XIV

que a y menor que b . Supongamos también que queremos asegurarnos de que, al aproximarnos al límite, sumamos suficientes términos para situarnos dentro de un cierto estándar de aproximación k . ¿Podemos siempre establecer un número de términos, digamos n , tal que, si tomamos n o más términos para formar la suma, entonces, sea cual sea el valor que tenga x

¿dentro del intervalo hemos satisfecho el estándar de aproximación deseado?

A veces podemos y a veces no podemos

haga esto para cada valor de $k$. Cuando podemos hacerlo, la serie se denomina uniformemente convergente en todo el intervalo, y cuando no podemos, la serie se denomina no uniformemente convergente en todo el intervalo. Representa una gran diferencia para las propiedades de una serie si es o no uniformemente convergente en un intervalo. Ilustremos el asunto con el ejemplo más sencillo y los números más simples.

Considere la serie geométrica $1+x+x^2+x^3+\dots +x^n+\dots .$

Es convergente en todo el intervalo de $-1$ a $+1$, excluyendo los valores extremos $x=\pm 1$.

Pero no es uniformemente convergente en todo este intervalo. Pues si $s_n(x)$ es la suma de $n$ términos, hemos demostrado que la diferencia entre $s_n(x)$ y el límite ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ es ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{1-x}}$. Supongamos ahora que $n$ es cualquier número dado de términos, digamos $20$, y sea $k$ cualquier estándar de aproximación asignado, digamos $\mathrm{.001}$. Entonces, tomando $x$ lo suficientemente cerca de $+1$ o lo suficientemente cerca de $-1$, podemos hacer que el valor numérico de ${\displaystyle \frac{x^{21}}{1-x}}$ sea mayor que $\mathrm{.001}$. Por tanto, $20$ términos serán

no hacerlo en todo el intervalo, aunque es más que suficiente en algunas partes del mismo.

El mismo razonamiento puede aplicarse sea cual sea el número que tomemos en lugar de $20$, y sea cual sea el estándar de aproximación en lugar de $\mathrm{.001}$. Por tanto, la serie geométrica $1+x+x^2+x^3+\dots +x^n+\dots$ es no uniformemente convergente en todo su intervalo de convergencia de $-1$ a $+1$. Pero si tomamos cualquier intervalo más pequeño que se encuentre en ambos extremos dentro del intervalo de $-1$ a $+1$, la serie geométrica es uniformemente convergente dentro de él. Por ejemplo, tomemos el intervalo de $0$ a $+\frac{1}{10}$. Entonces, cualquier valor para $n$ que haga que ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{1-x}}$ sea numéricamente menor que $k$ en estos límites para $x$ también sirve para todos los valores de $x$ entre estos límites, ya que da la casualidad de que ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{1-x}}$ disminuye en valor numérico a medida que $x$ disminuye en valor numérico. Por ejemplo, tomemos $k=\mathrm{.001}$; entonces, al poner $x=\frac{1}{10}$, encontramos:–- {3} &\text{para $n=1$,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{2}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{90} = .0111\dots, \

&\text{para$n=2$,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{3}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{900} = .00111\dots, \

&\text{para$n=3$,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{4}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{9000} = .000111\dots.

Así, tres términos bastarán para todo el intervalo,