105.

Resolvamos también para uso futuro el problema más general de calcular la radiación de entropía de un rayo que consta de un número arbitrario de componentes planos polarizados no coherentes ${𝖪}_1$, ${𝖪}_2$, ${𝖪}_3,\dots$, cuyos planos de vibración (planos del vector eléctrico) vienen dados por los acimutes ${\psi }_1$, ${\psi }_2$, ${\psi }_3,\dots$.

Este problema equivale a hallar las intensidades principales ${𝖪}_0$ y ${𝖪}_0^{\prime }$ de todo el rayo; pues el rayo se comporta en todos los aspectos físicos como si consistiera en los componentes no coherentes ${𝖪}_0$ y ${𝖪}_0^{\prime }$.

Para este propósito comenzamos estableciendo el valor ${𝖪}_{\psi }$ de la componente del rayo para un azimut $\psi$ tomado arbitrariamente. Denotando por $f$ el vector eléctrico del rayo en la dirección $\psi$, obtenemos este valor ${𝖪}_{\psi }$ a partir de la ecuación $f=f_1\cos ({\psi }_1-\psi )+f_2\cos ({\psi }_2-\psi )+f_3\cos ({\psi }_3-\psi )+\dots ,$ donde los términos del lado derecho denotan las proyecciones de los vectores de las componentes separadas en la dirección $\psi$, elevando al cuadrado y promediando y tomando en cuenta el hecho de que $f_1$, $f_2$, $f_3,\dots$ no son coherentes $\mathsf{K}{\psi} &= \mathsf{K}} \cos^{2}(\psi_{1} - \psi) + \mathsf{K{2} \cos^{2}(\psi} - \psi) + \dots \ \LeftText[\qquad]{o} \mathsf{K{\psi} &= A\cos^{2}\psi + B\sin^{2}\psi + C\sin\psi \cos\psi \ \LeftText[\qquad]{donde} A &= \mathsf{K}} \cos^{2}\psi_{1} + \mathsf{K{2} \cos^{2}\psi} + \dots \ B &= \mathsf{K{1} \sin^{2}\psi} + \mathsf{K{2} \sin^{2}\psi} + \dots \ C &= 2(\mathsf{K{1} \sin\psi} \cos\psi_{1} + \mathsf{K{2} \sin\psi + \dots).} \cos\psi_{2

\Label[eqn]{(145)}\tag*{\upshape (145)}

Las intensidades principales ${𝖪}_0$ y ${𝖪}_0^{\prime }$ del rayo se deducen de esta expresión como el valor máximo y mínimo de ${𝖪}_{\psi }$ según la ecuación $\frac{d{𝖪}_{\psi }}{d\psi }=0\text{o bien}\tan 2\psi =\frac{C}{A-B}.$ De aquí se sigue que las intensidades principales son $\left.

$$\begin{gathered} \&{𝖪}_0 \\ \&{𝖪}_0^{\prime } \end{gathered}$$

\right} = \tfrac{1}{2}(A + B ± \sqrt{(A - B)^{2} + C^{2}}), \Label[eqn]{(146)}\tag*{\upshape (146)}$ o bien, teniendo en cuenta [eqn:(145)] (145),

$\left.$

$$\begin{gathered} \&{𝖪}_0 \\ \&{𝖪}_0^{\prime } \end{gathered}$$

$\right\} = \frac{1}{2}\Biggl(\mathsf{K}_{1} + \mathsf{K}_{2} + \dots \\ ± \sqrt{$

$$\begin{gathered} ({𝖪}_1\cos 2{\psi }_1\&+{𝖪}_2\cos 2{\psi }_2+\dots {)}^2 \\ \&+({𝖪}_1\sin 2{\psi }_1+{𝖪}_2\sin 2{\psi }_2+\dots {)}^2 \end{gathered}$$

}\,\Biggr). \Label[eqn]{(147)}\tag*{\upshape (147)}

Entonces la radiación de entropía requerida se convierte en: $𝖫({𝖪}_0)+𝖫({𝖪}_0^{\prime }).\mathrm{\backslash Label}[eqn](148)\text{upshape (148)}$