140.

La relación entre la energía y la entropía recién obtenida permite además una cierta conclusión en lo que respecta a la temperatura. Pues a partir de la ecuación del segundo principio de la termodinámica, $dS={\displaystyle \frac{dE}{T}}$ y de la diferenciación de [eqn:(222)] (222) con respecto a $E$ se sigue que $E=N\frac{h\nu }{2}\frac{1+e^{-\frac{h\nu }{kT}}}{1-e^{-\frac{h\nu }{kT}}}=Nh\nu (\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1})$.

\Label[eqn]{(223)}\tag*{\upshape (223)}$ Por consiguiente, para el cero de la temperatura absoluta, $E$ no se vuelve $0$, sino $N{\displaystyle \frac{h\nu }{2}}$. Este es el caso extremo discutido en el párrafo anterior, que precisamente permite que exista el equilibrio termodinámico. Que se diga que los osciladores realizan vibraciones incluso a la temperatura cero, cuya energía media es tan grande como ${\displaystyle \frac{h\nu }{2}}$ y por lo tanto puede llegar a ser bastante grande para vibraciones rápidas, puede parecer extraño a primera vista. Sin embargo, me parece que ciertos hechos apuntan a la existencia, en el interior de los átomos, de vibraciones independientes de la temperatura y provistas de una energía considerable, que solo necesitan una pequeña excitación adecuada para hacerse evidentes externamente. Por ejemplo, la velocidad, a veces muy grande, de los rayos catódicos secundarios producidos por los rayos Roentgen, y la de los electrones liberados por el efecto fotoeléctrico son independientes de la temperatura del metal y de la intensidad de la radiación excitadora. Además, las energías radiactivas también son independientes de la temperatura. También es bien sabido que la estrecha conexión entre la inercia de la materia y su energía, postulada por el principio de relatividad, conduce a la suposición de cantidades muy considerables de energía intraatómica incluso en el cero de la temperatura absoluta.

Para el caso extremo, $T=\infty$, encontramos a partir de [eqn:(223)] (223) que $E=NkT,\mathrm{\backslash Label}[eqn](224)\text{upshape (224)}$ es decir, que la energía es proporcional a la temperatura e independiente del tamaño del cuanto de acción, $h$, y de la naturaleza de los osciladores. Resulta de interés comparar este valor de la energía de vibración $E$ del sistema de osciladores, válido a altas temperaturas, con la energía cinética $L$ del movimiento molecular de un gas monoatómico ideal a la misma temperatura, tal como se calculó en [eqn:(200)] (200). De la comparación se deduce que $E=\frac{2}{3}L.\mathrm{\backslash Label}[eqn](225)\text{upshape (225)}$ Esta sencilla relación se debe al hecho de que, para altas temperaturas, el contenido de la hipótesis de los cuantos coincide con el de la mecánica estadística clásica. Entonces, la magnitud absoluta del elemento de región, $G$ o $h$ respectivamente, deja de ser físicamente importante (compárese con [sect:125.] la Sec. 125) y se obtiene la sencilla ley de equipartición de la energía entre todas las variables en cuestión (véase más abajo [sect:169.] la Sec. 169). El factor $\frac{2}{3}$ en la ecuación [eqn:(225)] (225) se debe a que la energía cinética de una molécula en movimiento depende de tres variables ($\xi$, $\eta$, $\zeta$,) y la energía de un oscilador en vibración depende de tan solo dos ($f$, $\psi$).

La capacidad calorífica del sistema de osciladores en cuestión es, según [eqn:(223)] (223), $\frac{dE}{dT}=Nk{\left(\frac{h\nu }{kT}\right)}^2\frac{e^{\frac{h\nu }{kT}}}{(e^{\frac{h\nu }{kT}}-1{)}^2}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](226)\text{upshape (226)}$ Se anula para $T=0$ y se vuelve igual a $Nk$ para $T=\infty$. A. EinsteinA. Einstein, Ann. d. Phys. 22, p. 180, 1907. Véase también M. Born und Th. von Kárman, Phys. Zeitschr. 13, p. 297, 1912. ha hecho una aplicación importante de esta ecuación a la capacidad calorífica de los cuerpos sólidos, pero una discusión más detallada de esto iría más allá del alcance de las investigaciones que se realizarán en este libro.

Para las constantes $\alpha$ y $\gamma$ en la expresión [eqn:(220)] (220) de la densidad de distribución $w$ hallamos a partir de [eqn:(221)] (221): $\alpha =e^{\frac{h\nu }{kT}}-1\gamma =e^{-\frac{h\nu }{kT}}\mathrm{\backslash Label}[eqn](227)\text{upshape (227)}$ y finalmente para la entropía $S$ de nuestro sistema en función de la temperatura: $S=kN\{\frac{{\displaystyle \frac{h\nu }{kT}}}{e^{\frac{h\nu }{kT}-1}}-\log (1-e^{-\frac{h\nu }{kT}})\}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](228)\text{upshape (228)}$

[Cálculo directo de la entropía] IVCálculo directo de la entropía en el caso del equilibrio termodinámico