Los lectores de The Mill on the Floss recordarán que, cada vez que el señor Tulliver se encontraba ante cualquier pequeña dificultad, solía hacer la trillada observación: «Es un mundo desconcertante».
No se puede negar el hecho de que estamos rodeados por todas partes de enigmas, algunos de los cuales el intelecto del hombre ha dominado, y de muchos de los cuales puede decirse que son imposibles de resolver.
El mismo Salomón, de quien puede suponerse que era tan agudo como la mayoría de los hombres para resolver acertijos, tuvo que admitir que «hay tres cosas que me son ocultas, aun cuatro que no conozco: el rastro del águila en los aires; el rastro de la serpiente sobre la peña; el rastro de la nave en medio del mar; y el rastro del hombre en la doncella».
Indagar en los secretos de la Naturaleza es una pasión de todos los hombres; solo que elegimos diferentes líneas de investigación. Los hombres han dedicado largas vidas a empresas tales como convertir los metales inferiores en oro, descubrir el movimiento perpetuo, hallar la cura para ciertas enfermedades malignas y navegar por el aire.
De la mañana a la noche se nos enfrenta perpetuamente a acertijos.
Pero hay acertijos y acertijos. Los que suelen idearse para la recreación y el pasatiempo pueden dividirse grosso modo en dos clases:
- Acertijos que se basan en algún principio pequeño, interesante o instructivo; y
- acertijos que no ocultan ningún principio en absoluto, como una imagen cortada al azar en pequeños trozos para volver a armarla, o la imbecilidad juvenil conocida como «jeroglífico» o «pasatiempo visual».
Puede decirse que la primera especie es apta para el entretenimiento del hombre o la mujer cuerdos; la segunda puede recomendarse con confianza a los débiles mentales.
La curiosa propensión a proponer acertijos no es exclusiva de ninguna raza ni de ningún período de la historia. Es simplemente innata en cada hombre, mujer y niño inteligente que jamás haya vivido, aunque siempre se manifiesta de diferentes formas; ya sea que el individuo sea una Esfinge de Egipto, un Sansón de la tradición hebrea, un faquir indio, un filósofo chino, un mahatma del Tíbet o un matemático europeo, importa poco.
Teólogo, científico y artesano se dedican perpetuamente a intentar resolver enigmas, mientras que cada juego, deporte y pasatiempo se compone de problemas de mayor o menor dificultad.
La pregunta espontánea que le hace un niño a su padre, un ciclista a otro mientras descansan brevemente en un transeúnte, un jugador de críquet durante la hora del almuerzo, o un navegante que escanea perezosamente el horizonte, es con frecuencia un problema de considerable dificultad.
En resumen, todos nos estamos proponiendo acertijos los unos a los otros todos los días de nuestras vidas, sin saberlo siempre.
Un buen pasatiempo debe exigir el ejercicio de nuestro mejor ingenio y agudeza, y aunque el conocimiento de las matemáticas y cierta familiaridad con los métodos de la lógica suelen ser de gran utilidad en la resolución de estas cosas, a veces sucede que una especie de astucia y perspicacia naturales tienen un valor considerable.
Pues muchos de los mejores problemas no pueden resolverse mediante ningún método escolástico conocido, sino que deben abordarse por caminos totalmente originales. Por esta razón, tras una larga y dilatada experiencia, uno descubre que ciertos pasatiempos a veces son resueltos con mayor facilidad por personas que solo poseen facultades naturalmente despiertas que por los más instruidos.
Los mejores jugadores de juegos de ingenio como el ajedrez y las damas no son matemáticos, aunque es muy posible que a menudo posean mentes matemáticas sin desarrollar.
Es extraordinario la fascinación que un buen rompecabezas ejerce sobre una gran cantidad de personas. Sabemos que se trata de algo de importancia trivial, y sin embargo nos sentimos impulsados a dominarlo; y cuando lo hemos logrado, experimentamos un placer y una sensación de satisfacción que constituyen una recompensa más que suficiente por nuestro esfuerzo, aun cuando no haya ningún premio que ganar.
¿Cuál es este misterioso encanto que muchos encuentran irresistible? ¿Por qué nos gusta que nos desconcierten? Lo curioso es que, en cuanto se resuelve el enigma, el interés por lo general se desvanece. Ya lo hemos hecho, y eso basta. Pero ¿por qué llegamos a intentarlo?
