Esta es la definición del significado del símbolo $\times$ cuando se escribe entre dos pares ordenados. Se deduce evidentemente de esta definición que el resultado de la multiplicación es otro par ordenado, y que el valor del lado derecho de la ecuación (A) no se altera al intercambiar simultáneamente $x$ con $x^{'}$ , y $y$ con $y^{'}$ . Por tanto, las condiciones () y () se satisfacen evidentemente. La prueba de la satisfacción de (), (), () es igualmente sencilla una vez que hemos dado la interpretación geométrica, lo cual procederemos a hacer en un momento. Pero antes de hacer esto, será interesante detenernos a ver si hemos alcanzado el objetivo para el cual se inició toda esta elaboración.

Nos encontramos con ecuaciones de la forma $x^{2} = - 3$ , para las cuales no se pudieron encontrar soluciones

asignados en términos de números reales positivos y negativos. Descubrimos entonces que todas nuestras dificultades desaparecerían si pudiéramos interpretar la ecuación $x^{2} = - 1$ , es decir, si pudiéramos definir $\sqrt{(- 1)}$ de tal modo que $\sqrt{(- 1)} \times \sqrt{(- 1)} = - 1$ .

Ahora consideremos los tres especiales

pares ordenadosPara el futuro seguimos la costumbre de omitir el signo $+$ siempre que sea posible, por lo que $(1, 0)$ representa a $(+ 1, 0)$ y $(0, 1)$ a $(0, + 1)$ . $(0, 0)$ , $(1, 0)$ y $(0, 1)$ .

Ya hemos demostrado que $(x, y) + (0, 0) = (x, y) .$

Además, ahora tenemos $(x, y) \times (0, 0) = (0, 0) .$

Por tanto, tanto para la suma como para la multiplicación, el par $(0, 0)$ desempeña el papel de cero en la aritmética y el álgebra elementales; compárense las ecuaciones anteriores con $x + 0 = x$ y $x \times 0 = 0$ .

Consideremos de nuevo $(1, 0)$ : este desempeña el papel de $1$ en la aritmética y el álgebra elementales. En estas ciencias elementales, la característica especial del $1$ es que $x \times 1 = x$ , para todos los valores de $x$ . Ahora, según nuestra ley de multiplicación $(x, y) \times (1, 0) = {(x - 0), (y + 0)} = (x, y) .$

Por lo tanto, $(1, 0)$ es el par unidad.

Consideremos finalmente $(0, 1)$ : esto interpretará para nosotros el símbolo $\sqrt{(- 1)}$ . El símbolo debe poseer, por tanto, la propiedad característica de que $\sqrt{(- 1)} \times \sqrt{(- 1)} = - 1$ . Ahora bien, según la ley de multiplicación para pares ordenados $(0, 1) \times (0, 1) = {(0 - 1), (0 + 0)} = (- 1, 0) .$

Pero $(1, 0)$ es el par unidad, y $(- 1, 0)$ es el par unidad negativo; de modo que $(0, 1)$ tiene la propiedad deseada. Existen, sin embargo, dos raíces de $- 1$ que deben considerarse, a saber, $\pm \sqrt{(- 1)}$ . Consideremos $(0, - 1)$ ; aquí, recordando de nuevo que $(- 1)^{2} = 1$ , encontramos que $(0, - 1) \times (0, - 1) = (- 1, 0)$ .

Por tanto, $(0, - 1)$ es la otra raíz cuadrada de $- 1$ . En consecuencia, los pares ordenados $(0, 1)$ y $(0, - 1)$ son las interpretaciones de $\pm \sqrt{(- 1)}$ en términos de pares ordenados. Pero ¿cuál corresponde a cuál? ¿Corresponde $(0, 1)$ a $+ \sqrt{(- 1)}$ y $(0, - 1)$ a $- \sqrt{(- 1)}$ , o $(0, 1)$ a $- \sqrt{(- 1)}$ y $(0, - 1)$ a $+ \sqrt{(- 1)}$ ? La respuesta es que resulta perfectamente indiferente qué simbolismo adoptemos.

Los pares ordenados pueden dividirse en tres tipos: (i) el tipo «imaginario complejo» $(x, y)$ , en el que ni $x$ ni $y$ son cero; (ii) el tipo «real» $(x, 0)$ ; (iii) el tipo «imaginario puro» $(0, y)$ . Consideremos las relaciones de estos tipos entre sí. Multipliquemos primero el «imaginario complejo»