La solución es la siguiente: Coloque este número bastante largo en la cinta, 0212765957446808510638297872340425531914393617. Puede multiplicarse por cualquier número hasta el 46 inclusive para dar el mismo orden de cifras en el anillo.
El número dado anteriormente se puede multiplicar por cualquier número hasta el 16. Puse el límite en 9 para despistar a los lectores.
El hecho es que estos dos números son simplemente los decimales periódicos que equivalen a 1/17 y 1/47 respectivamente. Multiplique el uno por diecisiete y el otro por cuarenta y siete, y obtendrá todos nueves en cada caso.
Al transformar una fracción común, digamos 1/17, en una fracción decimal, procedemos como se indica a continuación, añadiendo al dividendo tantos ceros como queramos hasta que no quede resto, o hasta obtener una serie recurrente de cifras, o hasta haberla llevado tan lejos como necesitemos, puesto que cada cifra adicional en un decimal interminable nos acerca más y más a la exactitud.
| 17) | 100 | (.058823 |
|---|---|---|
| 85 | ||
| —— | ||
| 150 | ||
| 136 | ||
| —— | ||
| 140 | ||
| 136 | ||
| —— | ||
| 40 | ||
| 34 | ||
| —— | ||
| 60 | ||
| 51 | ||
| —— | ||
| 9 |
Ahora bien, puesto que todas las potencias de 10 solo pueden contener factores de las potencias de 2 y 5, se deduce claramente que vuestro decimal nunca llegará a su fin si aparece cualquier otro factor que no sean estos en el denominador de vuestra fracción común.
Así, ½, 1/4 y 1/8 nos dan los decimales exactos .5, .25 y .125; 1/5 y 1/25 nos dan .2 y .04; 1/10 y 1/20 nos dan .1 y .05: porque los denominadores están compuestos en su totalidad por factores de 2 y 5.
Pero si deseáis convertir 1/3, 1/6 o 1/7, vuestra operación de división nunca terminará, sino que obtendréis estos decimales: .33333, etc., .166666, etc., y .142857142857142857, etc., donde, en el primer caso, el 3 sigue repitiéndose por los siglos de los siglos; en el segundo caso el 6 es el repetidor, y en el último caso obtenemos el período periódico de 142857.
En el caso de 1/17 (en «El problema de la cinta») encontramos que el período circulante es .0588235294117647.
Ahora bien, en la suma de división anterior, los sucesivos restos son 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, etc., y estos números los he insertado alrededor del anillo interior del diagrama. Se verá que cada número del 1 al 16 aparece una vez, y que si multiplicamos nuestro número de cinta por cualquiera de los números del anillo interior, su posición indica exactamente el punto en el que comenzará el producto. Así, si multiplicamos por 4, el producto será 235, etc.; si multiplicamos por 6, 352, etc. Por lo tanto, podemos multiplicar por cualquier número del 1 al 16 y obtener el resultado deseado.
El quid del enigma es este: cualquier número primo, con la excepción del 2 y el 5 (que son los factores de 10), dividirá exactamente y sin resto a un número formado por tantos nueves como el propio número, menos uno.
Así, 999999 (seis nueves) es divisible por 7, dieciséis nueves lo son por 17, dieciocho nueves por 19, y así sucesivamente. Esto es siempre así, aunque con frecuencia bastarán menos nueves; puesto que un nueve es divisible por 3, dos por 11, seis por 13, momento en el cual nuestra regla de la cinta para multiplicadores consecutivos se descompone y entra en juego otra ley.
Por lo tanto, dado que el 0 y el 7 de los extremos de la cinta no se pueden eliminar, debemos buscar una fracción con un denominador primo que termine en 7 y que produzca un decimal periódico puro de período completo. Probamos con el 37, y descubrimos que da un decimal de período corto, 0,027, porque el 37 divide exactamente al 999; por lo tanto, no nos sirve. A continuación examinamos el 47, y comprobamos que nos da el decimal periódico puro, de 46 cifras, que figura al principio de este artículo.
Si cortas cualquiera de estos números periódicos completos por la mitad y colocas una mitad bajo la otra, verás que suman puros nueves; de modo que solo necesitas calcular una mitad y luego escribir los complementos.
Así, en la cinta de arriba, si sumas 05882352 a 94117647, el resultado es 99999999, y lo mismo ocurre con nuestro número de solución largo.
Nótese también en el diagrama anterior que no solo los números opuestos del anillo exterior son complementarios, sumando siempre 9 al combinarlos, sino que los números opuestos del anillo interior, nuestros residuos, también son complementarios, sumando 17 en todos los casos.
Tal vez deba señalar que, al limitar nuestros multiplicadores a los primeros nueve números, parece apenas posible que un número periódico de período corto pueda dar una solución en menos cifras, pero hay razones para pensar que es improbable.