Pero incluso ahora no hemos ido lo suficientemente lejos. Pues supongamos que elegimos $u$ como un número mayor que la razón de la circunferencia completa del círculo a su radio. Debido a la semejanza de todos los círculos, esta razón es la misma para todos ellos. En matemáticas se denota siempre con el símbolo $2 π$ , donde $π$ es la forma griega de la letra p y su nombre en el alfabeto griego es «pi». Se puede demostrar que $π$ es un número inconmensurable y que, por tanto, su valor no puede expresarse mediante ninguna fracción, ni mediante ningún decimal exacto o periódico. Su valor con algunos decimales es $3, 14159$ ; para muchos propósitos, un valor aproximado suficientemente preciso es $\frac{22}{7}$ . Los matemáticos pueden calcular fácilmente $π$ con cualquier grado de precisión requerido, del mismo modo que puede calcularse $\sqrt{2}$ . Su valor ha sido calculado realmente hasta $707$ lugares de

decimales. Tal elaboración del cálculo es meramente una curiosidad, y carece de interés práctico o teórico. La determinación precisa de $π$ es una de las dos partes del famoso problema de la cuadratura del círculo.

La otra parte del problema consiste en describir, mediante los métodos teóricos de la geometría pura, una línea recta de longitud igual a la de la circunferencia. Hoy se sabe que ambas partes del problema son imposibles; y el problema insoluble ha perdido ya todo interés práctico o teórico especial, al haber quedado absorbido por ideas más amplias.

Tras esta digresión sobre el valor de $π$ , volvemos ahora a la cuestión de la definición general de la magnitud de un ángulo, de modo que podamos obtener un ángulo correspondiente a cualquier valor $u$ . Supongamos que un punto móvil, $Q$ , parte de $A$ sobre $O X$ (cf. [fig.] 27) y gira en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj, en la figura considerada) alrededor de la circunferencia del círculo cualquier número de veces, deteniéndose finalmente en cualquier punto, por ejemplo, en $P$ o $P^{'}$ o $P^{″}$ o $P^{‴}$ . Entonces, la longitud total del camino circular curvilíneo recorrido, dividida por el radio del círculo, $r$ , es la definición generalizada de un ángulo positivo de cualquier tamaño. Sean $x$ , $y$ las coordenadas del punto en el que se detiene el punto $Q$ , es decir, en una de las cuatro posiciones alternativas mencionadas en la [fig.] 27; $x$ e $y$ (tal como se utilizan aquí) serán $x$ e $y$ , o $x^{'}$ e $y$ , o $x^{'}$ e $y^{'}$ , o $x$ e $y^{'}$ .

Entonces, el signo de este ángulo generalizado es $\frac{y}{r}$ y su coseno es $\frac{x}{r}$ . Con estas definiciones, las relaciones funcionales $v = \sin u$ y $w = \cos u$ quedan finalmente definidas para todos los valores reales positivos de $u$ . Para los valores negativos de $u$ , simplemente tomamos la rotación de $Q$ en la dirección opuesta (en el sentido de las agujas del reloj); pero no vale la pena que nos extendamos más en este punto, ahora que el método general de procedimiento ha sido explicado.

Estas funciones de seno y coseno, tal como se han definido, nos permiten abordar los problemas relativos al triángulo del que surgió la trigonometría. Pero ahora estamos en condiciones de relacionar la trigonometría con la idea más amplia de periodicidad, cuya importancia

se explicó en el último capítulo. Es fácil ver que las funciones $\sin u$ y $\cos u$ son funciones periódicas de $u$ . Pues consideremos la posición, $P$ (en la [fig.] 27), de un punto móvil, $Q$ , que ha partido de $A$ y ha girado alrededor del círculo. Esta posición, $P$ , marca los ángulos $\frac{arco A P}{r}$ , y $2 π + \frac{arco A P}{r}$ , y $4 π + \frac{arco A P}{r}$ , y $6 π + \frac{arco A P}{r}$ , y así sucesivamente de forma indefinida. Ahora bien, todos estos ángulos tienen el mismo seno y coseno, a saber, $\frac{y}{r}$ y $\frac{x}{r}$ . De ahí que sea fácil ver que,