VII

Así, $O R$ representa el par ordenado según se requiere. Esta figura también puede dibujarse con $O P$ y $O Q$ en otros cuadrantes.

Resulta evidente de inmediato que aquí hemos vuelto a la ley del paralelogramo, la cual

se mencionó en el VI., sobre las leyes del movimiento, como aplicable a velocidades y fuerzas. Se recordará que, si $O P$ y $O Q$ representan dos velocidades, se dice que una partícula se mueve con una velocidad igual a la suma de las dos velocidades si se mueve con la velocidad $O R$ . En otras palabras, se dice que $O R$ es la resultante de las dos velocidades $O P$ y $O Q$ . Asimismo, las fuerzas que actúan en un punto de un cuerpo pueden representarse mediante líneas, tal como ocurre con las velocidades; y se cumple la misma ley del paralelogramo, a saber, que la resultante de las dos fuerzas $O P$ y $O Q$ es la fuerza representada por la diagonal $O R$ . De ello se deduce que podemos considerar un par ordenado como la representación de una velocidad o de una fuerza, y la regla que acabamos de dar para la suma de pares ordenados representa entonces las leyes fundamentales de la mecánica para la suma de fuerzas y

velocidades. Una de las características más fascinantes de las matemáticas es la sorprendente manera en que las ideas y los resultados de diferentes partes de la disciplina encajan entre sí. Durante las discusiones de este y el anterior capítulo, nos hemos guiado meramente por las más abstractas de las consideraciones matemáticas puras; y, sin embargo, al final de ellas, nos hemos visto conducidos de vuelta a las más fundamentales de todas las leyes de la naturaleza, leyes que deben estar en la mente de todo ingeniero cuando diseña un motor, y de todo arquitecto naval cuando calcula la estabilidad de un barco. No es ninguna paradoja decir que, en nuestros estados de ánimo más teóricos, podemos estar más cerca de nuestras aplicaciones más prácticas.

[Números imaginarios] VIII Números imaginarios (continuación)

La definición de la multiplicación de pares ordenados se guía exactamente por las mismas consideraciones que la de su adición. La interpretación de la multiplicación debe ser tal que

() el resultado es otro par ordenado,

() la operación es conmutativa, de modo que $(x, y) \times (x^{'}, y^{'}) = (x^{'}, y^{'}) \times (x, y),$

() la operación es asociativa, de modo que ${(x, y) \times (x^{'}, y^{'})} \times (u, v) = (x, y) \times {(x^{'}, y^{'}) \times (u, v)},$

() debe hacer que el resultado de la división sea único [con una excepción para el caso del par cero $(0, 0)$ ], de modo que cuando busquemos determinar el par desconocido $(x, y)$ para satisfacer la ecuación $(x, y) \times (a, b) = (c, d),$ exista una y solo una respuesta, que podemos representar mediante $(x, y) = (c, d) \div (a, b), o mediante (x, y) = \frac{(c, d)}{(a, b)} .$

() Además, debe cumplirse la ley que involucra tanto la suma como la multiplicación, llamada ley distributiva, a saber

Todas estas condiciones (), (), (), (), () pueden satisfacerse mediante una interpretación que, aunque parezca complicada al principio, es susceptible de una interpretación geométrica sencilla.

Por definición, establecemos $(x, y) \times (x^{'}, y^{'}) = {(x x^{'} - y y^{'}), (x y^{'} + x^{'} y)} . \quad\ensuremath{(A)}$