El lector sabe que existen los números primos y los números enteros compuestos.
Ahora bien, 1.111.111 no puede ser un número primo, porque si lo fuera, las únicas respuestas posibles serían las propuestas por el hermano Benjamín y rechazadas por el padre Pedro. Tampoco puede tener más de dos factores, o la respuesta sería indeterminada.
De hecho, 1.111.111 es igual a 239 x 4.649 (ambos primos), y como cada gato mató a más ratones que los gatos que había, la respuesta debe ser 239 gatos.
Véase también la Introducción, p. 18.
Tratado en general, este problema consiste en hallar los factores, si los hay, de números de la forma (10n - 1)/9.
Lucas, en su L'Arithmétique Amusante, presenta una serie de tablas curiosas que obtuvo de un tratado de aritmética titulado Talkhys, obra de Ibn Albanna, un matemático y astrónomo árabe de la primera mitad del siglo XIII.
En la Biblioteca Nacional de París hay varios manuscritos que tratan sobre el Talkhys, así como un comentario de Alkalaçadi, fallecido en 1486.
Entre las tablas expuestas por Lucas hay una que muestra todos los factores de los números de la forma anterior hasta n = 18. Parece casi inconcebible que los árabes de esa época pudiesen hallar los factores cuando n = 17, tal como se indica en mi Introducción. Sin embargo, interpreto que Lucas afirma que estos figuran en el Talkhys, si bien un eminente matemático lo interpreta de otro modo y me sugiere que fueron descubiertos por el propio Lucas. Esto, por supuesto, puede resolverse examinando el Talkhys, pero no ha sido posible hacerlo durante la guerra.
La dificultad radica por completo en aquellos casos en los que n es un número primo.
Si n = 2, obtenemos el primo 11. Los factores cuando n = 3, 5, 11 y 13 son respectivamente (3 . 37), (41 . 271), (21.649 . 513.239) y (53 . 79 . 265371653). He dado en estas páginas los factores cuando n = 7 y 17. Los factores cuando n= 19, 23 y 37 son desconocidos, si es que los hay.2
Cuando n = 29, los factores son (3.191 . 16.763 . 43.037 . 62.003 . 77.843.839.397); cuando n = 31, un factor es 2.791; y cuando n = 41, dos factores son (83 . 1.231).
En cuanto a los valores pares de n, la siguiente curiosa serie de factores sin duda interesará al lector. Los números entre corchetes son primos.
n = 2 = (11)
n = 6 = (11) × 111 × 91 n = 10 = (11) × 11.111 × (9.091)
n = 14 = (11) × 1,111,111 × (909,091)
n = 18 = (11) × 111,111,111 × 90,909,091
O podemos plantear los factores de este modo:—
n = 2 = (11)
- n = 6 = 111 × 1,001
- n = 10 = 11,111 × 100,001
- n = 14 = 1,111,111 × 10,000,001
- n = 18 = 111,111,111 × 1,000,000,001
En las dos tablas anteriores, n es de la forma 4m + 2. Cuando n es de la forma 4m, los factores pueden escribirse de la siguiente manera:—
n= 4 = (11) × (101)
n = 8 = (11) × (101) × 10.001 n = 12 = (11) × (101) × 100.010.001 n = 16 = (11) × (101) × 1.000.100.010.001.
Cuando n = 2, tenemos el número primo 11; cuando n = 3, los factores son 3 . 37; cuando n = 6, son 11 . 3 . 37 . 7. 13; cuando n = 9, son 32 . 37 . 333.667. Por lo tanto, sabemos que los factores de n = 18 son 11 . 32 . 37 . 7 . 13 . 333.667, mientras que el factor restante es compuesto y puede descomponerse en 19 . 52.579. Esto mostrará cómo se puede simplificar el procedimiento cuando n no es primo.