149.

Calculemos ahora la energía total que absorbe el oscilador en el intervalo de tiempo desde $t=0$ hasta $t=\tau$, donde ${\omega }_0\tau \text{ es grande}$. \Label[eqn]{(239)}\tag*{\upshape (239)}$ Según la ecuación [eqn:(234)] (234), viene dada por la integral ${\int }_0^{\tau }{⋿}_z\frac{df}{dt}dt,\mathrm{\backslash Label}[eqn](240)\text{upshape (240)}$ cuyo valor puede obtenerse a partir de la expresión conocida para ${⋿}_z$ [eqn:(235)] (235) y de $\frac{df}{dt}={\sum }_1^{\infty }[a_n(-\omega \sin \omega t+{\omega }_0\sin {\omega }_{0}t)+b_n(\omega \cos \omega t-\omega \cos {\omega }_{0}t)].\mathrm{\backslash Label}[eqn](241)\text{upshape (241)}$ Multiplicando, sustituyendo $a_n$ y $b_n$ por sus valores de [eqn:(238)] (238), y omitiendo todos los términos resultantes de la multiplicación de dos constantes $A_n$ y $B_n$, esto da para la energía absorbida el siguiente valor:

$$\begin{gathered} \frac{1}{L}{\int }_0^{\tau }dt{\sum }_1^{\infty }[\frac{A_n^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\cos \omega t(-\omega \sin \omega t+{\omega }_0\sin {\omega }_{0}t) \\ +\frac{B_n^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \omega t(\omega \cos \omega t-\omega \cos {\omega }_{0}t)].\mathrm{\backslash Label}[eqn](241a)\text{upshape (241a)} \end{gathered}$$

En esta expresión, la integración con respecto a $t$ puede realizarse término a término. Sustituyendo los límites $\tau$ y $0$, se obtiene

$\&\frac{1}{L}{\sum }_1^{\infty }\frac{A_n^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}[-\frac{{\sin }^2\omega \tau }{2}+{\omega }_0(\frac{{\sin }^2{\displaystyle \frac{{\omega }_0+\omega }{2}}\tau }{{\omega }_0+\omega }+\frac{{\sin }^2{\displaystyle \frac{{\omega }_0-\omega }{2}}\tau }{{\omega }_0-\omega })]$

$+\&\frac{1}{L}{\sum }_1^{\infty }\frac{B_n^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}[\phantom{-}\frac{{\sin }^2\omega \tau }{2}-\omega (\frac{{\sin }^2{\displaystyle \frac{{\omega }_0+\omega }{2}}\tau }{{\omega }_0+\omega }-\frac{{\sin }^2{\displaystyle \frac{{\omega }_0-\omega }{2}}\tau }{{\omega }_0-\omega })].$

Para separar los términos de diferente orden de magnitud, esta expresión debe transformarse de tal manera que la diferencia ${\omega }_0-\omega$ aparezca en todos los términos de la suma. Esto da

$$\begin{gathered} \frac{1}{L}{\sum }_1^{\infty }\frac{A_n^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}[\frac{{\omega }_0-\omega }{2({\omega }_0+\omega )}{\sin }^2\omega \tau +\frac{{\omega }_0}{{\omega }_0+\omega }\sin \frac{{\omega }_0-\omega }{2}\tau ·\sin \frac{{\omega }_0+3\omega }{2}\tau \\ +\frac{{\omega }_0}{{\omega }_0-\omega }{\sin }^2\frac{{\omega }_0-\omega }{2}\tau ]\phantom{.} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} +\frac{1}{L}{\sum }_1^{\infty }\frac{B_n^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}[\frac{{\omega }_0-\omega }{2({\omega }_0+\omega )}{\sin }^2\omega \tau -\frac{\omega }{{\omega }_0+\omega }\sin \frac{{\omega }_0-\omega }{2}\tau ·\sin \frac{{\omega }_0+3\omega }{2}\tau \\ +\frac{\omega }{{\omega }_0-\omega }{\sin }^2\frac{{\omega }_0-\omega }{2}\tau ]. \end{gathered}$$

La suma con respecto a los números ordinales $n$ de la serie de Fourier puede ahora efectuarse. Puesto que el período fundamental $𝖳$ de la serie es extremadamente grande, a la diferencia de dos números ordinales consecutivos, $\Delta n=1$, le corresponde solo una diferencia muy pequeña de los valores correspondientes de $\omega$, $d\omega$, a saber, según [eqn:(236)] (236), $\Delta n=1=𝖳d\nu =\frac{𝖳d\omega }{2\pi },\mathrm{\backslash Label}[eqn](242)\text{upshape (242)}$ y la suma con respecto a $n$ se convierte en una integración con respecto a $\omega$.

