188.

Ahora falta demostrar que la suma $Φ = \sum_{1}^{\infty} (w_{n} - ζ w_{n - 1}) \log w_{n} - [(1 - ζ) n - 1] w_{n} \log ζ, \Label [e q n] (356) \upshape (356)$ donde las cantidades $w_{n}$ están sujetas únicamente a las restricciones de que [eqn:(353)] (353) y [eqn:(354)] (354) no puedan volverse nunca negativas. Para este propósito determinamos aquel sistema de valores de las $w$ que, con un valor fijo de $ζ$ , hace que la suma $Φ$ sea un mínimo. En este caso $δ Φ = 0$ , o

$\sum_{1}^{\infty} (δ w_{n} - ζ δ w_{n - 1}) \log w_{n} + (w_{n} - ζ w_{n - 1}) \frac{δ w_{n}}{w_{n}} \Label [e q n] (357) \upshape (357) - [(1 - ζ) n - 1] δ w_{n} \log ζ = 0,$

donde, según [eqn:(353)] (353) y [eqn:(354)] (354), $\sum_{1}^{\infty} δ w_{n} = 0 y δ w_{0} = 0 . \Label [e q n] (358) \upshape (358)$ Si suponemos que todos los términos separados de la suma están escritos, la ecuación puede ponerse en la siguiente forma: $\sum_{1}^{\infty} δ w_{n} {\log w_{n} - ζ \log w_{n + 1} + \frac{w_{n} - ζ w_{n - 1}}{w_{n}} - [(1 - ζ) n - 1] \log ζ} = 0 . \Label [e q n] (359) \upshape (359)$ A partir de esto, teniendo en cuenta [eqn:(358)] (358), obtenemos como condición para un mínimo que $\log w_{n} - ζ \log w_{n + 1} + \frac{w_{n} - ζ w_{n - 1}}{w_{n}} - [(1 - ζ) n - 1] \log ζ \Label [e q n] (360) \upshape (360)$ debe ser independiente de $n$ .

La solución de esta ecuación funcional es

$w_{n} = (1 - ζ) ζ^{n - 1} \Label [e q n] (361) \upshape (361)$

ya que satisface [eqn:(360)] (360) así como [eqn:(353)] (353) y [eqn:(354)] (354). Con este valor [eqn:(356)] (356) se convierte en

$Φ = 0 . \Label [e q n] (362) \upshape (362)$

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