denota la suma de las operaciones + 3 y + 1 . Pero, además, no necesitamos ser tan pedantes en nuestro simbolismo, salvo en los raros casos en los que estamos rastreando significados directamente; así pues, siempre omitimos el primer + de una línea y los paréntesis, y nunca escribimos dos signos + seguidos. De modo que la ecuación anterior se convierte en 3 + 1 = 4 , que interpretamos como una simple suma numérica, o como la suma más elaborada de operaciones que se expresa plenamente en la forma anterior de escribir la ecuación, o, por último, como la expresión del resultado de aplicar la operación + 1 al número 3 y obtener el número 4 . Cualquier interpretación que sea posible es siempre correcta. Pero la única interpretación que es siempre posible, bajo ciertas condiciones, es la de las operaciones. Las otras interpretaciones a menudo dan resultados sin sentido.
Esto nos lleva de inmediato a una pregunta, que debe haber estado surgiendo insistentemente en la
mente del lector: ¿De qué sirve toda esta elaboración? En este punto nuestro amigo, el hombre práctico, intervendrá seguramente e insistirá en barrer todas estas tontas telarañas del cerebro. La respuesta es que lo que el matemático busca es Generalidad. Esto es una
idea digna de ser colocada junto a las nociones de Variable y de Forma en lo que concierne a
su importancia en el gobierno del procedimiento matemático. Cualquier limitación, sea cual fuere, sobre la generalidad de los teoremas, de las demostraciones o de la interpretación es aborrecible para el instinto matemático. Estas tres nociones, la de variable, la de forma y la de generalidad, componen una suerte de trinidad matemática que preside toda la disciplina. Todas ellas brotan en realidad de la misma raíz, a saber, de la naturaleza abstracta de la ciencia.
Veamos cómo se gana en generalidad mediante la introducción de esta idea de operaciones. Tomemos la ecuación ; la solución es . Aquí podemos interpretar nuestros símbolos como meros números, y el recurso a las «operaciones» es totalmente innecesario. Pero, si es un mero número, la ecuación es un sinsentido. Pues debería ser el número de cosas que quedan cuando se han quitado cosas de cosa; y tal procedimiento no es posible. En este punto interviene nuestra idea de forma algebraica, que en sí misma no es más que una generalización bajo otro aspecto. Consideramos, por tanto, la
ecuación general de la misma forma que . Esta ecuación es , y su solución es . Aquí nuestras dificultades se vuelven agudas; pues esta forma solo puede utilizarse para la interpretación numérica mientras sea mayor que , y no podemos afirmar sin reservas que y puedan ser cualesquiera constantes. En otras palabras, hemos introducido una limitación en la variabilidad de las «constantes» y , que debemos arrastrar como una cadena a través de todo nuestro razonamiento. Las investigaciones matemáticas realmente prolongadas serían imposibles bajo tales condiciones. Cada ecuación terminaría sepultada bajo un montón de limitaciones. Pero si ahora interpretamos nuestros símbolos como «operaciones», toda limitación se desvanece como por arte de magia. La ecuación da , la ecuación da , la ecuación da , que es una operación de suma o resta según sea el caso. Nunca necesitamos decidir si representa la operación de suma o de resta, pues las reglas de procedimiento con los símbolos son las mismas en ambos casos.
No entra en el plan de esta obra escribir un capítulo detallado de álgebra elemental. Nuestro objetivo es simplemente aclarar las ideas fundamentales que guían la formación de esta ciencia. En consecuencia, no explicamos más a fondo las reglas detalladas mediante las cuales los "números positivos y negativos" son