Tenemos una gran necesidad en lógica de un signo distinto para la cópula, porque el pequeño verbo es (o son), empleado hasta ahora tanto en la lógica como en el discurso ordinario, es totalmente ambiguo.
A veces denota identidad, como en «La catedral de San Pablo es la chef-d’œuvre de Sir Christopher Wren»; pero más comúnmente indica la inclusión de una clase dentro de otra, o identidad parcial, como en «Los obispos son miembros de la Cámara de los Lores». Esta última relación implica identidad, pero requiere una cuidadosa distinción respecto de la simple identidad, como se mostrará más adelante.
Cuando con este signo de igualdad unimos dos nombres o términos lógicos, como en significamos que el objeto o grupo de objetos denotado por un término es idéntico al denotado por el otro, en todo excepto en los nombres.
La fórmula general debe entenderse en el sentido de que A y B son símbolos para el mismo objeto o grupo de objetos. Esta identidad puede surgir a veces de la mera imposición de nombres, pero también puede surgir de las leyes más profundas de la constitución de la naturaleza; como cuando decimos
Habremos de distinguir cuidadosamente entre las relaciones de términos que pueden ser modificadas a nuestra propia voluntad y aquellas que son fijas por expresar las leyes de la naturaleza; pero por el momento solo estamos considerando el modo de expresión que puede ser el mismo en cualquiera de los dos casos.
A veces, pero con mucha menor frecuencia, requerimos un símbolo para indicar diferencia o la ausencia de completa semejanza. Para este propósito podemos generalizar de manera similar el símbolo ~, que fue introducido por Wallis para significar la diferencia entre cantidades. La fórmula general denota que B y C son los nombres de dos objetos o grupos que no son idénticos entre sí. Así podemos decir
También usaré ocasionalmente el signo ᔕ para significar de la manera más general la existencia de cualquier relación entre los dos términos conectados por él. Así, ᔕ podría significar no solo las relaciones de igualdad o desigualdad, identidad o diferencia, sino cualquier relación especial de tiempo, lugar, tamaño, causalidad, etc., en la que una cosa pueda hallarse respecto de otra.
Por A ᔕ B entiendo, por lo tanto, dos objetos de pensamiento cualesquiera relacionados entre sí de cualquier manera concebible.
# Fórmula general de la inferencia lógica.
La única regla suprema de inferencia consiste, como he dicho, en la directiva de afirmar de cualquier cosa lo que se sepa de su semejante, igual o equivalente. La Sustitución de Semicejantes es una frase que parece expresar acertadamente la capacidad de reemplazo mutuo existente entre dos objetos cualesquiera que sean semejantes o equivalentes en un grado suficiente.
Es materia de investigación ulterior determinar cuándo y para qué fines un grado de semejanza menor que la identidad completa es suficiente para justificar la sustitución. Por el momento pensamos únicamente en la mismidad exacta expresada en la forma
Ahora bien, si tomamos la letra C para denotar cualquier tercer objeto concebible, y usamos el signo ᔕ en su significado establecido de relación indefinida, entonces la fórmula general de toda inferencia puede expresarse así:—