36. La superficie limitrofa de los medios

Supondremos ahora, para empezar, que la superficie límite de los medios es lisa ([sect:9.] Sec. 9).

Entonces, todo rayo procedente del primer medio y que incide sobre la superficie límite se divide en dos rayos: el rayo reflejado y el transmitido.

Las direcciones de estos dos rayos varían con el ángulo de incidencia y el color del rayo incidente; la intensidad también varía con su polarización.

Denotemos por $\rho$ (coeficiente de reflexión) la fracción de energía reflejada; entonces la fracción transmitida es $(1-\rho )$, donde $\rho$ depende del ángulo de incidencia, de la frecuencia y de la polarización del rayo incidente.

Observaciones similares se aplican a

${\rho }^{\prime }$ el coeficiente de reflexión de un rayo que proviene del segundo medio e incide sobre la superficie límite.

Ahora, según la [eqn:(11)] (11), tenemos para la radiación monocromática polarizada plana de frecuencia $\nu$, emitida en el tiempo $dt$ hacia el primer medio (en la dirección de la flecha emplumada superior izquierda en la [fig:3]Fig. 3), a partir de un elemento $d\sigma$ de la superficie límite y contenida en el elemento cónico $d\Omega$, $dtd\sigma \cos \theta d\Omega {𝖪}_{\nu }d\nu ,\mathrm{\backslash Label}[eqn](34)\text{upshape (34)}$ donde $d\Omega =\sin \theta d\theta d\varphi .\mathrm{\backslash Label}[eqn](35)\text{upshape (35)}$ Esta energía es aportada por los dos rayos que provienen del primer y del segundo medio y que son, respectivamente, reflejados o transmitidos por el elemento $d\sigma$ en la dirección correspondiente (las flechas sin plumas). (Del elemento $d\sigma$ solo se indica el punto $O$). El primer rayo, según la ley de reflexión, continúa en el elemento cónico simétricamente situado $d\Omega$, el segundo en el elemento cónico $d{\Omega }^{\prime }=\sin {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }d{\varphi }^{\prime }\mathrm{\backslash Label}[eqn](36)\text{upshape (36)}$ donde, según la ley de refracción, ${\varphi }^{\prime }=\varphi \text{y}\frac{\sin \theta }{\sin {\theta }^{\prime }}=\frac{q}{q^{\prime }}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](37)\text{upshape (37)}$

Si suponemos ahora que la radiación [eqn:(34)] (34) está polarizada ya sea en el plano de incidencia o en ángulo recto con respecto a este, lo mismo ocurrirá con las dos radiaciones de las que consta, y la radiación procedente del primer medio y reflejada en $d\sigma$ contribuye con la parte $\rho dtd\sigma \cos \theta d\Omega {𝖪}_{\nu }d\nu \mathrm{\backslash Label}[eqn](38)\text{upshape (38)}$ mientras que la radiación procedente del segundo medio y transmitida a través de $d\sigma$ contribuye con la parte $(1-{\rho }^{\prime })dtd\sigma \cos {\theta }^{\prime }d{\Omega }^{\prime }{𝖪}_{\nu }^{\prime }d\nu .\mathrm{\backslash Label}[eqn](39)\text{upshape (39)}$ Las cantidades $dt$, $d\sigma$, $\nu$ y $d\nu$ se escriben sin el acento, porque tienen los mismos valores en ambos medios.

Sumando [eqn:(38)] (38) y [eqn:(39)] (39) e igualando su suma a la expresión [eqn:(34)] (34) encontramos $\rho \cos \theta d\Omega {𝖪}_{\nu }+(1-{\rho }^{\prime })\cos {\theta }^{\prime }d{\Omega }^{\prime }{𝖪}_{\nu }^{\prime }=\cos \theta d\Omega {𝖪}_{\nu }.$

Ahora a partir de [eqn:(37)] (37) tenemos $\frac{\cos \theta d\theta }{q}=\frac{\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }}{q^{\prime }}$ y además, por [eqn:(35)] (35) y [eqn:(36)] (36), $d{\Omega }^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }=\frac{d\Omega \cos \theta q^{\prime 2}}{q^2}.$

Por lo tanto, encontramos $\rho {𝖪}_{\nu }+(1-{\rho }^{\prime })\frac{q^{\prime 2}}{q^2}{𝖪}_{\nu }^{\prime }=𝖪$ o $\frac{{𝖪}_{\nu }}{{𝖪}_{\nu }^{\prime }}·\frac{q^2}{q^{\prime 2}}=\frac{1-{\rho }^{\prime }}{1-\rho }.$