La última suma con respecto a $A_n$ puede reorganizarse como la suma de tres series, cuyos órdenes de magnitud compararemos primero. Mientras solo se esté discutiendo el orden, podemos prescindir de la variabilidad de los $A_n^2$ y solo necesitamos comparar las tres integrales

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\infty }d\omega \frac{{\sin }^2\omega \tau }{2({\omega }_0+\omega {)}^2}=J_1, \\ {\int }_0^{\infty }d\omega \frac{{\omega }_0}{({\omega }_0+\omega {)}^2({\omega }_0-\omega )}\sin \frac{{\omega }_0-\omega }{2}\tau ·\sin \frac{{\omega }_0+3\omega }{2}\tau =J_2, \\ \mathrm{\backslash intertext}y{\int }_0^{\infty }d\omega \frac{{\omega }_0}{({\omega }_0+\omega )({\omega }_0-\omega {)}^2}{\sin }^2\frac{{\omega }_0-\omega }{2}\tau =J_3. \end{gathered}$$

La evaluación de estas integrales se simplifica enormemente por el hecho de que, según la [eqn:(239)] (239), ${\omega }_0\tau$ y, por tanto, también $\omega \tau$, son números grandes, al menos para todos los valores de $\omega$ que deben considerarse.

De ahí que sea posible sustituir la expresión ${\sin }^2\omega \tau$ en la integral $J_1$ por su valor medio $\frac{1}{2}$ y obtenemos así:

$J_1=\frac{1}{4{\omega }_0}.$

Se ve fácilmente que, debido al último factor, obtenemos $J_2=0$ para la segunda integral.

Para calcular finalmente la tercera integral $J_3$, marcaremos en la serie de valores de $\omega$ a ambos lados de ${\omega }_0$ un intervalo que se extiende desde ${\omega }_1$ ($<{\omega }_0$) hasta ${\omega }_2$ ($>{\omega }_0$) tal que $\frac{{\omega }_0-{\omega }_1}{{\omega }_0}\text{y}\frac{{\omega }_2-{\omega }_0}{{\omega }_0}\text{sean pequeños,}$ \Label[eqn]{(243)}\tag*{\upshape (243)}$ y simultáneamente $({\omega }_0-{\omega }_1)\tau \text{y}({\omega }_2-{\omega }_0)\tau \text{sean grandes.}\mathrm{\backslash Label}[eqn](244)\text{upshape (244)}$ Esto siempre puede hacerse, ya que ${\omega }_0\tau$ es grande.

Si ahora descomponemos la integral $J_3$ en tres partes, de la siguiente manera:

$J_3={\int }_0^{\infty }={\int }_0^{{\omega }_1}+{\int }_{{\omega }_1}^{{\omega }_2}+{\int }_{{\omega }_2}^{\infty },$

se ve que en la primera y en la tercera integral parcial la expresión ${\sin }^2{\displaystyle \frac{{\omega }_0-\omega }{2}}\tau$ puede, debido a la condición [eqn:(244)] (244), ser reemplazada por su valor medio $\frac{1}{2}$.

