Pasamos ahora a considerar la variedad de formas de proposiciones en las que deben expresarse las verdades de la ciencia. Me esforzaré por demostrar que, por diversas que sean estas formas, todas ellas admiten la aplicación de un mismo y único principio de inferencia: que lo que es verdadero de una cosa es verdadero de lo semejante o idéntico. Este principio es válido cualquiera que sea la clase o manera de la semejanza, siempre que se tenga la debida consideración de su naturaleza. Las proposiciones pueden afirmar una identidad de tiempo, espacio, manera, cantidad, grado, o cualquier otra circunstancia en la que las cosas puedan coincidir o diferir.
Encontramos un ejemplo de una proposición relativa al tiempo en lo siguiente: —«El año en que nació Newton fue el año en que murió Galileo». Esta proposición expresa una identidad aproximada de tiempo entre dos acontecimientos; por lo tanto, todo lo que sea verdad respecto al año en que murió Galileo lo es respecto a aquel en que nació Newton, y vice versâ.
“Tower Hill is the place where Raleigh was executed” expresses an identity of place; and whatever is true of the one spot is true of the spot otherwise defined, but in reality the same.
En el lenguaje ordinario tenemos muchas proposiciones que expresan oscuramente identidades de número, cantidad o grado.
«Tantas cabezas, tantos pareceres» es una proposición relativa al número, es decir, una ecuación; lo que sea verdad respecto al número de hombres es verdad respecto al número de pareceres, y vice versâ.
«La densidad de Marte es (casi) la misma que la de la Tierra», «La fuerza de gravedad es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia», son proposiciones relativas a la magnitud o al grado.
Los lógicos no han prestado la atención adecuada a la gran variedad de proposiciones que pueden formularse mediante el uso de la pequeña conjunción como, junto con así.
«Tal el hogar, tal la gente», es una proposición que expresa identidad de modo; y podría citarse un gran número de proposiciones similares que indican algún tipo de semejanza.
Sea cual fuere el tipo especial de identidad, todas estas expresiones están sujetas al gran principio de la inferencia; pero como en partes posteriores de esta obra trataremos más en particular de la inferencia en los casos de número y magnitud, aquí limitaremos nuestra atención a las proposiciones lógicas que involucran únicamente nociones de cualidad.
Identidades simples.
La clase más importante de proposiciones consiste en aquellas que entran en la fórmula y pueden llamarse identidades simples.
Puedo citar, en primer lugar, aquellas proposiciones más elementales que expresan la semejanza exacta de una cualidad encontrada en dos o más objetos.
Puedo comparar el color del océano Pacífico con el del Atlántico y declararlos idénticos. Puedo afirmar que «el olor a huevo podrido es como el del sulfuro de hidrógeno»; «el sabor del hiposulfito de plata es como el del azúcar de caña»; «el sonido de un terremoto se asemeja al de la artillería lejana».
Tales son las proposiciones que establecen, con precisión o sin ella, la identidad de sensaciones físicas simples.
Juicios de este tipo se presuponen necesariamente en juicios más complejos.
Si declaro que «esta moneda es de oro», debo basar el juicio en la exacta semejanza de la sustancia en varias cualidades con otras piezas de sustancia que indudablemente son de oro. Debo formular juicios sobre el color, la gravedad específica, la dureza y otras propiedades mecánicas y químicas; cada uno de estos juicios se expresa en una proposición elemental: «el color de esta moneda es el color del oro», y así sucesivamente.
Aun cuando establecemos la identidad de una cosa consigo misma bajo un nombre o aspecto diferente, lo hacemos mediante juicios distintos sobre circunstancias individuales.
Para demostrar que el χαλκός homérico es cobre, debemos mostrar la identidad de cada cualidad registrada del χαλκός con una cualidad del cobre.
Para establecer que Deal fue el lugar de desembarque de César, deben mostrarse coincidentes todas las circunstancias materiales.
Si el Wroxeter moderno es el antiguo Uriconium, debe existir una concordancia similar en todos los rasgos del país que no estén sujetos a alteración por el tiempo.
Tales identidades deben expresarse en la forma A = B.
