En cualquier otra operación matemática el proceso inverso es mucho más difícil que el directo, la sustracción que la adición, la división que la multiplicación, la evolución que la involución; pero la dificultad aumenta enormemente a medida que el proceso se vuelve más complejo.
La diferenciación, el proceso directo, siempre es susceptible de realizarse mediante reglas fijas, pero como estas reglas producen una variedad considerable de resultados, el proceso inverso de la integración presenta inmensas dificultades y, en una mayoría infinita de casos, supera los recursos actuales de los matemáticos.
No existen reglas infalibles y generales para su realización; debe hacerse mediante prueba, conjeturas o recordando los resultados de la diferenciación y utilizándolos como guía.
Acercándonos más a nuestro propio tema inmediato, existe exactamente la misma dificultad para determinar la ley a la que obedecen ciertas cosas. Dada una expresión matemática general, podemos averiguar infaliblemente su valor para cualquier valor requerido de la variable.
Pero no tengo noticia de que los matemáticos hayan intentado jamás establecer las reglas de un proceso mediante el cual, dados ciertos números, se pudiera descubrir una fórmula racional o precisa de la cual proceden.
El lector podrá poner a prueba su capacidad para detectar una ley mediante la contemplación de sus resultados si, no siendo matemático, intenta señalar la ley a la que obedecen los siguientes números:
Estos números se presentan a veces en términos reducidos, pero de manera imprevista ascienden a términos elevados; en su magnitud absoluta son muy variables.
Parecen desafiar toda regularidad y método, y es difícil suponer que alguien pudiera, a partir de la contemplación de los números, haber detectado las relaciones entre ellos.
Sin embargo, derivan de las leyes de relación más regulares y simétricas, y son de la más alta importancia en el análisis matemático, siendo conocidos como los números de Bernoulli.
Compárese de nuevo la dificultad de descifrar con la de cifrar. Cualquiera puede inventar un lenguaje secreto y, con un poco de trabajo constante, traducir la carta más larga al criptograma. Pero descifrar la carta, al no tener la clave de los signos adoptados, es un asunto completamente distinto.
Como los modos posibles de escritura secreta son infinitos en número y sumamente variados en su clase, no existe ningún método directo de descubrimiento en absoluto.
- El ensayo repetido, guiado más o menos por el conocimiento de la forma habitual de cifrado y basado enteramente en los principios de probabilidad e inducción lógica, es el único recurso.
Para este proceso se requiere un tacto o habilidad peculiar, y unos pocos hombres, como Wallis o Wheatstone, han alcanzado un gran éxito.
La inducción es el desciframiento del significado oculto de los fenómenos naturales. Dados acontecimientos que ocurren en ciertas combinaciones bien definidas, se nos exige señalar las leyes que rigen esas combinaciones. Supuestas cualesquiera leyes, podemos decidir, con facilidad y certeza, si los fenómenos obedecen a dichas leyes. Pero las leyes que pueden existir son de una variedad infinita, de modo que las