De este modo, Leibnitz anticipa con precisión el modo de tratar la inferencia con dos identidades simples descrito en la p. 51 de esta obra.
Aun el axioma matemático de que «si a los iguales se suman iguales, los resultados son iguales» se deduce del principio de sustitución. En la pág. 95 de la edición de Erdmann, encontramos: «Si eidem addantur coincidentia fiunt coincidentia. Si A ∝ B, erit A + C ∝ B + C. Nam si in propositione A + C ∝ A + C (quæ est vera per se) pro A semel substituas B (quod facere licet per Def. I. quia A ∝ B) fiet A + C ∝ B + C Q. E. Dem.» Esta es indudablemente la manera de deducir los diversos axiomas del razonamiento matemático a partir del axioma superior de la sustitución, que se explica en la sección sobre la inferencia matemática (pág. 162) de esta obra, y que ya había sido expuesto en mi Substitution of Similars, pág. 16.
Hay uno o dos otros breves opúsculos en los que Leibniz anticipa las opiniones modernas de la lógica. Así, en el decimoctavo opúsculo de la edición de Erdmann (pág. 92), titulado «Fundamenta Calculi Ratiocinatoris», dice: «Inter ea quorum unum alteri substitui potest, salvis calculi legibus, dicetur esse æquipollentiam». Hay indicios, asimismo, de que había llegado a la cuantificación del predicado, y de que comprendía plenamente la reducción de la proposición afirmativa universal a la forma de una ecuación, que es la clave de una concepción mejorada de la lógica. Así, en el opúsculo titulado «Difficultates Quædam Logicæ»,3 dice: «Omne A est B; id est æquivalent AB et A, seu A non B est non-ens».
Es curioso encontrar también que Leibniz estaba plenamente familiarizado con las leyes de conmutatividad y de «simplicidad» (como he llamado a la segunda ley) asociadas a los símbolos lógicos. En los Addenda ad Specimen Calculi Universalis leemos lo siguiente:4
«Transpositio literarum in eodem termino nihil mutat, ut ab coincidet cum ba, seu animal rationale et rationale animal.»
“Repetitio ejusdem literæ in eodem termino est inutilis, ut b est aa; vel bb est a; homo est animal animal, vel homo homo est animal. Sufficit enim dici a est b, seu homo est animal.”
Comparando esto con lo que se afirma en el Mathematical Analysis of Logic de Boole, págs. 17-18, en sus Laws of Thought, pág. 29, o en esta obra, págs. 32-35, encontramos que Leibniz había llegado hace dos siglos a una clara percepción de las bases de la notación lógica. Cuando Boole señaló que, en lógica, xx = x, esto les pareció a los matemáticos una paradoja, o en cualquier caso un descubrimiento totalmente nuevo; pero aquí lo tenemos expuesto claramente por Leibniz.
El lector no debe suponer, sin embargo, que porque Leibnitz comprendió correctamente los principios fundamentales de la lógica, no dejó nada por hacer a los lógicos modernos. Por el contrario, Leibnitz no obtuvo ningún resultado útil de su definición de sustitución. Cuando procede a explicar el silogismo, como en el artículo sobre «Definitiones Logicæ»,5 renuncia por completo a la sustitución y recurre a la noción de inclusión de clase en clase, diciendo: «Includens includentis est includens inclusi, seu si A includit B et B includit C, etiam A includet C». Procede a establecer ciertas reglas del silogismo que implican la distinción entre sujeto y predicado, y que no son, en ningún aspecto importante, mejores que las viejas reglas del silogismo. Los tratados lógicos de Leibnitz son, de hecho, poco más que breves memorandos de investigaciones que parecen no haber sido nunca desarrolladas. Permanecen como testimonio de su admirable sagacidad, pero sería difícil demostrar que hayan tenido alguna influencia en el progreso de la ciencia lógica en los tiempos recientes.