IX

por descubrir.

Nadie puede haber estudiado siquiera los elementos de la geometría elemental sin sentir la falta de algún método orientador. Cada proposición debe ser demostrada mediante un nuevo despliegue de ingenio; y una ciencia para la cual esto es cierto carece del gran requisito del pensamiento científico: el método. Ahora bien, el punto especial de la geometría analítica es que, por primera vez, introdujo el método. Las deducciones remotas de una ciencia matemática no son de importancia teórica primordial. La ciencia no se ha perfeccionado hasta que consiste, en esencia, en la exhibición de grandes métodos afines mediante los cuales se puede obtener fácilmente información sobre cualquier tema deseado que caiga dentro de su alcance. El crecimiento de una ciencia no es principalmente en volumen, sino en ideas; y cuanto más crecen las ideas, menos son las deducciones que vale la pena escribir. Desafortunadamente, las matemáticas siempre están lastradas por la repetición en los libros de texto de innumerables proposiciones subsidiarias, cuya importancia se ha perdido al ser absorbidas como casos particulares de verdades más generales; y, como ya hemos insistido, la generalidad es el alma de las matemáticas.

De nuevo, la geometría analítica ilustra otra característica de las matemáticas que ya ha sido señalada, a saber, que las ciencias matemáticas, a medida que se desarrollan, encajan entre sí y comparten las mismas ideas. No es exagerado decir que las diversas ramas de las matemáticas experimentan un proceso perpetuo de generalización y que, al generalizarse, se fusionan. Aquí, de nuevo, la razón surge de la propia naturaleza de la ciencia, de su generalidad; es decir, del hecho de que la ciencia trata sobre las verdades generales que se aplican a todas las cosas en virtud de su propia existencia como tales. En este sentido, el interés de la geometría analítica reside en el hecho de que relaciona la geometría, que comenzó como la ciencia del espacio, con el álgebra, que tiene su origen en la ciencia de los números.

Recordemos ahora las ideas principales de las dos ciencias y veamos después cómo se relacionan mediante el método de coordenadas de Descartes. Tomemos

álgebra en primer lugar. No nos preocuparemos por los imaginarios y pensaremos simplemente en los números reales con signos positivos o negativos. La idea fundamental es la de cualquier número, el número variable, que se denota mediante una letra y no por un numeral definido. Procedemos entonces a la consideración de las correlaciones entre variables. Por ejemplo, si $x$ e $y$ son dos variables,

podemos concebirlas como correlacionadas por las ecuaciones $x+y=1$, o por $x-y=1$, o de cualquier otra forma entre un número indefinido de ellas. Esto conduce de inmediato a la aplicación del

idea de forma algebraica. Pensamos, de hecho, en cualquier correlación de algún tipo interesante, elevándonos así desde la concepción inicial de números variables a la concepción secundaria de correlaciones variables de números. Así generalizamos la correlación $x+y=1$, en la correlación $ax+by=c$. Aquí $a$, $b$ y $c$, al ser letras, representan cualesquiera números y son, de hecho, variables en sí mismas. Pero son las variables que determinan la correlación variable; y la correlación, una vez determinada, correlaciona los números variables $x$ e $y$. Las variables, como $a$, $b$ y $c$ anteriores, que se utilizan para determinar la correlación se denominan «constantes» o parámetros. El uso

del término «constante» en este contexto para lo que en realidad es una variable puede parecer a primera vista extraño; pero es en realidad muy natural. Pues la investigación matemática se ocupa de la relación entre las variables x e y , una vez que se supone que a , b y c han sido determinadas. Así, en cierto sentido, en