ahora sea $x$ cualquier valor, positivo o negativo. La gráfica de la función se muestra en la [fig.]21. Supongamos que $x$ cambia continuamente desde un valor negativo grande a través de un conjunto numéricamente decreciente de valores negativos hasta $0$ , y desde allí a través de la serie de valores positivos crecientes. En consecuencia, si un punto móvil, $M$ , representa a $x$ en $X O X^{'}$ , $M$ comienza en el extremo izquierdo del eje $X O X^{'}$ y se mueve sucesivamente a través de $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ , $M_{4}$ , etc. Los puntos correspondientes en la función son $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ , etc. Es fácil ver que hay un punto de discontinuidad en $x = 0$ , es decir, en el origen $O$ . Pues el valor de la función en el lado negativo (izquierdo) del origen se vuelve infinitamente grande, pero negativo, y la función reaparece en el lado positivo (derecho) como infinitamente grande pero positiva. Por lo tanto, por pequeña que tomemos la longitud $M_{2} M_{3}$ , existe un salto finito entre los valores de la función en $M_{2}$ y $M_{3}$ . De hecho, este caso tiene la peculiaridad de que cuanto más pequeña tomamos la longitud entre $M_{2}$ y $M_{3}$ , siempre que encierren el origen, mayor es el salto en el valor de la función entre ellos. Esta gráfica pone de manifiesto, lo que también es evidente en la [fig.]20 de este capítulo, que para muchas funciones las discontinuidades solo ocurren en puntos aislados, de modo que al restringir los valores del argumento obtenemos una función continua para estos valores restantes. Así pues, es evidente

de la [fig.]21 que en $y = \frac{1}{x}$ , si nos limitamos solo a valores positivos y excluimos el origen, obtenemos una función continua. De manera similar, la misma función, si nos limitamos solo a valores negativos, excluyendo el origen, es continua. A su vez, la función que se representa en la [fig.]20 es continua entre $B$ y $C_{1}$ , entre $C_{1}$ y $C_{2}$ , entre $C_{2}$ y $C_{3}$ , y así sucesivamente, siempre en cada caso excluyendo los puntos extremos. Sin embargo, es fácil encontrar funciones cuyas discontinuidades ocurran en todos los puntos. Por ejemplo, consideremos una función $f (x)$ tal que, cuando $x$ es cualquier número fraccionario, $f (x) = 1$ , y cuando $x$ es cualquier número inconmensurable, $f (x) = 2$ . Esta función es discontinua en todos los puntos.

Por último, examinaremos con un poco más de detenimiento la definición de continuidad dada anteriormente. Hemos dicho que una función es continua cuando su valor solo se altera gradualmente ante alteraciones graduales del argumento, y que es discontinua cuando puede alterar su valor mediante saltos repentinos. Este es exactamente el tipo de definición que satisfacía a nuestros antepasados matemáticos y que ya no satisface a los matemáticos modernos. Vale la pena dedicarle algo de tiempo; pues cuando comprendamos las objeciones modernas a la misma, habremos avanzado mucho hacia la comprensión del espíritu de las matemáticas modernas. La

Toda la diferencia entre las matemáticas antiguas y las nuevas reside en el hecho de que términos vagos y semimetafóricos como «gradualmente» ya no se toleran en sus enunciados exactos. Las matemáticas modernas solo admiten enunciados, definiciones y argumentos que empleen exclusivamente las pocas ideas simples sobre número, magnitud y variables en las que se fundamenta la ciencia. De dos números, uno puede ser mayor o menor que el otro; y uno puede ser tal o cual múltiplo del otro; pero no existe una relación de «gradualidad» entre dos números y, por tanto, el término es inadmisible. Ahora bien, esto puede parecer a primera vista una gran pedantería. A esta acusación hay dos respuestas. En primer lugar, durante la primera mitad del siglo XIX, algunos grandes matemáticos, especialmente Abel en

Suecia, y Weierstrass en Alemania, que

grandes partes de las matemáticas, tal como se enunciaban a la antigua usanza despreocupada, eran simplemente erróneas. Macaulay en su ensayo sobre Bacon