y el seno versado del doble de cualquier Arco es igual al doble del Cuadrado del Seno del mismo dividido por el Radio.
Sea el Arco BC (en la Fig. 2. Tab. 5.) el doble del Arco BF, y A el Centro; trazo los Radios AB, AF, AC, y la Cuerda BDC, y baje BE perpendicular a AC, y el Ángulo EBC será igual al Ángulo ABD, y el Triángulo BCE será semejante al Triángulo BDA; por lo cual será como AB es a AD, así BC o dos veces BD, a BE; esto es, como Radio a Coseno, así dos veces Seno al Seno del Arco doble. Y como AB es a BD, así dos veces BD o BC a EC, esto es, como Radio a Seno, así dos veces ese Seno, al Seno Verso del Arco doble; cuyas dos Analogías resueltas en Ecuaciones, son las Proposiciones contenidas en el Lema que debe demostrarse.
Prop. VI.
Las distancias horizontales de las proyecciones hechas con la misma velocidad, a varias elevaciones de la línea de dirección, son como los senos de los ángulos dobles de elevación.
Sea GB ( Fig. 1) la Distancia Horizontal = z , el Seno del Ángulo de Elevación , FGB, = s , su Co-seno = c , el Radio = r , y el Parámetro = p . Será como c es a s ; así z a sz ⁄ c = FB = GC, y en razón de la Parábola psz ⁄ c = al Cuadrado de CB, o GF; Ahora bien, como c es a r , así es z a zr ⁄ c = GF, y su Cuadrado zzrr ⁄ cc será por lo tanto = a psz ⁄ c : Cuya Ecuación reducida será psc ⁄ rr = z . Pero por el Lema