II

Variables

Las matemáticas como ciencia comenzaron cuando alguien, probablemente un griego, demostró proposiciones sobre cualquier cosa o sobre algunas cosas, sin especificar objetos particulares definidos. Estas proposiciones fueron enunciadas por primera vez por los griegos para la geometría; y, en consecuencia, la geometría fue la gran ciencia matemática griega. Tras el auge de la geometría, pasaron siglos antes de que el álgebra tuviera un comienzo realmente efectivo, a pesar de algunas leves anticipaciones por parte de los matemáticos griegos posteriores.

Las ideas de cualquiera y de alguno se introducen en el álgebra mediante el uso de letras, en lugar de los números definidos de la aritmética. Así, en vez de decir que $2+3=3+2$, en álgebra generalizamos y decimos que, si $x$ e $y$ representan dos números cualesquiera, entonces $x+y=y+x$. De nuevo, en lugar de decir que $3>2$, generalizamos y decimos que si $x$ es un número cualquiera, existe algún número (o números) $y$ tal que $y>x$. Podemos señalar de paso que esta última suposición —pues cuando se formula en su forma última y estricta es una suposición— es

de vital importancia, tanto para la filosofía como para las matemáticas; pues mediante ella se introduce la noción de infinito. Quizás fue necesaria la introducción de los números arábigos, con los cuales el uso de letras para representar números definidos ha sido completamente descartado en las matemáticas, para sugerir a los matemáticos la conveniencia técnica del uso de letras para las ideas de cualquier número y algún número. Los romanos habrían expresado el número del año en que esto está escrito en la forma MDCCCCX., mientras que nosotros escribimos 1910, dejando así las letras para el otro uso. Pero esto es meramente una especulación. Tras el surgimiento del álgebra, el cálculo diferencial fue inventado por Newton y

Leibniz, y luego una pausa en el progreso

de la filosofía del pensamiento matemático se produjo en lo que respecta a estas nociones; y no fue hasta hace pocos años que se comprendió cuán fundamentales son cualquiera y alguno para la naturaleza misma de las matemáticas, con el resultado de abrir aún más temas para la exploración matemática.

Hagamos ahora algunos enunciados algebraicos sencillos, con el objetivo de comprender exactamente cómo surgen estas ideas fundamentales.

(1) Para cualquier número $x$, $x+2=2+x$;

(2) Para algún número $x$, $x+2=3$;

(3) Para algún número $x$, $x+2>3$.

El primer punto que hay que notar son las posibilidades contenidas en el significado de alguno , tal como se utiliza aquí. Dado que x + 2 = 2 + x para cualquier número x , es cierto para algún número x . Por tanto, tal como se utiliza aquí, cualquiera implica alguno y alguno no excluye a cualquiera . De nuevo, en el segundo