26.

Para el cálculo de la energía absorbida emplearemos el mismo razonamiento que se ilustró en la [fig:1]Fig. 1 ([sect:22.] Sec. 22) y conservaremos la notación utilizada allí. La energía radiante absorbida por el elemento de volumen $v$ en el tiempo $dt$ se halla considerando las intensidades de todos los rayos que pasan a través del elemento $v$ y tomando aquella fracción de cada uno de estos rayos que es absorbida en $v$. Ahora bien, según la [eqn:(19)] (19), el elemento cónico que parte de $d\sigma$ y recorta del volumen $v$ una parte igual a $fs$ tiene la intensidad (energía irradiada por unidad de tiempo) $d\sigma ·\frac{f}{r^2}·K$ o, según la [eqn:(12)] (12), considerando por separado las distintas partes del espectro: $2d\sigma \frac{f}{r^2}{\int }_0^{\infty }{𝖪}_{\nu }d\nu .$ Por lo tanto, la intensidad de un rayo monocromático es: $2d\sigma \frac{f}{r^2}{𝖪}_{\nu }d\nu .$ La cantidad de energía de este rayo absorbida en la distancia $s$ en el tiempo $dt$ es, según la [eqn:(4)] (4), $dt{\alpha }_{\nu }s2d\sigma \frac{f}{r^2}{𝖪}_{\nu }d\nu .$ Por consiguiente, la parte absorbida de la energía de este pequeño cono de rayos, hallada integrando sobre todas las frecuencias, es: $dt2d\sigma \frac{fs}{r^2}{\int }_0^{\infty }{\alpha }_{\nu }{𝖪}_{\nu }d\nu .$

Cuando esta expresión se suma sobre todas las diferentes secciones transversales $f$ de los elementos cónicos que parten de $d\sigma$ y pasan a través de $v$, es evidente que $\sum fs=v$, y cuando sumamos sobre todos los elementos $d\sigma$ de la superficie esférica de radio $r$ tenemos $\int \frac{d\sigma }{r^2}=4\pi .$ Por lo tanto, para la energía radiante total absorbida en el tiempo $dt$ por el elemento de volumen $v$ se encuentra la siguiente expresión: $dtv8\pi {\int }_0^{\infty }{\alpha }_{\nu }{𝖪}_{\nu }d\nu .\mathrm{\backslash Label}[eqn](25)\text{upshape (25)}$ Igualando la energía emitida y la absorbida obtenemos: ${\int }_0^{\infty }{ϵ}_{\nu }d\nu ={\int }_0^{\infty }{\alpha }_{\nu }{𝖪}_{\nu }d\nu .$

Una relación similar puede obtenerse para las distintas partes del espectro. Pues la energía emitida y la energía absorbida en el estado de equilibrio termodinámico son iguales, no solo para la radiación total de todo el espectro, sino también para cada radiación monocromática.

Esto se comprende fácilmente de la siguiente manera. Las magnitudes de ${ϵ}_{\nu }$, ${\alpha }_{\nu }$ y ${𝖪}_{\nu }$ son independientes de la posición. Por lo tanto, si para un solo color la energía absorbida no fuera igual a la emitida, se produciría en todas partes del medio un aumento o disminución continua de la radiación energética de ese color particular a expensas de los demás colores.

Esto sería contradictorio con la condición de que ${𝖪}_{\nu }$ para cada frecuencia independiente no cambie con el tiempo. Por consiguiente, tenemos para cada frecuencia la relación:

$\epsilon_{\nu} &= \alpha_{\nu} \mathsf{K}_{\nu}, \textrm{ o} \Label[eqn]{(26)}\tag{\upshape (26)}\ \mathsf{K}{\nu} &= \frac{\epsilon\tag}}{\alpha_{\nu}}, \Label[eqn]{(27)$

es decir: en el interior de un medio en estado de equilibrio termodinámico, la intensidad específica de radiación de una cierta frecuencia es igual al coeficiente de emisión dividido por el coeficiente de absorción del medio para dicha frecuencia.