Geometría analítica
Los métodos y las ideas de la geometría analítica
ya han sido empleados en los capítulos anteriores. Ha llegado el momento de que los consideremos más detenidamente por sí mismos; y al hacerlo, reforzaremos nuestra comprensión de otras ideas que hemos alcanzado. En el presente capítulo y en los sucesivos, volveremos a la idea de los números reales positivos y negativos e ignoraremos los imaginarios que fueron introducidos en los dos últimos capítulos.
Hemos utilizado perpetuamente la idea de que, al tomar dos ejes, e , en un plano, cualquier punto en dicho plano puede quedar determinado en su posición por un par de números positivos o negativos e , donde (cf. [fig.]13) es la longitud e es la longitud . Esta concepción, por simple que parezca, es la idea principal de la gran disciplina de la geometría analítica. Su descubrimiento marca una época trascendental en la historia del pensamiento matemático. Se debe (como ha sido
ya dicho) al filósofo Descartes,
y se le ocurrió como un importante método matemático una mañana mientras yacía en la cama. Los filósofos, cuando han poseído un conocimiento profundo de las matemáticas, han estado entre aquellos que han enriquecido a la 13 ciencia con algunas de sus mejores ideas. Por otra parte, debe decirse que, sin apenas excepción, todas las observaciones sobre matemáticas hechas por aquellos filósofos que han poseído solo un conocimiento ligero o apresurado y adquirido tardíamente son completamente inútiles, siendo triviales o erróneas. El hecho es curioso; dado que las ideas fundamentales de las matemáticas
parecen, después de todo, ser muy simples, casi infantilmente simples, y estar bien dentro de los límites del pensamiento filosófico. Probablemente su misma simplicidad sea la causa del error; no estamos acostumbrados a pensar sobre cosas abstractas tan simples, y se requiere un largo entrenamiento para asegurar incluso una inmunidad parcial al error tan pronto como nos desviamos del camino trillado del pensamiento.
El descubrimiento de la geometría analítica, y también el de la geometría proyectiva por la misma época, ilustran otro hecho que se verifica continuamente en la historia del conocimiento: que algunos de los mayores descubrimientos se encuentran entre los temas más conocidos. Para cuando llegó el siglo XVII, la geometría ya había sido estudiada durante más de dos mil años, incluso si fechamos su surgimiento con los griegos. Euclides, que enseñó en la Universidad de Alejandría,
habiendo nacido alrededor del 330; y él solo sistematizó y amplió el trabajo de una larga serie de predecesores, algunos de ellos hombres de genio. Tras él, generación tras generación de matemáticos trabajaron en el perfeccionamiento de la materia. Tampoco sufrió la disciplina ese obstáculo fatal para el progreso, a saber, que su estudio se limitara a un grupo reducido de hombres de origen y perspectiva similares; todo lo contrario fue el caso; para el siglo XVII había pasado
a través de las mentes de egipcios y griegos, de árabes y de alemanes. Y, sin embargo, tras todo este esfuerzo dedicado a ello a lo largo de tantas épocas por mentes tan diversas, sus secretos más importantes aún estaban