XIV

Serie

Ninguna parte de las Matemáticas sufre más de

la trivialidad de su presentación inicial a los principiantes que el gran tema de las series. Se consideran dos ejemplos menores de series, a saber, las series aritméticas y geométricas; estos ejemplos son importantes porque son los casos más sencillos de una teoría general importante. Pero las ideas generales nunca se revelan; y así los ejemplos, que no ejemplifican nada, se reducen a tonterías triviales.

La idea matemática general de una serie es la de un conjunto de cosas dispuestas en orden, es decir, en secuencia; este significado está representado con precisión en el uso común del término. Considérese, por ejemplo, la serie de primeros ministros británicos durante el siglo XIX, dispuestos en el orden de su primer mandato en dicho cargo dentro del siglo. La serie comienza con William Pitt y termina con

Lord Rosebery, quien, como es apropiado, es el biógrafo del primer miembro. Nosotros

podría haber considerado otros órdenes seriales para la disposición de estos hombres; por ejemplo, según su altura o su peso. Estos otros órdenes sugeridos nos parecen triviales en relación con los Primeros Ministros, y no se nos ocurrirían de forma natural; pero, abstractamente, son órdenes tan buenos como cualquier otro. Cuando un orden entre términos es mucho más importante o más obvio que otros órdenes, a menudo se habla de él como el orden de dichos términos. Así, el orden de los números enteros siempre se entendería como su orden dispuestos según su magnitud. Pero, por supuesto, existe un número indefinido de otras formas de ordenarlos. Cuando el número de cosas consideradas es finito, el número de formas de ordenarlas se denomina número de sus permutaciones. El número de permutaciones de un conjunto de $n$ cosas, donde $n$ es algún número entero finito, es $n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \dots \times 4\times 3\times 2\times 1,$ es decir, es el producto de los primeros $n$ números enteros; este producto es tan importante en matemáticas que se utiliza un simbolismo especial para él, y siempre se escribe `$n!$.' Así, $2!=2\times 1=2$, y $3!=3\times 2\times 1=6$, y $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$, y $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$. A medida que $n$ aumenta, el valor de $n!$ crece muy rápidamente; por tanto, $100!$ es cien veces mayor que $99!$.

Es fácil verificar en el caso de valores pequeños de $n$ que $n!$ es el número de formas de ordenar $n$ objetos. Así, consideremos dos objetos $a$ y $b$; estos son capaces de las dos ordenaciones $ab$ y $ba$, y $2!=2$.

De nuevo, tomemos tres cosas $a$, $b$ y $c$; estas son capaces de seis órdenes: $abc$, $acb$, $bac$, $bca$, $cab$, $cba$, y $3!=6$. De manera similar para los veinticuatro órdenes en los que cuatro cosas $a$, $b$, $c$ y $d$ pueden ser dispuestas.

Cuando llegamos a los conjuntos infinitos de cosas, como

los conjuntos de todos los números enteros, o de todas las fracciones, o de todos los números reales, por ejemplo—nos encontramos de inmediato con las complicaciones de la teoría de los tipos de orden. Este tema fue tratado en VI al considerar los posibles órdenes de los números enteros, de las fracciones y de los números reales. Toda la cuestión de los tipos de orden constituye una rama de las matemáticas comparativamente