172.

Definiremos, como antes [eqn:(158)] (158), a $J$, la «intensidad de la vibración excitadora»,No debe confundirse con la «intensidad de campo» (fuerza de campo) ${⋿}_z$ de la vibración excitadora. como una función del tiempo, como el valor medio de ${⋿}_z^2$ en el intervalo de tiempo desde $t$ hasta $t+\tau$, donde $\tau$ se toma como grande en comparación con el tiempo ${\displaystyle \frac{1}{\nu }}$, que es la duración de una de las vibraciones parciales periódicas contenidas en la radiación, pero tan pequeño como sea posible en comparación con el tiempo $𝖳$. En esta afirmación hay una cierta indefinición, de la cual resulta el hecho de que $J$ dependerá, en general, no solo de $t$, sino también de $\tau$. Si este es el caso, no se puede hablar en absoluto de la intensidad de la vibración excitadora. Pues es un rasgo esencial de la concepción de la intensidad de una vibración que su valor apenas cambie de manera apreciable dentro del tiempo requerido para una sola vibración. (Compárese arriba, [sect:3.] Sec. 3.) Por lo tanto, en el futuro consideraremos solo aquellos procesos para los cuales, bajo las condiciones mencionadas, existe un valor medio de ${⋿}_z^2$ que depende únicamente de $t$. Nos vemos entonces obligados a suponer que las cantidades $C_{\nu }$ en [eqn:(311)] (311) son despreciables para todos los valores de $\nu$ que son del mismo orden de magnitud que ${\displaystyle \frac{1}{\tau }}$ o menores, es decir, $\nu \tau \text{ es grande.}$ \Label[eqn]{(312)}\tag*{\upshape (312)}$

Para calcular $J$ formamos ahora a partir de [eqn:(311)] (311) el valor de ${⋿}_z^2$ y determinamos el valor medio $\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}$ de esta cantidad integrando con respecto a $t$ desde $t$ hasta $t+\tau$, dividiendo luego por $\tau$ y pasando al límite haciendo decrecer $\tau$ lo suficiente. Así obtenemos ${⋿}_z^2={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\infty }d{\nu }^{\prime }d\nu C_{{\nu }^{\prime }}{C}_{\nu }\cos (2\pi {\nu }^{\prime }t-{\theta }_{{\nu }^{\prime }})\cos (2\pi \nu t-{\theta }_{\nu }).$ Si ahora intercambiamos los valores de $\nu$ y ${\nu }^{\prime }$, la función bajo el signo de integración no cambia; por tanto, suponemos ${\nu }^{\prime }>\nu$ y escribimos: ${⋿}_z^2=2\iint d{\nu }^{\prime }d\nu C_{{\nu }^{\prime }}{C}_{\nu }\cos (2\pi {\nu }^{\prime }t-{\theta }_{{\nu }^{\prime }})\cos (2\pi \nu t-{\theta }_{\nu }),$ o

$$\begin{gathered} {⋿}_z^2=\iint d{\nu }^{\prime }d\nu C_{{\nu }^{\prime }}{C}_{\nu }\{\cos [2\pi ({\nu }^{\prime }-\nu )t-{\theta }_{{\nu }^{\prime }}+{\theta }_{\nu }] \\ +\cos [2\pi ({\nu }^{\prime }+\nu )t-{\theta }_{{\nu }^{\prime }}-{\theta }_{\nu }]\}. \end{gathered}$$

Y por consiguiente

$$\begin{gathered} J=\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}=\frac{1}{\tau }{\int }_t^{t+\tau }{⋿}_z^{2}dt \\ =\iint d{\nu }^{\prime }d\nu C_{{\nu }^{\prime }}{C}_{\nu }\backslash \{\frac{\sin \pi ({\nu }^{\prime }-\nu )\tau ·\cos [\pi ({\nu }^{\prime }-\nu )(2t+\tau )-{\theta }_{{\nu }^{\prime }}+{\theta }_{\nu }]}{\pi ({\nu }^{\prime }-\nu )\tau } \\ +\frac{\sin \pi ({\nu }^{\prime }+\nu )\tau ·\cos [\pi ({\nu }^{\prime }+\nu )(2t+\tau )-{\theta }_{{\nu }^{\prime }}-{\theta }_{\nu }]}{\pi ({\nu }^{\prime }+\nu )\tau }\backslash \}. \end{gathered}$$

Si ahora hacemos que $\tau$ sea cada vez más pequeño, dado que $\nu \tau$ sigue siendo grande, el denominador $({\nu }^{\prime }+\nu )\tau$ de la segunda fracción permanece grande bajo cualquier circunstancia, mientras que el de la primera fracción $({\nu }^{\prime }-\nu )\tau$ puede disminuir con un valor decreciente de $\tau$ por debajo de cualquier valor finito. Por lo tanto, para valores suficientemente pequeños de $({\nu }^{\prime }-\nu )$, la integral se reduce a $\iint d{\nu }^{\prime }d\nu C_{{\nu }^{\prime }}{C}_{\nu }\cos [2\pi ({\nu }^{\prime }-\nu )t-{\theta }_{{\nu }^{\prime }}+{\theta }_{\nu }]$, la cual es de hecho independiente de $\tau$. Los términos restantes de la integral doble, que corresponden a valores mayores de ${\nu }^{\prime }-\nu$, es decir, a cambios más rápidos con el tiempo, dependen en general de $\tau$ y, por consiguiente, deben anularse si la intensidad $J$ no ha de depender de $\tau$. De ahí que en nuestro caso, al introducir como segunda variable de integración en lugar de $\nu$ a $\mu ={\nu }^{\prime }-\nu (>0)$, tengamos $J=\iint d\mu d\nu C_{\nu +\mu }{C}_{\nu }\cos (2\pi \mu t-{\theta }_{\nu +\mu }+{\theta }_{\nu })\mathrm{\backslash Label}[eqn](313)\text{upshape (313)}$ o

$$\begin{gathered} J\&=\int d\mu (A_{\mu }\cos 2\pi \mu t+B_{\mu }\sin 2\pi \mu t) \\ \mathrm{\backslash LeftText}donde{A}_{\mu }\&=\int d\nu C_{\nu +\mu }{C}_{\nu }\cos ({\theta }_{\nu +\mu }-{\theta }_{\nu })\mathrm{\backslash Label}[eqn](314)\text{upshape (314)} \\ {B}_{\mu }\&=\int d\nu C_{\nu +\mu }{C}_{\nu }\sin ({\theta }_{\nu +\mu }-{\theta }_{\nu }). \end{gathered}$$

Por esta expresión, la intensidad $J$ de la vibración excitadora, si es que existe, se expresa mediante una función del tiempo en forma de integral de Fourier.