La respuesta es simplemente que nos producía placer buscar la solución, que el placer residía enteramente en la búsqueda y el hallazgo por sí mismos. Un buen rompecabezas, al igual que la virtud, es su propia recompensa.
- Al hombre le encanta enfrentarse a un misterio, y no es del todo feliz hasta que lo ha resuelto.
- Nunca nos gusta sentir nuestra inferioridad mental respecto a los que nos rodean.
El espíritu de rivalidad es innato en el hombre; estimula al niño más pequeño, en el juego o en la educación, a mantenerse al nivel de sus semejantes, y en la vida adulta convierte a los hombres en grandes descubridores, inventores, oradores, héroes, artistas y (si tienen objetivos más materiales) tal vez en millonarios.
Al emprender un recorrido por el vasto reino de los Rompecabezas, hacemos bien en recordar que nos encontraremos con puntos de interés de índole muy variada. Yo aprovecharé esta variedad.
A menudo la gente comete el error de limitarse a un pequeño rincón del reino, perdiendo así oportunidades de nuevos placeres que están a su alcance a su alrededor.
Una persona se limitará a los acrósticos y otros juegos de palabras, otra a los quebraderos de cabeza matemáticos, otra a los problemas de ajedrez (que no son más que rompecabezas sobre el tablero de ajedrez y tienen poca relación práctica con el juego del ajedrez), y así sucesivamente.
Esto es un error, porque restringe los placeres propios y desdeña esa variedad que es tan beneficiosa para el cerebro.
Y realmente hay una utilidad práctica en la resolución de acertijos. Se supone que el ejercicio regular es tan necesario para el cerebro como para el cuerpo, y en ambos casos no es tanto lo que hacemos como el hecho de hacerlo de lo que obtenemos beneficio.
El paseo diario recomendado por el médico para el bien del cuerpo, o el ejercicio diario para el cerebro, pueden parecer en sí mismos una gran pérdida de tiempo; pero a fin de cuentas es la verdadera economía.
Albert Smith, en una de sus divertidas novelas, describe a una mujer que estaba convencida de sufrir de «telarañas en el cerebro». Esta puede ser una dolencia muy rara, pero en un sentido más metafórico muchos de nosotros somos muy propensos a sufrir de telarañas mentales, y no hay nada como la resolución de acertijos y problemas para barrerlas.
Mantienen el cerebro alerta, estimulan la imaginación y desarrollan las facultades de razonamiento. Y no solo son útiles de esta manera indirecta, sino que a menudo nos ayudan directamente al enseñarnos pequeños trucos y mañas que se pueden aplicar en los asuntos de la vida en los momentos más inesperados y de las formas más inesperadas.
Hay un pasaje interesante en elogio de los rompecabezas en las pintorescas cartas de Fitzosborne. Aquí hay un extracto:
«El ingenioso estudio de crear y resolver rompecabezas es una ciencia sin duda de adquisición de lo más necesaria, y merece formar parte de la meditación de ambos sexos. Es un arte, en verdad, que recomendaría al estímulo de ambas Universidades, ya que ofrece el método más fácil y corto de transmitir algunos de los principios más útiles de la lógica. Era la máxima de un príncipe muy sabio que "el que no sabe disimular no sabe reinar", y deseo que recibáis como mía la de que "el que no sabe acertar acertijos no sabe vivir"».
¿Cómo se inventan los buenos pasatiempos? No me refiero a acrósticos, anagramas, charadas y cosas por el estilo, sino a pasatiempos que contienen una idea original.
Pues bien, no se puede inventar un buen pasatiempo por encargo, del mismo modo que no se puede inventar ninguna otra cosa de esa manera. Las ocurrencias para los pasatiempos surgen en momentos extraños y de formas extrañas. Son sugeridas por algo que vemos oímos, y nos conducen a ellas otros pasatiempos que caen bajo nuestra atención.
Es inútil decir: «Me sentaré e inventaré un pasatiempo original», porque no hay manera de crear una idea; solo puedes aprovecharla cuando llega. Puede que pienses que esto no es así, porque un experto en estas lides creará decenas de pasatiempos mientras que otra persona, igualmente inteligente, no podrá inventar uno «ni para salvar su vida», como suele decirse.
La explicación es muy sencilla. El experto reconoce una idea cuando la ve y es capaz, gracias a una larga experiencia, de juzgar su valor. La fertilidad, al igual que la facilidad, se adquiere con la práctica.
A veces, un error cometido con otro rompecabezas sugiere una idea nueva y de lo más interesante.