Luego, las dos integrales parciales se convierten en: ${\int }_0^{{\omega }_1}\frac{{\omega }_{0}d\omega }{2({\omega }_0+\omega )({\omega }_0-\omega {)}^2}\text{y}{\int }_{{\omega }_2}^{\infty }\frac{{\omega }_{0}d\omega }{2({\omega }_0+\omega )({\omega }_0-\omega {)}^2}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](245)\text{upshape (245)}$ Estas son ciertamente menores que las integrales: ${\int }_0^{{\omega }_1}\frac{d\omega }{2({\omega }_0-\omega {)}^2}\text{y}{\int }_{{\omega }_2}^{\infty }\frac{d\omega }{2({\omega }_0-\omega {)}^2}$

que tienen los valores $\frac{1}{2}\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0({\omega }_0-{\omega }_1)}\text{y}\frac{1}{2({\omega }_2-{\omega }_0)}\mathrm{\backslash Label}[eqn](246)\text{upshape (246)}$ respectivamente.

Debemos ahora considerar la integral parcial del medio de las tres: ${\int }_{{\omega }_1}^{{\omega }_2}d\omega \frac{{\omega }_0}{({\omega }_0+\omega )({\omega }_0-\omega {)}^2}·{\sin }^2\frac{{\omega }_0-\omega }{2}\tau .$ Debido a la condición [eqn:(243)] (243), podemos escribir en su lugar: ${\int }_{{\omega }_1}^{{\omega }_2}d\omega ·\frac{{\sin }^2{\displaystyle \frac{{\omega }_0-\omega }{2}}\tau }{2({\omega }_0-\omega {)}^2}$ y, al introducir la variable de integración $x$, donde $x=\frac{\omega -{\omega }_0}{2}\tau$ y teniendo en cuenta la condición [eqn:(244)] (244) para los límites de la integral, obtenemos: $\frac{\tau }{4}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\sin }^{2}xdx}{x^2}=\frac{\tau }{4}\pi .$ Esta expresión es de un orden de magnitud superior al de las expresiones [eqn:(246)] (246) y, por lo tanto, de un orden aún mayor que el de las integrales parciales [eqn:(245)] (245) y las integrales $J_1$ y $J_2$ dadas anteriormente.

Por consiguiente, para nuestro cálculo, solo aquellos valores de $\omega$ que se encuentran en el intervalo entre ${\omega }_1$ y ${\omega }_2$ aportarán una parte apreciable y, por lo tanto, debido a [eqn:(243)] (243), podemos reemplazar los coeficientes separados $A_n^2$ y $B_n^2$ en la expresión para la energía total absorbida por sus valores medios $A_0^2$ y $B_0^2$ en la vecindad de ${\omega }_0$ y así, teniendo en cuenta [eqn:(242)] (242), obtendremos finalmente para el valor total de la energía absorbida por el oscilador en el tiempo $\tau$: $\frac{1}{L}\frac{\tau }{8}(A_0^2+B_0^2)𝖳.\mathrm{\backslash Label}[eqn](247)\text{upshape (247)}$

Si ahora, como en [eqn:(158)] (158), definimos $𝖨$, la «intensidad de la vibración que excita el oscilador», mediante la resolución espectral del valor medio del cuadrado de la intensidad de campo excitadora ${⋿}_z$: $\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}={\int }_0^{\infty }{𝖨}_{\nu }d\nu \mathrm{\backslash Label}[eqn](248)\text{upshape (248)}$ obtenemos de [eqn:(235)] (235) y [eqn:(242)] (242): $\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}=\frac{1}{2}{\sum }_1^{\infty }(A_n^2+B_n^2)=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }(A_n^2+B_n^2)𝖳d\nu ,$ y por comparación con [eqn:(248)] (248): $𝖨=\frac{1}{2}(A_0^2+B_0^2)𝖳.$ En consecuencia, a partir de [eqn:(247)] (247), la energía absorbida en el tiempo $\tau$ resulta ser: $\frac{𝖨}{4L}\tau ,$

es decir, en el intervalo de tiempo entre dos emisiones sucesivas, la energía $U$ del oscilador aumenta uniformemente con el tiempo, según la ley $\frac{dU}{dt}=\frac{𝖨}{4L}=a.\mathrm{\backslash Label}[eqn](249)\text{upshape (249)}$ De aquí que la energía absorbida por los $N$ osciladores en el tiempo $dt$ sea: $\frac{N𝖨}{4L}dt=Nadt.\mathrm{\backslash Label}[eqn](250)\text{upshape (250)}$