del problema efectuada por Laplace, que consiste en admitir en pie de igualdad todas las proporciones concebibles de probabilidades favorables y desfavorables para la producción del acontecimiento, y aceptar después el resultado global como el mejor que puede obtenerse.

Esta solución solo debe aceptarse a falta de medios mejores, pero, al igual que otros resultados del cálculo de probabilidades, acude en nuestra ayuda allí donde el conocimiento termina y la ignorancia comienza, y evita que sobreestimemos el conocimiento que poseemos.

Los resultados generales de la solución concuerdan con el sentido común: a saber, que cuanto más a menudo ha ocurrido un acontecimiento, más probable es, por regla general, su posterior repetición. Con la ampliación de la experiencia, esta probabilidad aumenta, pero al mismo tiempo es escasa la probabilidad de que los acontecimientos sigan ocurriendo durante mucho tiempo tal como lo han hecho anteriormente.

Hemos examinado ya la teoría de la inferencia inductiva hasta donde es posible hacerlo en lo que respecta a las relaciones lógicas o numéricas simples. Las leyes de la naturaleza tratan sobre el tiempo y el espacio, que son infinitamente divisibles. Así como pasamos de la lógica pura a la lógica numérica, debemos pasar ahora de las cuestiones de cantidad discontinua a las de cantidad continua, encontrando nuevas consideraciones de gran dificultad.

Antes, por lo tanto, de considerar cómo las grandes inducciones y generalizaciones de la ciencia física ilustran las opiniones sobre el razonamiento inductivo recién explicadas, debemos hacer una pausa y examinar los medios de que disponemos para medir y comparar magnitudes de tiempo, espacio, masa, fuerza, momento, energía y las diversas manifestaciones de energía en el movimiento, el calor, la electricidad, el cambio químico y los demás fenómenos de la naturaleza.