A un muchacho le dieron un rompecabezas para resolver, pero entendió mal lo que tenía que hacer y se puso a intentar algo que lo más probable es que todo el mundo le hubiera dicho que era imposible. Pero era un muchacho con fuerza de voluntad y se aferró a ello durante seis meses, a ratos, hasta que realmente lo logró.
Cuando su amigo vio la solución, le dijo: "Este no es el rompecabezas que pretendía; me entendiste mal, ¡pero has descubierto algo mucho más grande!".
Y el rompecabezas que ese muchacho descubrió por accidente se encuentra ahora en todos los libros de pasatiempos antiguos.
Los rompecabezas se pueden hacer con casi cualquier cosa, en manos de una persona ingeniosa con una idea.
Monedas, cerillas, cartas, fichas, trozos de alambre o cuerda, todo resulta útil.
Un número inmenso de rompecabezas se ha creado a partir de las letras del alfabeto, y de esos nueve pequeños dígitos y el cero, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0.
Siempre debe recordarse que una persona muy simple puede plantear un problema que solo mentes astutas puedan resolver, si es que acaso pueden.
Un niño preguntó: «¿Puede Dios hacerlo todo?». Al recibir una respuesta afirmativa, dijo de inmediato: «¿Entonces puede hacer una piedra tan pesada que no pueda levantarla?».
Muchos adultos bien despiertos no ven de inmediato una respuesta satisfactoria. Sin embargo, la dificultad radica meramente en la forma absurda, aunque astuta, de la pregunta, que en realidad equivale a preguntar: «¿Puede el Todopoderoso destruir Su propia omnipotencia?».
Es algo similar a la otra pregunta: «¿Qué pasaría si un cuerpo en movimiento irresistible entrara en contacto con un cuerpo inamovible?». Aquí tenemos simplemente una contradicción en los términos, pues si existiera algo así como un cuerpo inamovible, no podría existir al mismo tiempo un cuerpo en movimiento al que nada pudiera resistir.
El profesor Tyndall solía invitar a los niños a hacerle preguntas desconcertantes, y algunos de ellos le planteaban auténticos quebraderos de cabeza. Un niño le preguntó por qué la parte de una toalla sumergida en agua era de un color más oscuro que la parte seca. ¿Cuántos lectores sabrían dar la respuesta correcta?
Muchas personas se conforman con las respuestas más ridículas a preguntas desconcertantes. Si uno pregunta: «¿Por qué podemos ver a través del vidrio?», nueve de cada diez personas responderán: «Porque es transparente»; lo cual es, por supuesto, simplemente otra manera de decir: «Porque podemos ver a través de él».
Los rompecabezas tienen una variedad tan infinita que a veces resulta muy difícil dividirlos en clases distintas. A menudo se funden tanto en su carácter que lo mejor que podemos hacer es clasificarlos en unos pocos tipos generales. Tomemos tres o cuatro ejemplos para ilustrar lo que quiero decir.
Primero está el antiguo Enigma, que recurre a la imaginación y al juego de la fantasía. Los lectores recordarán el enigma de la Esfinge, el monstruo de Beocia que proponía enigmas a los habitantes y los devoraba si no lograban resolverlos. Se decía que la Esfinge se destruiría a sí misma si alguna vez se respondía correctamente a uno de sus enigmas.
Era este: «¿Qué animal camina sobre cuatro patas por la mañana, dos al mediodía y tres por la tarde?».
Fue explicado por Edipo, quien señaló que el hombre caminaba sobre sus manos y pies en la mañana de la vida, en el mediodía de la vida caminaba erguido y en la tarde de sus días apoyaba sus flaquezas con un bastón. Cuando la Esfinge oyó esta explicación, se estrelló la cabeza contra una roca y expiró inmediatamente.
Esto demuestra que los solucionadores de rompecabezas pueden ser realmente útiles en ocasiones.
Luego está el acertijo propuesto por Sansón. Es tal vez el primer concurso de este tipo del que se tenga registro, siendo el premio treinta vestidos y treinta mudas de ropa por una solución correcta. El acertijo era este:
«Del que come salió comida, y del fuerte salió dulzura».
La respuesta fue: «Un panal de miel en el cuerpo de un león muerto».
Hoy en día este tipo de acertijo sobrevive en formas como: «¿Por qué cruza la carretera una gallina?», a la que la mayoría de la gente da la respuesta: «Para llegar al otro lado»; aunque la réplica correcta es: «Para molestar al chófer».