Podemos decir
En estas y similares proposiciones afirmamos la identidad de cualidades o causas únicas de sensación. En la misma forma podemos expresar también la identidad de cualquier grupo de cualidades, como en
Una multitud de proposiciones que involucran términos singulares caen bajo la misma forma, como en
En las teorías matemáticas y científicas nos encontramos a menudo con identidades simples susceptibles de expresarse en la misma forma. Así, en la ciencia mecánica, «El procedimiento para hallar la resultante de las fuerzas = el procedimiento para hallar la resultante de las velocidades simultáneas». Los teoremas de la geometría suelen arrojar resultados de esta forma, como
Las leyes de la naturaleza más profundas e importantes suelen poder expresarse en forma de identidades simples; además de algunos ejemplos que ya se han dado, puedo sugerir,
Todas las definiciones son necesariamente de esta forma, ya sean los objetos definidos muchos, pocos o singulares. Así podemos decir,
Es un hecho extraordinario que las proposiciones de esta forma elemental, por muy importantes y numerosas que sean, no tuvieran un lugar reconocido en el sistema de Lógica de Aristóteles. En consecuencia, su importancia pasó inadvertida hasta tiempos muy recientes, y la lógica fue la más deformada de las ciencias.
Pero es imposible que Aristóteles o cualquier otra persona eviten usarlas constantemente; no se podría definir un solo término sin su empleo. En un lugar al menos, Aristóteles repara efectivamente en una proposición de esta clase. Observa:
“A veces decimos que aquello blanco es Sócrates, o que el objeto que se acerca es Calías.”1
Aquí tenemos ciertamente una simple identidad de términos; pero él consideraba tales proposiciones como puramente accidentales, y llegó a la desafortunada conclusión de que «los singulares no pueden ser predicados de otros términos».
Las proposiciones también pueden expresar la identidad de grupos extensivos de objetos tomados colectivamente o en un todo conectado; como cuando decimos,
Cuando Blackstone afirma que «El único fundamento verdadero y natural de la sociedad son las necesidades y los temores de los individuos», debemos interpretarlo en el sentido de que el conjunto de las necesidades y los temores de los individuos en su totalidad forman el fundamento de la sociedad.
Pero muchas proposiciones que podrían parecer colectivas no son más que grupos de proposiciones singulares o identidades. Cuando decimos «El potasio y el sodio son las bases metálicas de la potasa y de la sosa», evidentemente queremos decir,
Es tarea del análisis gramatical separar las diversas proposiciones que a menudo se combinan en una sola oración.
No se le puede exigir propiamente a la lógica que interprete las formas y los recursos del lenguaje, sino únicamente que trate el significado cuando este se exhibe con claridad.
# Identidades Parciales.
Un segundo tipo de proposición sumamente importante es el que propongo denominar una identidad parcial.
Cuando decimos que «Todos los mamíferos son vertebrados», no queremos decir que los animales mamíferos sean idénticos a los animales vertebrados, sino únicamente que los mamíferos forman una parte de la clase de los vertebrados.
Tal proposición era considerada en la lógica antigua como la afirmación de la inclusión de una clase en otra, o de un objeto en una clase. Se la denominaba proposición universal afirmativa, porque el atributo vertebrado se afirmaba de todo el sujeto mamífero; pero se decía que el atributo estaba no distribuido, debido a que no todos los vertebrados estaban necesariamente implicados en la proposición.
Aristóteles, pasando por alto la importancia de las identidades simples, y de hecho negando casi su existencia, fundó desafortunadamente su sistema en la noción de inclusión en una clase, en lugar de adoptar la base de la identidad. Consideraba que la inferencia descansaba en la regla de que lo que es verdadero de la clase contenedora es verdadero de la contenida, en lugar de la regla enormemente más general de que lo que es verdadero de una clase o cosa es verdadero de lo semejante.
De este modo, no solo redujo la lógica a un fragmento de sí misma, sino que destruyó las profundas analogías que vinculan el razonamiento lógico y el matemático. De ahí una multitud de defectos, dificultades y errores que desfigurarán durante mucho tiempo a la primera y más simple de las ciencias.
