iguales. Pero 25 mientras que el lado A B del cuadrado es igual al lado A B del rectángulo, el lado B C del cuadrado es aproximadamente la mitad del tamaño del lado B E del rectángulo. Por lo tanto, no es cierto que el cuadrado A B C D sea semejante al rectángulo A B E F . Esta propiedad peculiar del triángulo, que no comparten otras figuras rectilíneas, lo convierte en la figura fundamental en la teoría de la semejanza. De ahí que en los levantamientos topográficos, la triangulación sea el proceso fundamental; y de ahí surge también la palabra "trigonometría",

derivado de las dos palabras griegas trigonon, un triángulo, y metria, medida. La pregunta fundamental de la que surgió la trigonometría es esta: dadas las magnitudes de los ángulos de un triángulo, ¿qué se puede afirmar respecto a las magnitudes relativas de los lados? Nótese que decimos "magnitudes relativas de los lados", ya que, por la teoría de la semejanza, solo se conocen las proporciones de los lados. Para responder a esta pregunta, se introducen ciertas funciones de las magnitudes de un ángulo, consideradas como el argumento. En su origen, estas funciones se obtenían considerando un triángulo rectángulo, y la magnitud del ángulo se definía mediante la longitud del arco de un círculo. En los libros elementales modernos, la posición fundamental del arco de círculo como definidor de la magnitud del ángulo ha sido relegada a un segundo plano, lo cual no beneficia ni a la teoría ni a la claridad de la explicación. Primero debe observarse que, en relación con la semejanza, el círculo ocupa la misma posición fundamental entre las figuras curvilíneas que el triángulo entre las figuras rectilíneas. Dos círculos cualesquiera son figuras semejantes; solo difieren en escala. Las longitudes de las circunferencias de dos círculos, como $A P A^{'}$ y $A_{1} P_{1} A_{1}^{'}$ en la [fig.] 26, son proporcionales a las longitudes de sus radios. Además, si los dos círculos tienen el mismo

centro $O$ , al igual que los dos círculos en la [fig.] 26, entonces los arcos $A P$ y $A_{1} P_{1}$ interceptados por los brazos de cualquier ángulo $A O P$ , también son proporcionales a sus radios. De ahí que la razón de la longitud del arco $A P$ a la longitud del radio $O P$ , es decir, $\frac{arco A P}{radio O P}$ sea un número completamente independiente de la longitud $O P$ , y sea el mismo que la fracción $\frac{arco A_{1} P_{1}}{radio O P_{1}}$ . Esta fracción de "arco dividido por radio" es la forma teórica adecuada de medir la magnitud de

un ángulo; pues no depende de ninguna unidad de longitud arbitraria, ni de ninguna forma arbitraria de dividir un ángulo asumido arbitrariamente, como un ángulo recto. Así, la fracción $\frac{A P}{O A}$ representa la magnitud del ángulo $A O P$ . Ahora, tracemos $P M$ perpendicularmente a $O A$ . Entonces, los matemáticos griegos llamaron a la línea $P M$ el seno del arco $A P$ , y a la línea $O M$ el coseno del arco $A P$ . Eran plenamente conscientes de que la importancia de las relaciones de estas diversas líneas entre sí dependía de la teoría de la semejanza que acabamos de exponer. Pero no hicieron que sus definiciones expresaran las propiedades que surgen de esta teoría. Además, no tenían en mente las ideas generales modernas respecto a las funciones como correlación de pares de números variables, ni de hecho eran conscientes de ninguna concepción moderna del álgebra y el análisis algebraico. En consecuencia, era natural para ellos pensar simplemente en las relaciones entre ciertas líneas en un diagrama. Para nosotros el caso es diferente: deseamos incorporar nuestras ideas más poderosas.

Por tanto, en las matemáticas modernas, en lugar de considerar el arco $A P$ , consideramos la fracción $\frac{A P}{O P}$ , que es un número igual para todas las longitudes de $O P$ ; y, en lugar de considerar las líneas $P M$ y $O M$ , consideramos