Ha degenerado en el enigma jocoso, que suele basarse en un mero juego de palabras. Por ejemplo, desde nuestra infancia nos han preguntado: «¿Cuándo una puerta no es una puerta?» y aquí también la respuesta que se suele dar no es la correcta. Debería ser: «Cuando se abre (cuando es una salida [egress])».
Pertenece a esta una amplia clase de pasatiempos basados en las pequeñas peculiaridades del idioma en el que están escritos, tales como anagramas, acrósticos, sopas de letras (o cuadrados de palabras) y charadas.
En esta misma clase también encontramos los palíndromos, es decir, palabras y frases que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Estos deben de ser muy antiguos en verdad, si es cierto que Adán se presentó a Eva (en lengua inglesa, cabe destacar) con las palabras palindrómicas: «Madam, I'm Adam», a las que su consorte respondió con el modesto palíndromo: «Eve».
Luego tenemos los pasatiempos aritméticos, una clase inmensa, llena de diversidad.
Estos van desde el rompecabezas que el algebrista considera que no es más que una «ecuación simple», bastante fácil de resolver directamente, hasta los problemas más profundos en el elegante dominio de la teoría de números.
A continuación tenemos el Rompecabezas Geométrico, una rama favorita y muy antigua del mismo es el rompecabezas de disección, que requiere que alguna figura plana sea cortada en un cierto número de piezas que encajen entre sí y formen otra figura.
La mayoría de los rompecabezas de alambre que se venden en las calles y en las tiendas de juguetes tienen que ver con la geometría de posición.
Pero estas clases no abarcan ni mucho menos todos los tipos de acertijos, ni siquiera cuando tenemos en cuenta aquellos que pertenecen simultáneamente a varias de las clases.
Hay muchos rompecabezas mecánicos ingeniosos que no se pueden clasificar, ya que son completamente independientes: hay acertijos de lógica, de ajedrez, de damas, de naipes y de dominó, mientras que cualquier truco de magia no es más que un acertijo cuya solución el ejecutante intenta guardarse para sí.
Hay rompecabezas que parecen fáciles y son fáciles, rompecabezas que parecen fáciles y son difíciles, rompecabezas que parecen difíciles y son difíciles, y rompecabezas que parecen difíciles y son fáciles; y en cada clase podemos tener, por supuesto, grados de facilidad y dificultad.
Pero de ello no se deduce que un rompecabezas cuyas condiciones sean fácilmente comprensibles para el niño más pequeño sea en sí mismo fácil. Tal rompecabezas podría, sin embargo, parecer sencillo para el inexperto, y resultar ser un hueso muy duro de roer solo después de haberse puesto manos a la obra.
Por ejemplo, si escribimos diecinueve unos para formar el número 1,111,111,111,111,111,111, y luego pedimos un número (que no sea el 1 o él mismo) que lo divida sin dejar residuo, las condiciones son perfectamente simples, pero la tarea es terriblemente difícil. Nadie en el mundo sabe todavía si ese número tiene un divisor o no. Si logras encontrar uno, habrás conseguido hacer algo que nadie más ha hecho jamás.
El número compuesto por diecisiete unos, 11,111,111,111,111,111, solo tiene estos dos divisores, 2,071,723 y 5,363,222,357, y su descubrimiento es una tarea sumamente pesada. El único número compuesto únicamente por unos que sabemos con certeza que no tiene ningún divisor es el 11. Tal número, por supuesto, se llama número primo.
El axioma de que siempre hay una manera correcta y una manera incorrecta de hacer cualquier cosa se aplica en un grado muy notable a la resolución de rompecabezas.
Aquí la manera incorrecta consiste en hacer intentos sin rumbo y sin método, con la esperanza de dar con la respuesta por accidente, un proceso que por lo general resulta en que nos enredemos irremediablemente en la trampa que se nos ha tendido con maña.
Ocasionalmente, sin embargo, un problema es de tal naturaleza que, aunque pueda resolverse inmediatamente por tanteo, es muy difícil hacerlo mediante un proceso de pura razón. Pero en la mayoría de los casos este último método es el único que proporciona un verdadero placer.
Cuando nos sentamos a resolver un acertijo, lo primero que debemos hacer es asegurarnos, en la medida de lo posible, de que entendemos las condiciones. Pues si no comprendemos qué es lo que tenemos que hacer, es poco probable que tengamos éxito al hacerlo.
