contrasta la certeza de las matemáticas con la incertidumbre de la filosofía; y a modo de ejemplo retórico dice: "No ha habido ninguna reacción contra el teorema de Taylor".
No podría haber elegido un ejemplo peor. Pues, sin haber hecho un examen de los libros de texto ingleses de matemáticas contemporáneos a la publicación de este ensayo, el
es una suposición bastante segura que el teorema de Taylor fue enunciado y demostrado erróneamente en cada uno de ellos. En consecuencia, la ansiosa precisión de las matemáticas modernas es necesaria para la exactitud. En segundo lugar, es necesaria para la investigación. Fomenta la claridad de pensamiento y, por ende, la audacia de pensamiento y la fertilidad al probar nuevas combinaciones de ideas. Cuando los enunciados iniciales son vagos y descuidados, en cada etapa posterior del pensamiento el sentido común tiene que intervenir para limitar las aplicaciones y explicar los significados. Ahora bien, en el pensamiento creativo el sentido común es un mal maestro. Su único criterio de juicio es que las nuevas ideas se parezcan a las antiguas. En otras palabras, solo puede actuar suprimiendo la originalidad.
Al avanzar hacia la definición precisa de continuidad (tal como se aplica a las funciones), consideremos más de cerca la afirmación de que no existe una relación de "gradualidad" entre los números. Podría preguntarse: ¿acaso no puede un número ser solo ligeramente mayor que otro o, en otras palabras, no puede ser pequeña la diferencia entre dos números? El quid de la cuestión es que, en abstracto, al margen de cualquier aplicación asumida arbitrariamente, no existe tal cosa como un número grande o pequeño. Un millón de millas es un número pequeño de millas para un astrónomo que investiga las estrellas fijas, pero un millón
libras es un ingreso anual grande. De nuevo, una cuarta parte es una fracción grande de los ingresos de uno para donar a la caridad, pero es una fracción pequeña para retener para uso privado. Se pueden acumular ejemplos indefinidamente para mostrar que grande o pequeño en cualquier sentido absoluto no tienen aplicación abstracta a los números. Podemos decir de dos números que uno es mayor o menor que otro, pero no sin la especificación de circunstancias particulares que cualquier número sea grande o pequeño. Nuestra tarea, por lo tanto, es definir la continuidad sin ninguna mención de un cambio "pequeño" o "gradual" en el valor de la función.
Para hacer esto, daremos nombre a algunas ideas, lo cual también será útil cuando lleguemos a considerar los límites y el cálculo diferencial.
Un «intervalo» de valores del argumento
de una función son todos los valores situados entre dos valores cualesquiera del argumento. Por ejemplo, el intervalo entre y consiste en todos los valores que puede tomar situados entre y , es decir, consiste en todos los números reales entre y . Pero los números que delimitan un intervalo no tienen por qué ser enteros. Un intervalo de valores del argumento contiene un número , cuando es un miembro del intervalo. Por ejemplo, el intervalo entre y contiene , , , etcétera.
Un conjunto de números se aproxima a un número
dentro de un estándar , cuando la diferencia numérica entre y cada número del conjunto es menor que . Aquí es el "estándar de aproximación". Por tanto, el conjunto de números , , , , se aproxima al número dentro del estándar . En este caso, el estándar no es el más pequeño que podría haberse elegido, el conjunto también se aproxima