XIV

Esta cuestión de la divergencia muestra cuán cuidadosos debemos ser al argumentar a partir de las propiedades

de la suma de un número finito de términos a la de la suma de una serie infinita. Pues la propiedad más elemental de un número finito de términos es que, por supuesto, poseen una suma: pero incluso esta propiedad fundamental no la posee necesariamente una serie infinita. Esta advertencia simplemente señala que no debemos dejarnos engañar por la sugerencia del término técnico "suma de una serie infinita". Es habitual indicar la suma de la serie infinita $u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n,\dots$ mediante $u_1+u_2+u_3+\dots +u_n+\dots .$

Pasamos ahora a una generalización de la idea de serie, la cual las matemáticas, fieles a su método, realizan mediante el uso de la variable. Hasta ahora, solo hemos contemplado series en las que cada término definido era un número definido. Pero podemos generalizar igualmente y hacer que cada término sea alguna expresión matemática que contenga una variable $x$. Así, podemos considerar la serie $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $\dots$, $x^n$, $\dots$, y la serie $x,\frac{x^2}{2},\frac{x^3}{3},\dots ,\frac{x^n}{n},\dots .$

Con el fin de simbolizar la idea general de cualquier función de este tipo, concíbase una función de $x$, digamos $f_n(x)$, que involucre en su formación un número entero variable $n$; entonces, al darle a $n$ el

valores $1$, $2$, $3$, etc., sucesivamente, obtenemos la serie $f_1(x),f_2(x),f_3(x),\dots ,f_n(x),\dots .$ Tal serie puede ser convergente para algunos valores de $x$ y divergente para otros. De hecho, es bastante raro encontrar una serie que involucre una variable $x$ que sea convergente para todos los valores de $x$; al menos en cualquier caso particular, es muy arriesgado asumir que este sea el caso. Por ejemplo, examinemos el más simple de todos los casos, a saber, la «geométrica»

serie $1,x,x^2,x^3,\dots ,x^n,\dots .$ La suma de $n$ términos viene dada por $s_n=1+x+x^2+x^3+\dots +x^n.$

Ahora multipliquemos ambos lados por $x$ y obtenemos $x{s}_n=x+x^2+x^3+x^4+\dots +x^n+x^{n+1}.$ Ahora restemos la última línea de la línea superior y obtenemos $s_n(1-x)=s_n-x{s}_n=1-x^{n+1},$ y por lo tanto (si $x$ no es igual a $1$) $s_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^{n+1}}{1-x}.$ Ahora, si $x$ es numéricamente menor que $1$, para valores suficientemente grandes de $n$, ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{1-x}}$ es siempre numéricamente

menor que $k$, sea cual sea la elección de $k$. Por tanto, si $x$ es numéricamente menor que $1$, la serie $1$, $x$, $x^2$, , $x^n$, es convergente, y ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ es su límite. Esta afirmación se simboliza mediante $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots +x^n+\dots ,(-1<x<1).$ Pero si $x$ es numéricamente mayor que $1$, o numéricamente igual a $1$, la serie es divergente. En otras palabras, si $x$ se encuentra entre $-1$ y $+1$, la serie es convergente; pero si $x$ es igual a $-1$ o $+1$, o si $x$ se encuentra fuera del intervalo de $-1$ a $+1$, entonces la serie es divergente. Así, la serie es convergente en todos los «puntos» dentro del intervalo de $-1$ a $+1$, excluyendo los puntos extremos.

En esta etapa de nuestra investigación surge otra pregunta. Supongamos que la serie f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 3 ( x ) + … + f n ( x ) + … es convergente para todos los valores de x comprendidos en el intervalo de a a b , es decir, la serie es convergente para cualquier valor de x que sea mayor