Este acertijo equivale a encontrar el número más pequeño posible que tenga exactamente sesenta y cuatro divisores, contando el 1 y al propio número como divisores. El menor número es 7.560.
Los peregrinos podrían, por lo tanto, haber marchado en fila india, de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, y así sucesivamente, de exactamente sesenta y cuatro formas diferentes, siendo la última manera en una sola hilera de 7.560.
El Comerciante tuvo cuidado de decir que iban a cruzar un brezal, y no mencionar su tamaño, ¡pues desde luego no habría sido posible por un camino corriente!
Para averiguar cuántos números diferentes dividen a un número dado, N, hagamos que N = ap bq cr ..., donde a, b, c ... son números primos. Entonces el número de divisores será (p + 1) (q + 1) (r + 1) ..., lo cual incluye como divisores al 1 y al propio N. Por lo tanto, en el caso de mi acertijo...
| 7,560 = | 2 3 | × | 3 3 | × | 5 | × | 7 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Poderes = | 3 | 3 | 1 | 1 | ||||
| Por lo tanto | 4 | × | 4 | × | 2 | × | 2 | = 64 divisores. |
Para hallar el número más pequeño que tiene un número dado de divisores debemos proceder por tanteo. Pero a veces es importante señalar si la condición es o no que deba haber un número dado de divisores y no más.
Por ejemplo, el número más pequeño que tiene siete divisores y no más es el 64, mientras que el 24 tiene ocho divisores, y podría cumplir igualmente las condiciones. La estipulación de «y no más» no era necesaria en el caso de mi acertijo, pues ningún número más pequeño tiene más de sesenta y cuatro divisores.