ángulo A E B . Por lo tanto, cuando el astrónomo realiza un estudio de los cielos, está, de hecho, midiendo ángulos para fijar las direcciones relativas de las estrellas y los planetas en cualquier instante. De nuevo, en el problema análogo de

en la topografía, los ángulos son el objeto principal de las mediciones. Las mediciones directas de longitud solo son posibles en raras ocasiones con cierta precisión; ríos, casas, bosques, montañas e irregularidades generales del terreno se interponen en el camino. El levantamiento de todo un país dependerá únicamente de una o dos mediciones directas de longitud, realizadas con la mayor elaboración en lugares seleccionados como la llanura de Salisbury. El trabajo principal de un levantamiento es la medición de ángulos. Por ejemplo, $A$ , $B$ y $C$ serán puntos conspicuos en el distrito 23 que se está topografiando, digamos las torres de iglesias. Estos puntos son visibles unos desde otros. Entonces, es un asunto muy sencillo medir en $A$ el ángulo $B A C$ , en $B$ el ángulo $A B C$ y en $C$ el ángulo $B C A$ . Teóricamente, solo es necesario medir dos de estos ángulos; pues, por una conocida proposición de la geometría, la suma de los tres ángulos de un triángulo equivale a dos

ángulos rectos, de modo que cuando se conocen dos de los ángulos, el tercero puede deducirse. Es mejor, sin embargo, en la práctica, medir los tres, y así cualquier pequeño error de observación puede comprobarse. En el proceso de cartografía, un país se cubre completamente con triángulos de esta manera. Este proceso se llama triangulación, y es el proceso fundamental

en una encuesta.

Ahora, cuando todos los ángulos de un triángulo son

conocida, la forma del triángulo es conocida; es decir, la forma en contraposición al tamaño. Aquí nos topamos con el gran principio de la semejanza geométrica. La idea nos resulta muy familiar en sus aplicaciones prácticas. Todos estamos familiarizados con la idea de un plano dibujado a escala. Así, si la escala de un plano es de una pulgada por yarda, una longitud de tres pulgadas en el plano significa una longitud de tres yardas en el original. Asimismo, las formas representadas en el plano son las formas del original, de modo que un ángulo recto en el original aparece como un ángulo recto en el plano. Del mismo modo, en un mapa, que no es más que el plano de un país, las proporciones de las longitudes en el mapa son las proporciones de las distancias entre los lugares indicados, y las direcciones en el mapa son las direcciones en el país. Por ejemplo, si en el mapa un lugar se encuentra al nor-noroeste del otro, así es en la realidad; es decir, en un mapa los ángulos son los mismos que en la realidad.

La semejanza geométrica puede definirse así: dos figuras son semejantes (i) si a cualquier punto de una figura le corresponde un punto de la otra, de modo que a cada línea le corresponda una línea y a cada ángulo un ángulo, y (ii) si las longitudes de las líneas correspondientes guardan una proporción fija y las magnitudes de los ángulos correspondientes son iguales. La proporción fija de las longitudes de las líneas correspondientes en un mapa (o plano) y en el original se denomina escala del mapa. La escala debe indicarse siempre en el margen de todo mapa y plano. Ya se ha señalado que dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente iguales son semejantes. Por tanto, si los dos triángulos 24 $A B C$ y $D E F$ tienen iguales los ángulos en $A$ y $D$ , los de $B$ y $E$ , y los de $C$ y $F$ , entonces $D E$ es a $A B$ en la misma proporción

como E F es a B C , y como F D es a C A . Pero no es cierto para otras figuras que la semejanza esté garantizada por la mera igualdad de los ángulos. Tomemos, por ejemplo, los casos familiares de un rectángulo y un cuadrado. Sea A B C D un cuadrado, y A B E F un rectángulo. Entonces todos los ángulos correspondientes son