XIII

las fracciones ${\displaystyle \frac{PM}{OP}}$ y ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$, que a su vez son números que no dependen de la longitud de $OP$, es decir, que no dependen de la escala de nuestros diagramas. Luego definimos el número ${\displaystyle \frac{PM}{OP}}$ como el seno del número ${\displaystyle \frac{PA}{OP}}$, y el número ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$ como el coseno del número ${\displaystyle \frac{PA}{OP}}$. Estas formas fraccionarias son difíciles de imprimir; así que pongamos $u$ para la fracción ${\displaystyle \frac{AP}{OP}}$, que representa la magnitud del ángulo $AOP$, y pongamos $v$ para la fracción ${\displaystyle \frac{PM}{OM}}$, y $w$ para la fracción ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$. Entonces $u$, $v$, $w$, son números, y, dado que estamos hablando de cualquier ángulo $AOP$, son números variables. Pero existe una correlación entre sus magnitudes, de modo que cuando se da $u$ (es decir, el ángulo $AOP$), las magnitudes de $v$ y $w$ quedan definitivamente determinadas. Por tanto, $v$ y $w$ son funciones del argumento $u$. Hemos llamado a $v$ el seno de $u$, y a $w$ el coseno de $u$. Deseamos adaptar la notación funcional general $y=f(x)$ a estos casos especiales: así que en la matemática moderna

escribimos "$\sin$" en lugar de "$f$" cuando queremos

indicar la función especial de «seno» y «$\cos$» para «$f$» cuando queremos indicar la función especial de «coseno». Así, con los significados anteriores para $u$, $v$, $w$, obtenemos $v=\sin u,\text{y}w=\cos u,$ donde los paréntesis que rodean a la $x$ en $f(x)$ se omiten para las funciones especiales. El significado de estas funciones $\sin$ y $\cos$ como correlación de los pares de números $u$ y $v$, y $u$ y $w$ es que las relaciones funcionales deben hallarse construyendo (cf. [fig.] 26) un ángulo $AOP$, cuya medida «$AP$ dividido por $OP$» sea igual a $u$, y que entonces $v$ es el número dado por «$PM$ dividido por $OP$» y $w$ es el número dado por «$OM$ dividido por $OP$».

Es evidente que, sin algunas definiciones adicionales, tendremos dificultades cuando el número $u$ sea demasiado grande. Pues entonces el arco $AP$ puede ser mayor que un cuarto de la circunferencia del círculo, y el punto $M$ (v. figs. [fig:26]26 y [fig:27]27) puede caer entre $O$ y $A^{\prime }$ y no entre $O$ y $A$. Asimismo, $P$ puede estar por debajo de la línea $AO{A}^{\prime }$ y no por encima de ella como en la [fig.]26. Para superar esta dificultad, recurrimos a las ideas y convenciones de la geometría analítica al formular nuestras definiciones completas del seno y el coseno. Sea un brazo $OA$ del ángulo el eje $OX$, y prolonguemos el eje hacia atrás para obtener su parte negativa $O{X}^{\prime }$. Tracemos el

otro eje $YO{Y}^{\prime }$ perpendicular a él. Sea cualquier punto $P$ a una distancia $r$ de $O$ con coordenadas $x$ e $y$. Estas coordenadas son ambas positivas en el primer «cuadrante» del plano, por ejemplo, las coordenadas $x$ e $y$ de $P$ 27 en la [fig.]27. En los otros cuadrantes, una o ambas coordenadas son negativas, por ejemplo, $x^{\prime }$ e $y$ para $P^{\prime }$, y $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ para $P^{″}$, y $x$ e $y^{\prime }$ para $P^{‴}$ en la [fig.]27, donde $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ son ambos números negativos. El ángulo positivo $POA$ es el arco $AP$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$; el positivo

el ángulo $AO{P}^{\prime }$ es el arco $AB{P}^{\prime }$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{″}$ es el arco $AB{A}^{\prime }{P}^{″}$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$ y su coseno ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{‴}$ es el arco $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }{P}^{‴}$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$ y su coseno ${\displaystyle \frac{x}{r}}$.