Es sin duda evidente que la relación de inclusión descansa sobre la relación de identidad. Los animales mamíferos no pueden incluirse entre los vertebrados a menos que sean idénticos a una parte de los vertebrados. Los ministros del gabinete se incluyen casi siempre en la clase de los miembros del Parlamento, porque son idénticos a algunos de los que se sientan en el Parlamento. Podemos indicar esta identidad con una parte de la clase más amplia de varias maneras; como, por ejemplo,
En el lenguaje ordinario, los verbos es y son expresan más a menudo una mera inclusión. Los hombres son mortales significa que los hombres forman parte de la clase mortal; pero existe una gran confusión entre este sentido del verbo y aquel en el que expresa identidad, como en «El sol es el centro del sistema planetario». La introducción del artículo indefinido un (o una) a menudo expresa parcialidad; cuando decimos «El hierro es un metal», queremos decir claramente que el hierro es uno solo de varios metales.
Ciertos lógicos recientes han propuesto evitar la indefinición en cuestión mediante lo que se denomina la Cuantificación del Predicado, y por lo general han empleado la pequeña palabra algún para mostrar que solo una parte del predicado es idéntica al sujeto. Algún es un adjetivo indeterminado; implica cualidades desconocidas mediante las cuales podríamos seleccionar la parte en cuestión si dichas cualidades fueran conocidas, pero no da pista alguna sobre su naturaleza.
Podría hacer uso de un signo indeterminado de este tipo para expresar identidades parciales en esta obra. Así, tomando el símbolo especial V = Algún, la forma general de una identidad parcial sería A = VB, y en la lógica de Boole se usaban mucho expresiones de este tipo.
Pero creo que los símbolos indeterminados solo introducen complejidad y destruyen la belleza y la simple universalidad del sistema que puede crearse sin su uso. Una palabra vaga como algún solo se emplea en el lenguaje ordinario por elipsis y para evitar el esfuerzo de alcanzar exactitud.
Siempre podemos emplear expresiones más definidas si queremos; pero una vez que se introduce el indefinido algún no podemos reemplazarlo por la descripción especial. No sabemos si algún color es rojo, amarillo, azul o cuál es; pero, por otra parte, el color rojo es ciertamente algún color.
A lo largo de este sistema de lógica prescindiré de tales expresiones indefinidas; y esto puede hacerse fácilmente sustituyendo uno de los otros términos. Para expresar la proposición «Todos los A son algunos B» no utilizaré la forma A = VB, sino
Esta fórmula enuncia que la clase A es idéntica a la clase AB; y como esta última debe ser al menos una parte de la clase B, implica la inclusión de la clase A en la de B. Podríamos representar nuestro ejemplo anterior así,
Esta proposición afirma la identidad entre una parte (o bien puede ser el todo) de los vertebrados y los mamíferos. Si se pregunta ¿Qué parte?, la proposición no ofrece respuesta, excepto que es la parte que es mamífera; pero la afirmación «mamíferos = algunos vertebrados» no nos dice nada más.
Es muy probable que algunos lectores consideren artificial y complicado este modo de representar la proposición universal afirmativa. No me encargaré de convencerles de lo contrario en este punto de mi exposición.
Su justificación se hallará, no tanto en el tratamiento inmediato de esta proposición, como en la armonía general que nos permitirá revelar entre todas las partes del razonamiento.
No tengo ninguna duda de que esta es la dificultad crítica en la relación de las formas lógicas con otras formas de razonamiento. Conceded este modo de denotar que «todos los A son B», y no temo ninguna otra dificultad; rechazadlo, y encontraremos falta de analogía y una anomalía interminable en todas direcciones. Es sobre bases generales como espero mostrar razones abrumadoras para tratar de reducir todo tipo de proposición a la forma de una identidad.
Puedo añadir que no pocos lógicos han aceptado este punto de vista sobre la proposición universal afirmativa. Leibniz, en sus Difficultates Quædam Logicæ, lo adopta, diciendo: «Omne A est B; id est æquivalent AB et A, seu A non B est nonens». Boole empleó la ecuación lógica x = xy simultáneamente con x = vy; y Spalding2 afirma claramente que la proposición «todos los metales son minerales» podría describirse como una aseveración de identidad parcial entre las dos clases. De ahí el nombre que he adoptado para la proposición.
Identidades Limitadas.
