Aquí tenemos en verdad un problema espinoso. Nuestros libros de texto nos dicen que todas las esferas son semejantes, y que los sólidos semejantes son proporcionales a los cubos de sus longitudes correspondientes. Por lo tanto, como las circunferencias de los dos frascos eran de un pie y dos pies respectivamente, y los cubos de uno y dos sumados dan nueve, lo que tenemos que hallar son otros dos números cuyos cubos sumados den nueve. Estos números claramente deben ser fraccionarios.
Ahora bien, esta pequeña cuestión ha ocupado verdaderamente la atención de hombres cultos durante doscientos cincuenta años; pero aunque Pierre de Fermat demostró en el siglo XVII cómo se puede hallar una respuesta en dos fracciones con un denominador de nada menos que veinticuatro cifras [nota: el original dice twenty-one figures, lo cual es veintiuna], no solo todas las respuestas publicadas mediante su método que he visto son inexactas, sino que nadie ha publicado jamás el resultado mucho más pequeño que ahora imprimo.
Los cubos de (415280564497 / 348671682660) y (676702467503 / 348671682660) sumados dan exactamente nueve, y por lo tanto estas fracciones de pie son las medidas de las circunferencias de los dos frascos que el Doctor necesitaba para contener la misma cantidad de líquido que los producidos. Un eminente actuario y otro corresponsal se han tomado la molestia de elevar al cubo estos números, y ambos encuentran mi resultado totalmente correcto.
Si los redomines tuvieran una circunferencia de un pie y tres pies respectivamente, una respuesta sería que los cubos de (63284705 / 21446828) y (28340511 / 21446828) sumados dan exactamente 28.
Véase también el n.º 61, «Los cubos de plata».
Dada una solución conocida para la expresión de un número como la suma o diferencia de dos cubos, podemos, mediante una fórmula, deducir de ella un número infinito de otros casos alternativamente positivos y negativos.
Así, Fermat, partiendo del caso conocido 13 + 23 = 9 (al que llamaremos caso fundamental), obtuvo primero una solución negativa en cifras mayores, y a partir de esta su solución positiva en cifras aún mayores. Pero hay un número infinito de casos fundamentales, y hallé por tanteo una solución fundamental negativa en cifras menores que su solución negativa derivada, a partir de la cual obtuve el resultado mostrado arriba. Esa es la simple explicación.
Podemos decir de cualquier número hasta el 100 si es posible o no expresarlo como la suma de dos cubos, excepto el 66. Los estudiantes deben leer la Introducción a la Théorie des Nombres de Lucas, p. xxx.
Hace algunos años publiqué una solución para el caso de
de la cual Legendre dio una «demostración» de imposibilidad bastante extensa; pero desde entonces he descubierto que Lucas se me adelantó en una comunicación a Sylvester.