Todos conocemos la historia del hombre al que le hicieron la pregunta: «Si un arenque y medio cuestan tres medios peniques, ¿cuánto costarán una docena de arenques?».
Tras varios intentos fallidos, se dio por vencido, momento en el cual el autor del acertijo le explicó que una docena de arenques costaría un chelín.
«¡Arenques! —exclamó el otro a modo de disculpa—; ¡yo lo estaba calculando con eglefinos!».
A veces se necesita más cuidado del que el lector podría suponer para redactar las condiciones de un nuevo pasatiempo de modo que sean a la vez claras y exactas, y no tan prolijas como para destruir todo interés en el asunto.
Recuerdo haber propuesto una vez un problema que requería que cierta acción se realizara en el «menor número posible de líneas rectas», y una persona que era o muy lista o muy tonta (nunca he llegado a decidirme del todo) afirmó haberlo resuelto en una sola línea recta porque, según dijo: «¡Me he cuidado de hacer que todas las demás sean torcidas!».
¿Quién podría haber previsto semejante sofisma?
Luego, si propones un acertijo de «cruzar el río», en el que hay que pasar gente al otro lado en un bote que solo puede llevar a un número o combinación de personas determinado, tan pronto como el aspirante a resolverlo no logra dominar la dificultad, introduce audazmente una cuerda para jalar el bote. Le dices que la cuerda está prohibida; y entonces recurre al uso de la corriente del arroyo.
Una vez pensé que había excluido cuidadosamente todos esos trucos en un acertijo en particular de esta clase. ¡Pero un lector avispado hizo que toda la gente cruzara nadando sin usar el bote en absoluto!
Por supuesto, algunos pocos acertijos están pensados para resolverse mediante algún truco de este tipo; y si da la casualidad de que no hay solución sin el truco, es perfectamente legítimo. Debemos usar nuestro mejor criterio para decidir si un acertijo contiene trampa o no; pero nunca debemos asumirlo apresuradamente. Retorcer las condiciones es el último recurso del aspirante a solucionador derrotado.
A veces la gente intentará desconcertarte con pequeños y curiosos giros en el significado de las palabras. Recientemente, un hombre me propuso el viejo y conocido problema: «Un muchacho camina alrededor de un poste en el que hay un mono, pero a medida que el muchacho camina, el mono gira sobre el poste de modo que siempre queda frente a él en el lado opuesto. ¿Da el muchacho la vuelta al mono?».
Le respondí que si primero me daba su definición de «dar la vuelta», yo le proporcionaría la respuesta. Por supuesto, puso objeciones, con la intención de atraparme en cualquiera de los dos casos. Por lo tanto, dije que, tomando las palabras en su significado ordinario y correcto, ciertamente el muchacho daba la vuelta al mono.
Como era de esperar, replicó que no era así, porque él entendía por «dar la vuelta» a algo el hecho de ir de tal manera que se vieran todos sus lados. A esto le hice la obvia réplica de que, en consecuencia, un ciego no podía dar la vuelta a nada.
Luego enmendó su definición diciendo que el ver realmente todos los lados no era esencial, sino que uno caminaba de tal manera que, de tener vista, podría ver todos los lados. ¡A lo que se sugirió que, en consecuencia, uno no podía dar la vuelta a un hombre que hubiera sido encerrado en una caja! Y así sucesivamente.
Todo esto es divertidamente estúpido, y si al principio uno, muy acertadamente, se niega a admitir otra definición de «dar la vuelta» que no sea simple y correcta, no queda ningún enigma, y se evita una discusión ociosa y a menudo acalorada.
Cuando hayas comprendido tus circunstancias, observa siempre si no puedes simplificarlas, pues de este modo te deshaces de una gran cantidad de confusión.
Mucha gente se devana los sesos con la vieja pregunta del hombre que, mientras señala un retrato, dice: «Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de ese hombre es el hijo de mi padre». ¿Qué parentesco tenía el hombre del retrato con quien hablaba?
Aquí simplificas al decir que «el hijo de mi padre» debe de ser «yo mismo» o «mi hermano». Pero, dado que quien habla no tiene ningún hermano, se trata claramente de «yo mismo». La afirmación simplificada no es, por tanto, más que: «El padre de ese hombre soy yo mismo», y era obvio que se trataba del retrato de su hijo. ¡Y sin embargo, la gente discute sobre esta pregunta durante horas!