Una clase importante de proposiciones tiene la forma que expresa la identidad de la clase con la clase .
En otras palabras, «Dentro de la esfera de la clase A, todos los B son todos los C»; o también, «Los B y C, que son A, son idénticos». Pero se observará que no se afirma nada acerca de las cosas que están fuera de la clase A; y por lo tanto la identidad es de alcance limitado. Es la proposición limitada a la esfera de las cosas llamadas A.
Así podemos decir, con cierta aproximación a la verdad, que «Las plantas grandes son plantas carentes de fuerza locomotriz».
Un abogado puede hacer multitud de afirmaciones de lo más general sobre las relaciones entre personas y cosas en el curso de una argumentación, pero, por supuesto, debe entenderse que habla únicamente de personas y cosas bajo la ley inglesa.
Incluso los matemáticos hacen afirmaciones que no son ciertas con absoluta generalidad. Dicen que las raíces imaginarias entran en las ecuaciones por parejas; pero esto solo es cierto bajo la condición tácita de que las ecuaciones en cuestión no tengan coeficientes imaginarios.3
El universo, en resumen, dentro del cual discurren habitualmente es el de las ecuaciones con coeficientes reales. Estas limitaciones implícitas forman parte de esa gran masa de conocimiento tácito que acompaña a todo argumento especial.
A De Morgan se debe la observación de que solemos pensar y razonar en un universo o esfera de nociones limitado, incluso cuando este no se enuncia expresamente.4
Es digno de investigación si todas las identidades no están en realidad limitadas a una esfera implícita de significado.
Cuando hacemos una afirmación tan simple como «El oro es maleable», obviamente hablamos del oro solo en su estado sólido; cuando decimos que «El mercurio es un metal líquido», debe entenderse que excluimos la condición congelada a la que puede ser reducido en las regiones árticas.
Aun cuando tomamos una ley de la naturaleza tan fundamental como «Todas las sustancias gravitan», debemos entender por sustancia, sustancia material, excluyendo esa base de calor, luz y ondulaciones eléctricas que ocupa el espacio y posee muchas propiedades mecánicas maravillosas, pero no la gravedad.
La proposición es entonces en realidad de la forma
Proposiciones negativas.
En todo acto del intelecto nos ocupamos de una cierta identidad o diferencia entre cosas o sensaciones comparadas entre sí.
Hasta ahora solo he tratado de las identidades; y, sin embargo, podría parecer que la relación de diferencia debe ser infinitamente más común que la de semejanza.
Una cosa puede parecerse a muchas otras cosas, pero entonces difiere de todas las demás cosas del mundo.
Casi puede decirse que la diversidad constituye la vida, siendo para el pensamiento lo que el movimiento es para un río.
La percepción de un objeto implica su discriminación de todos los demás objetos. Pero, sin embargo, puede decirse que detectamos semejanza tan a menudo como detectamos diferencia.
No podemos, de hecho, afirmar la existencia de una diferencia, sin implicar al mismo tiempo la existencia de una concordancia.
Si comparo el mercurio, por ejemplo, con otros metales, y decido que no es sólido, he aquí una diferencia entre el mercurio y las cosas sólidas, expresada en una proposición negativa; pero al mismo tiempo debe estar implícita una concordancia entre el mercurio y las demás sustancias que no son sólidas.
Así como es imposible separar las vocales del alfabeto de las consonantes sin separar al mismo tiempo las consonantes de las vocales, tampoco puedo seleccionar como objeto de pensamiento las cosas sólidas sin agrupar con ello en otra clase todas las cosas que no son sólidas.
El mero hecho de no poseer una cualidad constituye una cualidad nueva que puede ser el fundamento del juicio y de la clasificación. Desde este punto de vista, la concordancia y la diferencia son siempre las dos caras del mismo acto del intelecto, y resulta igualmente posible expresar el mismo juicio bajo uno u otro aspecto.
Entre la afirmación y la negación hay, por consiguiente, un perfecto equilibrio. Toda proposición afirmativa implica una negativa, y vice versâ. Desde un punto de vista lógico, resulta incluso indiferente que se emplee un término positivo o uno negativo para denotar una cualidad dada y la clase de cosas que la poseen.
