139.

Consideremos ahora el estado de equilibrio termodinámico de los osciladores. De acuerdo con el segundo principio de la termodinámica, la entropía $S$ es en ese caso un máximo para una energía $E$ dada. Por lo tanto, suponemos que $E$ en [eqn:(219)] (219) está dada. Entonces, a partir de [eqn:(179)] (179) tenemos para el estado de equilibrio: $\delta S=0={\sum }_1^{\infty }(\log w_n+1)\delta w_n,$ donde, según [eqn:(167)] (167) y [eqn:(219)] (219), ${\sum }_1^{\infty }\delta w_n=0\text{y}{\sum }_1^{\infty }(n-\frac{1}{2})\delta w_n=0.$ De estas relaciones encontramos: $\log w_n+\beta n+\text{const}.=0$ o $w_n=\alpha {\gamma }^n.\mathrm{\backslash Label}[eqn](220)\text{upshape (220)}$ Los valores de las constantes $\alpha$ y $\gamma$ se siguen de las ecuaciones [eqn:(167)] (167) y [eqn:(219)] (219): $\alpha =\frac{2Nh\nu }{2E-Nh\nu }\gamma =\frac{2E-Nh\nu }{2E+Nh\nu }.\mathrm{\backslash Label}[eqn](221)\text{upshape (221)}$ Dado que $w_n$ es esencialmente positivo, se deduce que el equilibrio no es posible en el sistema de osciladores considerado a menos que la energía total $E$ tenga un valor mayor que ${\displaystyle \frac{Nh\nu }{2}}$, es decir, a menos que la energía media de los osciladores sea al menos ${\displaystyle \frac{h\nu }{2}}$. Esta, de acuerdo con [eqn:(218)] (218), es la energía media de los osciladores situados en el primer elemento de región. De hecho, en este caso extremo, todos los $N$ osciladores se encuentran en el primer elemento de región, la región de menor energía; dentro de este elemento están distribuidos uniformemente.

La entropía $S$ del sistema, que se encuentra en equilibrio termodinámico, se encuentra combinando [eqn:(173)] (173) con [eqn:(220)] (220) y [eqn:(221)] (221)

$$\begin{gathered} S=kN\backslash \{(\frac{E}{Nh\nu }+\frac{1}{2})\log (\frac{E}{Nh\nu }+\frac{1}{2}) \\ -(\frac{E}{Nh\nu }-\frac{1}{2})\log (\frac{E}{Nh\nu }-\frac{1}{2})\backslash \}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](222)\text{upshape (222)} \end{gathered}$$