X

pasar al siguiente tipo general de formas algebraicas. Esto se obtiene evidentemente introduciendo términos que involucran x 2 , x y y y 2 . Por tanto, la nueva forma general debe escribirse:–- a x 2 + 2 h x y + b y 2 + 2 g x + 2 f y + c = 0 . ¿Qué representa esto? La respuesta es

que (cuando representa cualquier lugar geométrico) siempre representa una sección cónica y, además, que la ecuación de toda sección cónica siempre puede adoptar esta forma. La discriminación de los tipos particulares de cónicas según esta forma de ecuación es muy sencilla. Depende enteramente de la consideración de $ab-h^2$, donde $a$, $b$ y $h$ son las «constantes» escritas anteriormente. Si $ab-h^2$ es un número positivo, la curva es una elipse; si $ab-h^2=0$, la curva es una parábola; y si $ab-h^2$ es un número negativo, la curva es una hipérbola.

Por ejemplo, pongamos $a=b=1$, $h=g=f=0$, $c=-4$. Obtenemos entonces la ecuación $x^2+y^2-4=0$. Es fácil demostrar que esta es la ecuación de una circunferencia, cuyo centro está en el origen y cuyo radio es de $2$ unidades de longitud. Ahora bien, $ab-h^2$ se convierte en $1\times 1-0^2$, es decir, $1$, y por tanto es positivo. De ahí que la circunferencia sea un caso particular de elipse, como debe ser. Generalizando, la ecuación de cualquier circunferencia puede expresarse en la forma $a(x^2+y^2)+2gx+2fy+c=0$. Por tanto, $ab-h^2$ se convierte en $a^2-0$, es decir, $a^2$, que es necesariamente positivo. En consecuencia, todas las circunferencias satisfacen la condición de las elipses. La forma general de la ecuación de una parábola es $(dx+ey{)}^2+2gx+2fy+c=0,$ de modo que los términos de segundo grado, como

se les llama, pueden escribirse como un cuadrado perfecto. Al desarrollar el cuadrado, obtenemos $d^2{x}^2+2dexy+e^2{y}^2+2gx+2fy+c;$ de modo que, por comparación, $a=d^2$, $h=de$, $b=e^2$, y por tanto $ab-h^2=d^2{e}^2-(de{)}^2=0$. De aquí que la condición necesaria se satisfaga automáticamente. La ecuación $2xy-4=0$, donde $a=b=g=f=0$, $h=1$, $c=-4$, representa una hipérbola. Pues la condición $ab-h^2$ se convierte en $0-1^2$, es decir, $-1$, que es negativa.

plus 0.75em minus 0.25em La limitación, introducida al decir que,

cuando la ecuación general representa cualquier lugar geométrico, representa una sección cónica, es necesario, debido a que algunos casos particulares de la ecuación general no representan ningún lugar geométrico real. Por ejemplo, $x^2+y^2+1=0$ no puede ser satisfecha por ningún valor real de $x$ e $y$. Es habitual decir que el lugar geométrico es ahora uno compuesto por puntos imaginarios. Pero esta idea de puntos imaginarios en geometría es en realidad de una gran complejidad, en la cual no entraremos ahora.

Algunos casos excepcionales se incluyen en la forma general de la ecuación que podrían no reconocerse de inmediato como secciones cónicas. Eligiendo adecuadamente las constantes, la ecuación puede hacer que represente dos líneas rectas. Ahora bien, se puede decir con justicia que dos líneas rectas que se cortan entran dentro de la idea griega de sección cónica. Pues, al remitirse a

en la imagen del cono doble anterior, se verá que algunos planos que pasan por el vértice, $V$, cortarán el cono en un par de líneas rectas que se intersecan en $V$. El caso de dos líneas rectas paralelas puede incluirse considerando un cilindro circular como un caso particular de un cono. Entonces, un plano que lo corte y sea paralelo a su eje, lo cortará en dos líneas rectas paralelas. De cualquier modo, independientemente de si el

El griego antiguo habría permitido que estos casos especiales fueran llamados secciones cónicas; ciertamente están incluidos entre las curvas representadas por la forma algebraica general de segundo grado. Este hecho es