Si el estado ordinario del cuerpo de un hombre se denomina buena salud, en otras circunstancias se dice que no goza de buena salud; pero igualmente podríamos describirle en este último estado como enfermo, y en su condición normal se le consideraría no enfermo.
Las sustancias animales y vegetales se denominan hoy orgánicas, de modo que las demás sustancias, que constituyen una parte inmensamente mayor del globo, se describen negativamente como inorgánicas. Pero habríamos podido, con al menos igual corrección lógica, describir la clase predominante de sustancias como minerales, y entonces las sustancias vegetales y animales habrían sido no minerales.
Es evidente que cualquier término positivo y su correspondiente negativo dividen entre sí todo el universo del pensamiento: lo que no entra en uno debe entrar en el otro, según la tercera ley fundamental del pensamiento, la ley de la dualidad.
De ello se deduce inmediatamente que existen dos modos de representar una diferencia. Suponiendo que se halle que las cosas representadas por A y B difieren, podemos indicar (véase la p. 17) el resultado del juicio mediante la notación
Podemos ahora representar el mismo juicio mediante la aseveración de que A concuerda con aquellas cosas que difieren de B, o de que A concuerda con los no-B. Usando nuestra notación para los términos negativos (véase la p. 14), obtenemos como la expresión de la proposición negativa ordinaria. Así, si tomamos A para significar azogue, y B sólido, entonces tenemos la siguiente proposición:—
También puede haber varias otras clases de proposiciones negativas, de las cuales no se tomó nota en la vieja lógica.
Podemos tener casos en los que todos los A son no-B, y al mismo tiempo todos los no-B son A; puede haber, en resumen, una simple identidad entre A y no-B, la cual puede expresarse en la forma
Un ejemplo de esta forma sería
También tendremos que ocuparnos con frecuencia, como resultados de la deducción, de identidades simples, parciales o limitadas entre términos negativos, como en las formas
Sería posible representar las proposiciones afirmativas en forma negativa. Así, «El hierro es sólido» podría expresarse como «El hierro no es no-sólido», o «El hierro no es fluido»; o, tomando A y b para los términos «hierro» y «no-sólido», la forma sería A ~ b.
Pero hay razones muy poderosas por las cuales deberíamos emplear todas las proposiciones en su forma afirmativa. Toda inferencia procede mediante la sustitución de equivalentes, y una proposición expresada en la forma de una identidad está lista para arrojar todas sus consecuencias de la manera más directa.
Como se mostrará más plenamente, podemos inferir en una proposición negativa, pero no por medio de ella. La diferencia es incapaz de convertirse en el fundamento de la inferencia; es únicamente el acuerdo implícito con otros objetos diferentes lo que admite el razonamiento deductivo; y siempre resultará ventajoso emplear proposiciones en la forma que muestre claramente los acuerdos implícitos.
# Conversión de Proposiciones.
Los viejos libros de lógica contienen muchas reglas relativas a la conversión de las proposiciones, es decir, la transposición del sujeto y el predicado de tal modo que se obtenga una nueva proposición que sea verdadera cuando la proposición original sea verdadera. La reducción de cada proposición a la forma de una identidad hace innecesarias todas esas reglas y procesos.
La identidad es esencialmente recíproca.
- Si el color del océano Atlántico es el mismo que el del océano Pacífico, el del Pacífico debe ser el mismo que el del Atlántico.
- Siendo el cloruro sódico idéntico a la sal común, la sal común debe ser idéntica al cloruro sódico.
- Si el número de ventanas de la catedral de Salisbury es igual al número de días del año, el número de días del año debe ser igual al número de las ventanas.
Lord Chesterfield no se equivocaba cuando dijo: «Le daré a cualquiera a elegir entre estas dos verdades, que vienen a ser lo mismo: Quien más se ama a sí mismo es el hombre más honesto; o, El hombre más honesto es el que más se ama a sí mismo».
Scotus Erigena expresa exactamente este carácter recíproco de la identidad al decir: «No hay dos estudios, uno de la filosofía y otro de la religión; la verdadera filosofía es la verdadera religión, y la verdadera religión es la verdadera filosofía».
A matemático no le parecería digno de mención que si x = y, entonces también y = x. No consideraría que se trata de dos ecuaciones en absoluto, sino de una sola ecuación escrita accidentalmente de dos maneras diferentes.
