ejemplo, existe, de hecho, solo un número x tal que x + 2 = 3 , a saber, solo el número 1 . Por tanto, el alguno puede ser un solo número. Pero en el tercer ejemplo, cualquier número x que sea mayor que 1 da como resultado x + 2 > 3 . De ahí que haya un número infinito de números que responden al algún número en este caso. Por tanto, alguno puede ser cualquier cosa entre cualquiera y uno solo , incluyendo ambos casos límite.
Es natural sustituir las afirmaciones (2) y (3) por las preguntas:
(2') ¿Para qué número se cumple que ;
(3') ¿Para qué números se cumple que ?
Considerando (2'), es una ecuación, y
es fácil ver que su solución es . Cuando hemos planteado la pregunta implícita en el enunciado de la ecuación , a se le llama la incógnita. El objetivo de la resolución de la ecuación es la determinación de la incógnita. Las ecuaciones son de gran importancia en las matemáticas, y parece como
aunque (2') ejemplificaba una idea mucho más exhaustiva y fundamental que la declaración original (2). Esto, sin embargo, es un error completo. La idea de lo indeterminado
La «variable», tal como aparece en el uso de «alguno» o «cualquiera», es la realmente importante en matemáticas; la de la «incógnita» en una ecuación, que debe resolverse lo más rápido posible, es solo de uso subordinado, aunque, por supuesto, es muy importante. Una de las causas de la aparente trivialidad de gran parte del álgebra elemental es la preocupación de los libros de texto por la resolución de ecuaciones. La misma observación se aplica a la resolución de la desigualdad (3') en comparación con el enunciado original (3).
Pero la mayoría de las fórmulas interesantes,
especialmente cuando la idea de algunos está presente, involucran más de una variable. Por ejemplo, la consideración de los pares de números e (fraccionarios o enteros) que satisfacen involucra la idea de dos variables correlacionadas, e . Cuando hay dos variables presentes, ocurren los mismos dos tipos principales de enunciados. Por ejemplo, (1) para cualquier par de números, e , , y (2) para algunos pares de números, e , .
El segundo tipo de enunciado invita a considerar el conjunto de pares de números que están vinculados por alguna relación fija; en el caso dado, por la relación . Un uso de las fórmulas del primer tipo, verdaderas para cualquier par de números, es que mediante ellas las fórmulas del segundo tipo pueden ser
lanzada a un número indefinido de formas equivalentes. Por ejemplo, la relación es equivalente a las relaciones y así sucesivamente. De este modo, un matemático hábil utiliza aquella forma equivalente de la relación considerada que resulta más conveniente para su propósito inmediato.
No es cierto en general que, cuando un par de términos satisface una relación fija, si se da uno de los términos, el otro también quede determinado de forma definitiva. Por ejemplo, cuando x e y satisfacen