31.

Si la dispersión no afectara a la radiación, la energía total que llega a $d\sigma$ constaría necesariamente de las cantidades de energía emitidas por los diferentes elementos de volumen del haz, teniendo en cuenta, no obstante, las pérdidas debidas a la absorción en el trayecto.

Para ${\beta }_{\nu }=0$, las expresiones [eqn:(33)] (33) y [eqn:(30)] (30) son idénticas, como puede verse por comparación con [eqn:(27)] (27).

Por lo general, sin embargo, [eqn:(30)] (30) es mayor que [eqn:(33)] (33) porque la energía que llega a $d\sigma$ contiene también algunos rayos que no fueron emitidos en absoluto por elementos del interior del haz, sino de algún otro lugar, y han penetrado más tarde por dispersión. De hecho, los elementos de volumen del haz no solo dispersan hacia el exterior la radiación que se transmite en el interior del haz, sino que también recogen en el haz rayos procedentes del exterior.

La radiación $E^{\prime }$ recogida de este modo por el elemento de volumen en $r_0$ se encuentra, poniendo en [eqn:(29)] (29), $dt=1,\nu =d{r}_{0}d\Omega r_0^2,d\Omega =\frac{d\sigma }{r_0^2},$ que es

$E^{\prime }=d{r}_{0}d\Omega d\sigma {\beta }_{\nu }{𝖪}_{\nu }d\nu .$

Esta energía debe sumarse a la energía $E$ emitida por el elemento de volumen, que hemos calculado en [eqn:(31)] (31).

Por lo tanto, para la energía total aportada al cono de rayos en el elemento de volumen en $r_0$ encontramos:

$E+E^{\prime }=d{r}_{0}d\Omega d\sigma ({ϵ}_{\nu }+{\beta }_{\nu }{𝖪}_{\nu })d\nu .$

La parte de esta que llega a $O$ es, de manera similar a [eqn:(32)] (32):

$d{r}_{0}d\Omega d\sigma ({ϵ}_{\nu }+{\beta }_{\nu }{𝖪}_{\nu })d\nu e^{-r_0({\alpha }_{\nu }+{\beta }_{\nu })}.$

Teniendo debidamente en cuenta la emisión y recolección de los rayos dispersados que ingresan en el trayecto, así como las pérdidas por absorción y dispersión, todos los elementos de volumen del cono de rayos combinados dan, para la energía que en última instancia llega a $d\sigma$,

$d\Omega d\sigma ({ϵ}_{\nu }+{\beta }_{\nu }{𝖪}_{\nu })d\nu {\int }_0^{\infty }d{r}_0{e}^{-r_0({\alpha }_{\nu }+{\beta }_{\nu })}=d\Omega d\sigma \frac{{ϵ}_{\nu }+{\beta }_{\nu }{𝖪}_{\nu }}{{\alpha }_{\nu }+{\beta }_{\nu }}d\nu ,$

y esta expresión es en realidad exactamente igual a la dada por [eqn:(30)] (30), como puede verse por comparación con [eqn:(26)] (26).