de geometría analítica.

Una vez que se ha comprendido la idea de la geometría analítica, la pregunta inmediata que surge en la mente es: ¿qué tipo de lugares geométricos corresponden a las formas algebraicas bien conocidas? Por ejemplo, la más simple entre los tipos generales de formas algebraicas es $a x + b y = c$ . El tipo de lugar geométrico que corresponde

a esta es una línea recta y, a la inversa, a toda línea recta le corresponde una ecuación de esta forma. Es afortunado que el más simple de los lugares geométricos deba corresponder a la más simple de las formas algebraicas. De hecho, es esta correspondencia general de simplicidad geométrica y algebraica la que le otorga a todo el tema su poder. Surge del hecho de que la conexión entre la geometría y el álgebra no es casual ni artificial, sino profunda y esencial. La ecuación que corresponde a un lugar geométrico se llama la ecuación «del» (o «para el») lugar geométrico. Algunos ejemplos de ecuaciones de líneas rectas ilustrarán el tema. 14

Consideremos $y - x = 0$ ; aquí la $a$ , la $b$ y la $c$ de la forma general han sido sustituidas por $- 1$ , $1$ y $0$ respectivamente. Esta recta pasa por el «origen», $O$ , en el diagrama y biseca el ángulo $X O Y$ . Es la recta $L^{'} O L$ del diagrama. El hecho de que pase por el origen, $O$ , se observa fácilmente al notar que la ecuación se satisface al poner $x = 0$ y $y = 0$ simultáneamente, pero $0$ y $0$ son las coordenadas de $O$ . De hecho, es fácil generalizar y ver por el mismo método que la ecuación de cualquier recta que pase por el origen es de la forma $a x + b y = 0$ . El lugar geométrico de la ecuación $y + x = 0$ también pasa por el origen y biseca el ángulo $X^{'} O Y$ : es la recta $L_{1} O L_{1}^{'}$ del diagrama.

Consideremos $y - x = 1$ : el lugar geométrico correspondiente no pasa por el origen. Por tanto, buscamos dónde corta los ejes. Debe cortar el eje de las $x$ en algún punto de coordenadas $x$ e $0$ . Pero al poner $y = 0$ en la ecuación, obtenemos $x = - 1$ ; así que las coordenadas de este punto $(A)$ son $- 1$ y $0$ . De manera similar, el punto $(B)$ donde la recta corta el eje $O Y$ son $0$ y $1$ . El lugar geométrico es la recta $A B$ en la figura y es paralela a $L O L^{'}$ . De forma análoga, $y + x = 1$ es la ecuación de la recta $A_{1} B$ de la figura; y el lugar geométrico es paralelo a $L_{1} O L_{1}^{'}$ . Es fácil demostrar el teorema general de que dos rectas representadas por ecuaciones de las formas $a x + b y = 0$ y $a x + b y = c$ son paralelas.

El grupo de lugares que encontramos a continuación es lo suficientemente importante como para merecer un capítulo por sí mismo. Pero antes de pasar a ellos, nos detendremos un poco más en las ideas principales del tema.

La posición de cualquier punto $P$ se determina eligiendo arbitrariamente un origen, $O$ , dos ejes,

$O X$ y $O Y$ , en ángulo recto, y luego observando sus coordenadas $x$ e $y$ , es decir, $O M$ y $P M$ (v. [fig.] 13). Además, como hemos visto en el último capítulo, $P$ puede determinarse mediante el "vector" $O P$ , donde la idea de vector incluye una dirección determinada así como una longitud determinada. Desde un punto de vista matemático abstracto, la idea de un origen arbitrario puede parecer artificial y torpe, y lo mismo ocurre con los ejes trazados arbitrariamente, $O X$ y $O Y$ . Pero en relación con la aplicación de las matemáticas al acontecimiento del Universo, estamos simbolizando aquí con directa simplicidad el hecho más fundamental respecto a la perspectiva del mundo que nos proporcionan nuestros sentidos. Cada uno de nosotros refiere sus percepciones sensibles de las cosas a un origen que llamamos "aquí": nuestra ubicación en una parte particular del espacio en torno a la cual agrupamos el Universo entero es el hecho esencial de nuestra existencia corporal. Podemos imaginar seres que observan todos los fenómenos en todo el espacio con igual ojo, sin prejuicios a favor de ninguna parte. Con nosotros es de otro modo, un gato a nuestro