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pictórica de sus relaciones entre sí. Si alguien duda de la utilidad de los símbolos, que escriba por completo, sin símbolo alguno, todo el significado de las siguientes ecuaciones que representan algunas de

las leyes fundamentales del álgebra:–- Cf. Nota A, noteA.60

x + y = y + x, \tag{\quad\ensuremath{(1)}} \ (x + y) + z = x + (y + z), \tag \ x × y = y × x, \tag}{\quad\ensuremath{(3)}} \ (x × y) × z = x × (y × z), \tag}} \ x × (y + z) = (x × y) + (x × z). \tag*{\quad\ensuremath{(5)}

Aquí (1) y (2) se denominan leyes conmutativa y asociativa de la suma, (3) y (4)

son las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación, y (5) es la ley distributiva que relaciona la suma y la multiplicación. Por ejemplo, sin símbolos, (1) se convierte en: Si se suma un segundo número a cualquier número dado, el resultado es el mismo que si el primer número dado se hubiera sumado al segundo número.

Este ejemplo muestra que, con la ayuda del simbolismo, podemos realizar transiciones en el razonamiento casi mecánicamente mediante la vista, las cuales, de otro modo, requerirían la intervención de las facultades superiores del cerebro.

Es una verdad de Perogrullo profundamente errónea, repetida en todos los cuadernos de caligrafía y por personas eminentes cuando pronuncian discursos, que deberíamos cultivar el hábito de pensar en lo que estamos haciendo. El caso es exactamente el contrario. La civilización avanza al aumentar el número de operaciones importantes que podemos realizar sin pensar en ellas. Las operaciones del pensamiento son como las cargas de caballería en una batalla: son estrictamente limitadas en número, requieren caballos frescos y solo deben realizarse en momentos decisivos.

Una propiedad muy importante que debe poseer el simbolismo es la de ser conciso, de modo que sea visible de un solo vistazo y pueda escribirse rápidamente. Ahora bien, no podemos colocar símbolos de manera más concisa que situándolos en yuxtaposición inmediata. Por lo tanto, en un buen simbolismo, la yuxtaposición de importantes

Los símbolos deben tener un significado importante. Este es uno de los méritos de la notación arábiga para los números; mediante diez símbolos, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, y por simple yuxtaposición, se simboliza cualquier número que sea. De nuevo en álgebra, cuando tenemos dos números variables $x$ e $y$, tenemos que elegir qué denotará su yuxtaposición $xy$. Ahora bien, las dos ideas más importantes que tenemos a mano son las de suma y multiplicación. Los matemáticos han elegido hacer su simbolismo más conciso definiendo que $xy$ represente $x\times y$. Así, las leyes (3), (4) y (5) anteriores se escriben por lo general como $xy=yx,(xy)z=x(yz),x(y+z)=xy+xz,$ logrando así una gran ganancia en concisión. La misma regla de simbolismo se aplica a la yuxtaposición de un número definido y una variable: escribimos $3x$ para $3\times x$, y $30x$ para $30\times x$.

Es evidente que, al sustituir las variables por números definidos, debe tenerse cierto cuidado al restablecer el signo $\times$, para no entrar en conflicto con la notación arábiga. Así, cuando sustituimos $x$ por $2$ e $y$ por $3$ en $xy$, debemos escribir $2\times 3$ para $xy$, y no $23$, que significa $20+3$.

Resulta interesante observar lo importante que puede llegar a ser un símbolo de aspecto modesto para el desarrollo de la ciencia. Puede representar la presentación enfática de una idea, a menudo una muy