119.

For let $S$ be the entropy, $W$ the probability of a physical system in a definite state; then the proposition states that $S = f (W) \Label [e q n] (162) \upshape (162)$ where $f (W)$ represents a universal function of the argument $W$ . In whatever way $W$ may be defined, it can be safely inferred from the mathematical concept of probability that the probability of a system which consists of two entirely independent It is well known that the condition that the two systems be independent of each other is essential for the validity of the expression [eqn:(163)] (163). That it is also a necessary condition for the additive combination of the entropy was proven first by M. Laue in the case of optically coherent rays. Annalen d. Physik 20, p. 365, 1906. systems is equal to the product of the probabilities of these two systems separately. If we think, e.g., of the first system as any body whatever on the earth and of the second system as a cavity containing radiation on Sirius, then the probability that the terrestrial body be in a certain state $1$ and that simultaneously the radiation in the cavity in a definite state $2$ is $W = W_{1} W_{2}, \Label [e q n] (163) \upshape (163)$

donde $W_{1}$ y $W_{2}$ son las probabilidades de que los sistemas involucrados se encuentren en los estados en cuestión.

Si ahora $S_{1}$ y $S_{2}$ son las entropías de los sistemas separados en los dos estados, entonces, según [eqn:(162)] (162), tenemos

$S_{1} = f (W_{1}) S_{2} = f (W_{2}) .$

Pero, según el segundo principio de la termodinámica, la entropía total de los dos sistemas, que son independientes (véase la nota a pie de página anterior) el uno del otro, es

$S = S_{1} + S_{2}$

y, por tanto, a partir de [eqn:(162)] (162) y [eqn:(163)] (163)

$f (W_{1} W_{2}) = f (W_{1}) + f (W_{2}) .$

A partir de esta ecuación funcional se puede determinar $f$ . En efecto, diferenciando ambos miembros con respecto a $W_{1}$ , permaneciendo $W_{2}$ constante, obtenemos $W_{2} \dot{f} (W_{1} W_{2}) = \dot{f} (W_{1}) .$ Diferenciando ulteriormente con respecto a $W_{2}$ , permaneciendo ahora $W_{1}$ constante, obtenemos $\dot{f} (W_{1} W_{2}) + W_{1} W_{2} \ddot{f} (W_{1} W_{2}) = 0$ o $\dot{f} (W) + W \ddot{f} (W) = 0 .$ La integral general de esta ecuación diferencial de segundo orden es $f (W) = k \log W + const .$ Por lo tanto, a partir de [eqn:(162)] (162) obtenemos $S = k \log W + \text{const}.,

\Label[eqn]{(164)}\tag*{\upshape (164)}$ una ecuación que determina la forma general en que la entropía depende de la probabilidad. La constante universal de integración $k$ es la misma para un sistema terrestre que para uno cósmico, y su valor, habiendo sido determinado para el primero, seguirá siendo válido para el segundo. La segunda constante aditiva de integración puede, sin restricción alguna en cuanto a la generalidad, incluirse como un multiplicador constante en la cantidad $W$ , que aquí aún no ha sido completamente definida, de modo que la ecuación se reduce a $S = k \log W .$

124