En los símbolos escritos, uno de los dos nombres debe ir primero y el otro segundo, y tal vez deba observarse una sucesión similar en nuestros pensamientos: pero en la relación de identidad no hay necesidad de sucesión en el orden (véase la pág. 33), cada uno es simultáneamente igual e idéntico al otro. Estas observaciones serán válidas tanto para la identidad lógica como para la matemática; de modo que consideraré que las dos formas expresan exactamente la misma identidad escrita de manera diferente.
Toda necesidad de reglas de conversión desaparece, y no habrá una sola proposición en el sistema que no pueda escribirse con cualquiera de los dos extremos al frente. Así, A = AB es lo mismo que AB = A, aC = bC es lo mismo que bC = aC, y así sucesivamente.
Las mismas observaciones son parcialmente ciertas respecto a las diferencias y desigualdades, las cuales son también recíprocas en la medida en que una cosa no puede diferir de una segunda sin que la segunda difiera de la primera. Marte difiere en color de Venus, y Venus debe diferir de Marte. La Tierra difiere de Júpiter en densidad; por lo tanto, Júpiter debe diferir de la Tierra.
Hablando en general, si A ~ B, también tendremos B ~ A, and estas dos formas pueden considerarse expresiones de la misma diferencia. Pero la relación entre las cosas que difieren no es totalmente recíproca. La densidad de Júpiter no difiere de la de la Tierra del mismo modo que la de la Tierra difiere de la de Júpiter.
El cambio de sensación que experimentamos al pasar de Venus a Marte no es el mismo que experimentamos al regresar a Venus, sino de naturaleza justamente opuesta. El color del cielo es más claro que el del océano; por lo tanto, el del océano no puede ser más claro que el del cielo, sino más oscuro.
En estos y en todos los casos similares adquirimos una noción de dirección o carácter de cambio, y puede demostrarse que resultados de enorme importancia se basan en esta noción. Por el momento nos ocuparemos del mero hecho de que la identidad exista o no exista.
# Doble interpretación de las proposiciones.
Los términos, como hemos visto (p. 25), pueden tener un significado ya sea en extensión o en intención; y según se atribuya uno u otro significado a los términos de una proposición, así puede asignarse una interpretación diferente a la proposición misma.
Cuando los términos son abstractos debemos leerlos en intención, y una proposición que conecte tales términos debe denotar la identidad o no identidad de las cualidades denotadas respectivamente por los términos. Así, si decimos la aseveración significa que la circunstancia de ser igual corresponde exactamente con la circunstancia de ser idéntico en magnitud.
De manera similar, en la cualidad de ser incapaz de transmitir la luz se declara que es lo mismo que el significado pretendido de la palabra opacidad.
Cuando los nombres generales forman los términos de una proposición, podemos aplicar una doble interpretación. Así, esto significa o bien que las cualidades que pertenecen a todos los exógenos son las mismas que aquellas que pertenecen a todos los dicotiledóneos, o bien que cada individuo comprendido bajo un nombre cae igualmente bajo el otro.
De ahí que pueda decirse que existen dos campos distintos de pensamiento lógico. Podemos argumentar ya sea por el significado cualitativo de los nombres o por el cuantitativo, es decir, el significado extensivo. Todo argumento que involucre términos plurales concretos podría convertirse en uno que involucre únicamente términos singulares abstractos, y viceversa.
Pero existen razones para creer que la forma de razonamiento intensiva o cualitativa es la principal y fundamental. Basta con señalar que el significado extensivo de un nombre es una cosa mudable y fugaz, mientras que el significado intensivo puede, a pesar de ello, permanecer fijo.
- Muy numerosas adiciones se han hecho recientemente a los significados extensivos tanto de planeta como de elemento.
- Todo buque de vapor de hierro que se fabrica o se destruye añade o resta al significado extensivo del nombre buque de vapor, sin afectar necesariamente al significado intensivo.
- Carruaje de posta significa tanto como siempre en un sentido, pero en extensión la clase está casi extinta.
- Ferrocarril chino, por otra parte, es un término representado solo por un único ejemplar; en veinte años puede ser el nombre de una gran clase.