129.

La determinación teórica de $G$ es un problema tan difícil como importante. Por ello, en este punto nos limitaremos desde el mismo comienzo al caso especial en el que la densidad de distribución varía muy levemente de un elemento de región al siguiente, rasgo característico del estado de un gas ideal. Entonces, la sumatoria sobre todos los elementos de región puede reemplazarse por la integral sobre todo el espacio de estados. Así, tenemos a partir de [eqn:(176)] (176) y [eqn:(167)] (167) $\sum w_1=\sum w_1\frac{m^3}{G}\int d\sigma =\frac{m^3}{G}\int wd\sigma =1,\mathrm{\backslash Label}[eqn](178)\text{upshape (178)}$ en donde $w$ ya no se considera una función discontinua del número ordinal, $i$, del elemento de región, donde $i=1$, $2$, $3,\dots n$, sino como una función continua de las variables, $x$, $y$, $z$, $\xi$, $\eta$, $\zeta$, del espacio de estados. Dado que toda la región de estados contiene una gran cantidad de elementos de región, se deduce, de acuerdo con [eqn:(167)] (167) y del hecho de que la densidad de distribución $w$ cambia lentamente, que $w$ tiene en todas partes un valor pequeño.

Del mismo modo encontramos para la entropía del gas a partir de [eqn:(173)] (173): $S=-kN\sum w_1\log w_1=-kN\frac{m^3}{G}\int w\log wd\sigma .\mathrm{\backslash Label}[eqn](179)\text{upshape (179)}$ Por supuesto, la energía total $E$ del gas también está determinada por las densidades de distribución $w$. Si $w$ es suficientemente pequeña en cada elemento de región, las moléculas contenidas en cualquier elemento de región se encuentran, en promedio, tan separadas que su energía depende únicamente de las velocidades. Por tanto:

$$\begin{gathered} E=\&\sum N_1\frac{1}{2}m({\xi }_1^2+{\eta }_1^2+{\zeta }_1^2)+E_0 \\ =N\&\sum w_1\frac{1}{2}m({\xi }_1^2+{\eta }_1^2+{\zeta }_1^2)+E_0,\mathrm{\backslash Label}[eqn](180)\text{upshape (180)} \end{gathered}$$

donde ${\xi }_1{\eta }_1{\zeta }_1$ denota cualquier velocidad situada dentro del elemento de región $1$ y $E_0$ denota la energía interna de las moléculas estacionarias, que se supone constante. En lugar de esta última expresión podemos escribir, de nuevo según [eqn:(176)] (176), $E=\frac{m^{4}N}{2G}\int ({\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2)wd\sigma +E_0.\mathrm{\backslash Label}[eqn](181)\text{upshape (181)}$