Hay misterios que jamás se han resuelto en muchas ramas del mundo de los acertijos. Consideremos unos cuantos en el terreno de los números: pequeñeces cuyas condiciones un niño puede entender, aunque las mentes más grandes no alcancen a dominar.
Todo el mundo ha escuchado la frase «es tan difícil como cuadrar el círculo», aunque muchas personas tienen una idea muy difusa de lo que significa.
Si tienes un círculo de un diámetro determinado y deseas hallar el lado de un cuadrado que contenga exactamente la misma área, te enfrentas al problema de la cuadratura del círculo.
- Bien, no se puede hacer con exactitud (aunque podemos obtener una respuesta lo suficientemente cercana para todos los fines prácticos), porque no es posible expresar con números exactos cuál es la proporción entre el diámetro y la circunferencia.
- Pero solo en tiempos recientes se ha demostrado que es imposible, pues una cosa es no ser capaz de realizar cierta hazaña y otra muy distinta demostrar que no se puede hacer.
Tan solo los excéntricos sin instrucción pierden hoy el tiempo intentando cuadrar el círculo.
Una vez más, nunca podremos medir exactamente en números la diagonal de un cuadrado.
Si tienes un cristal de ventana que mide exactamente un pie por cada lado, ahí tienes la distancia de esquina a esquina mirándote fijamente, y sin embargo nunca podrás decir en números exactos cuál es la longitud de esa diagonal. La persona ingenua sugerirá de inmediato que podríamos tomar nuestra diagonal primero, supongamos que un pie exacto, y luego construir nuestro cuadrado. Sí, puedes hacer esto, pero entonces nunca podrás decir exactamente cuál es la longitud del lado. Puedes tenerlo de la manera que prefieras, pero no puedes tenerlo de ambas maneras.
Todos mis lectores saben lo que es un cuadrado mágico. Los números del 1 al 9 pueden disponerse en un cuadrado de nueve casillas, de modo que todas las columnas y filas, así como cada una de las diagonales, sumen 15. Es bastante sencillo; y solo hay una manera de hacerlo, ya que no consideramos distintas las disposiciones obtenidas simplemente girando el cuadrado y reflejándolo en un espejo.
Ahora bien, si deseamos hacer un cuadrado mágico con los 16 números, del 1 al 16, existen exactamente 880 formas diferentes de hacerlo, sin contar tampoco las inversiones y reflexiones. Esto se ha demostrado definitivamente en los últimos años.
Pero cuántos cuadrados mágicos se pueden formar con los 25 números, del 1 al 25, nadie lo sabe, y tendremos que ampliar nuestros conocimientos en ciertas direcciones antes de poder esperar resolver el enigma. Sin embargo, resulta sorprendente descubrir que exactamente 174.240 de estos cuadrados se pueden formar de un tipo restringido particular únicamente: el cuadrado enmarcado, en el cual el cuadrado interior de nueve casillas es en sí mismo mágico. Y he demostrado cómo este número puede duplicarse de inmediato con solo convertir cada cuadrado enmarcado —mediante una regla sencilla— en uno no enmarcado.
Luego se han hecho vanos intentos para construir un cuadrado mágico mediante el llamado «recorrido del caballo» sobre el tablero de ajedrez, numerando cada casilla que el caballo visita sucesivamente, 1, 2, 3, 4, etc.; y se ha logrado, con la excepción de las dos diagonales, que hasta ahora han frustrado todos los esfuerzos. Pero no es seguro que no pueda hacerse.
Aunque los contenidos del presente volumen son en su mayor parte enteramente originales, se encontrarán algunos muy pocos viejos amigos; pero estos, confío, no resultarán indeseados en el nuevo traje que han recibido.
Los pasatiempos son de todos los grados de dificultad, y tan variados en su carácter que tal vez no sea demasiado esperar que todo verdadero amante de los rompecabezas encuentre material abundante para interesarse —y posiblemente instruirse—.
En algunos casos he abordado los métodos de resolución con considerable extensión, pero en otras ocasiones me he visto obligado a pesar mío a limitarme a dar las meras respuestas. Si se hubieran dado las soluciones completas y las demostraciones en el caso de cada rompecabezas, o bien se habría tenido que omitir la mitad de los problemas, o bien el tamaño del libro habría aumentado considerablemente.
Y el plan que he adoptado tiene sus ventajas, pues deja margen para que el entusiasta de las matemáticas elabore su propio análisis. Incluso en aquellos casos en los que he dado una fórmula general para la solución de un rompecabezas, encontrará un gran interés en verificarla por sí mismo.